1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 测度论,1,外测度,2,可测集,3,可测集类,引言,引言：,19,世纪的数学家们已经认识到，古典的黎曼积分在理论上有很大的局限性，为了解决分析中提出的许多问题，有必要改造和推广原有的积分定义。注意到黎曼积分与长度、面积、体积等度量有密切的关系，所以积分概念的推广，自然要想到对,R,n,中的点集给于一种度量，使之成为长度、面积、体积等概念的推广，这就产生了测度的概念。,测度论的思想和方法已经是近代分析、概率论及其他学科必不可少的工具。,实变函数论部分的主要目的，就是介绍在理论和应用上都十分重要的勒贝格
2、测度与勒贝格积分理论。,长度公理：,设有实数直线上的一些点集所构成的集合族 ，若对于每一个 ，都对应一个实数 （在 上定义了一个实函数 使得,（,1,）非负性：,（,2,）有限可加性：如果 两两不相交，那么,（,3,）正则性：,该长度公理实际上只给出了区间的长度，黎曼积分中划分之后区间的长度就是一个点集，已经不是一个区间，再如,0,1,中有理数集合的长度或是无理数集合的长度也无法确定，这就是点集测度的由来。,勒贝格测度公理：,设有实数直线上的一部分集合族 ，使得每一个 ，都对应一个实数 （在 上定义了一个实函数 ，满足,（,1,）非负性：,（,2,）可列可加性：如果 两两不相交，那么,（,3,
3、正则性：,问题：是否每一个集合都有测度？,内填外包法（测量不规则图形的,面积,）,内填,：,内部填满图形的那些,格子,的面积之和中的最大者，即,不足近似值,。,外包,：,外部包围图形的那些,格子,的面积之和中的最小者，即,过剩近似值,。,当格子越来越密时，小正方形的面积趋于,0,，过剩和不足近似值能够趋于同一个数值，这个值便是图形的面积。,集合,E,闭集,取包含,E,的那些开集的测度的下确界,外测度,用来填上,E,的内部的,闭集的测度的,上确界,内测度,外测度和内测度相等,可测,开集,1,外测度,1,、勒贝格外测度,设,E,为 中任一点集，对于每一列覆盖,E,的开区间 ，做出它的体积总和 （
4、可以等于 ，不同的区间列一般有不同的 ），所有这一切的 组成一个下方有界的数集，它的下确界（由,E,完全确定）称为,E,的勒贝格外测度，简称,L,外测度或外测度，即,例题,1,：,有限点集的外测度是,0.,例题,2,：,可数点集的外测度为,0.,设,E,为,0,1,中的全体有理数，则,可得到：有理数所成之集是零测集。,2,、勒贝格外测度性质,（,1,）,（,2,）非负性：,（,3,）单调性：设 ，则,（,4,）次可数可加性,例题,3,：,可数个零测积之和集是否为零测集？,例题,4,：,康托集是零测集。,（,3,）正则性：包含在 中的所有有限开区间。,3,、勒贝格外测度涵义,优点,：,任何集合都
5、有外测度。,例题,5,：,对于区间,I,有,缺点,：,外测度只具有次可数可加性，不具有可数可加性,。,对外测度加以限制，设法在 中找出某一集合类 ，在 上满足,（,1,）封闭性：对某些运算应该封闭；,（,2,）可数可加性：,问题：如何从 中挑出集合类 呢？,如下构造：从可加性条件加以思考，附加一个判断 中集合属于 的条件即可。,设 ，如果 ，由于 中任何开区间,I,都属于 ，由 的运算封闭性，则,所以有,（,1),反之，如果存在某个开区间,I,，使上式不成立，则,E,自然不应该属于,引理,：设 ，则,(1),是对 中任何开区间都成立的充要条件是对 中的任何点集,T,都有,2,可测集,1,、勒贝
6、格测度,设,E,为 中的点集，如果对任一点集,T,都有,则称,E,是,L,可测,的，这时,E,的,L,外测度,即称为,E,的,L,测度,，记为,2,、勒贝格测度运算性质,（,1,）集合,E,可测 对于,总有,（,2,）,S,可测 可测。,（,3,）设 可测，则 也可测，并且当,对于任意集合,T,总有,推广：设 可测，则 也可测，并且当,对于任意集合,T,总有,（,4,）设 可测，则 也可测。,推广：设 可测，则 也可测。,（,5,）设 可测，则 也可测。,（,6,）设 是一列互不相交的可测集，则 也是可测集，且,推广：设 是一列可测集，则 ，也是可测集。,（,7,）设 是一列递增的可测集：,令 ，则,（,8,）设 是一列递降的可测集：,令 ，则当 时，,3,、勒贝格测度性质,（,1,）,（,2,）非负性：,（,3,）单调性：设 可测，且 ，则,（,4,）可列可加性：,设 是一列互不相交的可测集,3,可测集类,1,、零测集,凡外测度为,0,的集合都是可测集，称为,零测集,。,零测集性质：,（,1,）零测度集的任何子集都为零测度集。,（,2,）有限个或可数个零测度之和集仍为零测度集。,2,、常见可测集,（,1,）区间,I,（不论开、闭或半开半闭区间）都是可测集合，且,（,2,）凡开集、闭集皆可测。,
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