第一章、第四节、 函数的极限.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四节 函数的极限,一、函数极限的定义,二、函数极限的性质,三、小结 练习题,从数列极限到函数极限的过度,数列是整标函数,当自变量,n,取正整数无限增大时，函数,f,(,n,),无限,接近常数,a,对于一般函数,y,=,f,(,x,),，,自变量的变化过程除上,述情形外，还有以下几种变化过程：,1.,取正实数而无限增大。,记为,称为,x,趋于正无穷大。,一、函数极限的定义,对于一般函数,y,=,f,(,x,),，,自变量的变化过程除上,述情形外，还有以下几种变化过程：,1.,取正实数而无限增大。,记为,称为,x,趋于正无穷大。,2.,取负实数而无限减小。,记为,称为,x,趋于负无穷大。,3.,取实数而同时趋于正、负无穷大,(|,x,|,无限增大）,记为,称为,x,趋于无穷大。,4.,取实数而趋于某个有限值,记为,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察,:,问题,:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”,.,只要在数列极限定义中，将,n,换为,|,x,|,，,N,换为,X,即为上述定义,1,。,2,、另两种情形,:,3,、几何解释,:,例1,证,例2,证,注意：,不,存在。,2,、自变量趋向有限值时函数的极限,问题,:,如何用精确的数学语言描述上述极限,称在自变量的这一变化过程中函数,f,(,x,),以,A,为极限,2,、几何解释,:,注意,：,一般说来，,越小，,也越小。,例1,证,函数在点,x,=1,处没有定义,.,例2,证,？,在,上述极限过程中，要保证,x,0,。,不能保证,x,0,问题：,例2,证,问题：如何保证,x,0?,（,1,）用定义证明,的,关键步骤,将,|,f,(,x,),A,|,适当化简，变形或放大，使之出现,下面的形式：,再,从中解出,然后取,（,2,）有时为了同时保证几个不等式成立，,常常,要在几个常数中取最小者。,例3,证,？,的选取仅与 有关,，,与自变量,x,无关,。,问题：,例3,证,又,x,2,，,不妨设,1,x,3,，,请思考：为什么能这样？,为什么要这样？,则有,1,x,3,|,x,2|0,的情形证明,4.,子列收敛性,(,函数极限与数列极限的关系,),只要在数列极限定义中，将,n,换为,|,x,|,，,N,换为,X,即为上述定义,1,。,内容回顾,:,自变量无穷大时函数的极限,2,、自变量趋向有限值时函数的极限,三、小结,极限的统一定义,(,见下表,),过 程,时 刻,从此时刻以后,过 程,时 刻,从此时刻以后,思考题,1.,解答,:,思考题,2.,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在,.,