样本及其抽样分布.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,第六章样本(yngbn)及其抽样分布,第一页，共34页。,第二页，共34页。,(2)若PF=(比较(bjio)小),则,则服从(fcng)自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是(),6(974)设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 ,而,设F ,对于给定,定义:称 n 个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为n的 分布,记作,分布及其性质,定义(dngy):设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,Xn)为统计量.,查表求100%分位数:,且有X(1)=min(X(1),X(2),X(n),X(n)=max(X(1),X(2),X(n),995 (2)的100%分位数;,第二十九页，共34页。,例(993)设 是来自正态总体 X 的s.,第节 抽样(chu yn)分布,（3）h(t)的图形(txng)关于Y轴对称,注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有,性质(xngzh):,样本:由部分个体构成的集合。经常说,来自(li z)(或取自)某总体的样本。,样本具有二重性:在抽样(chu yn)前,它是随机向量,在抽样(chu yn)后,它是数值向量(随机向量的取值)。,样本选择方式(fngsh):(1)有放回抽样.(2)无放回抽样,特别,样本容量,总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样,.,简单随机样本,(s.r.s):,具有两个特点的样本,:,代表性,(,组成样本的每个个体与总体同分布,),独立性,(,组成样本的个体间相互独立,),。,样本容量,:,样本中所含个体的个数。,第三页，共34页。,如,检验(jinyn)一批灯泡的质量,从中选择100只,则,总体:这批灯泡(有限总体),个体:这批灯泡中的每一只,样本(yngbn):抽取的100只灯泡(简单随机样本(yngbn),样本(yngbn)容量:100,样本(yngbn)观测值:x1,x2,x100,定义:设X为一随机变量,其分布函数为F(x),X1,X2,Xn是一组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1,X2,Xn)为来自总体X(或分布函数F(x)的简单随机样本;n为样本容量;在依次观测中,样本的具体(jt)观测值x1,x2,xn称为样本值,X,X,1,X,2,X,100,100,样本值,注意,:,样本是一组独立同总体分布相同的随机变量,.,第四页，共34页。,总体(zngt),选择(xunz)个体,样本yngbn),观测样本,样本观察值,(,数据,),数据处理,样本有关结论,统计的一般步骤,:,推断总体性质,统计量,为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考虑样本的函数,且不含任何未知参数,这样的“不含,未知,参数的样本的函数”称为统计量。,第五页，共34页。,是来自总体,例,6.2.1,设,未知,则,(),不是统计量。,的,s.r.s,其中,已知,统计(tngj)量,定义(dngy):设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,Xn)为统计量.,统计(tngj)量的分布称为抽样分布.,第六页共34页。,样本均值,常用(chn yn)统计量:,样本(yngbn)方差,样本(yngbn)标准差,样本,k,阶原点矩,样本,k,阶中心矩,第七页，共34页。,(6)顺序(shnx)统计量与样本分布函数,设X1,X2,Xn的观察值为x1,x2,xn,从小到大排序得到:,x(1),x(2),x(n),定义X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),X(n),或它们的函数都称为(chn wi)顺序统计量.显然X(1)X(2)X(n),且有X(1)=min(X(1),X(2),X(n),X(n)=max(X(1),X(2),X(n),1)样本(yngbn)中位数,2),样本极差,R=X,n),-X,(1),第八页，共34页。,样本分布函数(hnsh)(经验分布函数(hnsh),格里汶科定理(dngl):,设总体X的分布(fnb)是F(x),则下式成立,第九页，共34页。,第节 抽样(chu yn)分布,一、样本均值的分布(fnb),定理：设X1，X2,Xn是来自总体(zngt)N(,2)的样本，,是样本均值，则有,注：,在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有,第十页，共34页。,二、顺序统计(tngj)量的分布,1,、（,X,（,1,）,，,X,（,2,）,X,(n),）的概率密度函数为,2、样本(yngbn)中位数的概率密度函数为,3、样本(yngbn)极差的概率密度函数为,其中,第十一页，共34页。,z,1-,例 设XN(0,1),分别(fnbi)为0.95,0.975,0.75,求X关于 的100%分位数.,X,(x),三、标准(biozhn)正态分布及其100%分位数,定义:设XN(0,1),对任意(rny)01,若PX=,则称为标准正态分布的100%分位数,记为,解,:,时,反查表得,:,z,类似可得,:,z=1.96,z,z,第十二页，共34页。,分布及其性质,1.,定义,:,称,n,个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和,X,的分布为自由度为,n,的 分布,记作,(2),X,1,X,2,X,k,独立,X,i,(n,i,),(i=1,2,k),则,2.性质(xngzh):,(1)X 1,X2,Xn独立(dl),XiN(0,1),(i=1,2,n),则,(3)X1,X2,Xn为来自总体(zngt)N(,2)的简单随机样本,则,四、,（,4,）,第十三页，共34页。,例,6.3.2,设 是来自总体 的,s.r.s,则 服从,(),分布。,例,6.3.3,(983),设 是取自总体,N,(0,4),的,s.r.s,当,a,=,b,=,时,解(1)服从(fcng),(2)由题意(t y)得,a=1/20,b=1/100,第十四页，共34页。,3.,的密度曲线,X,f(x),n=1,n=4,n=10,随着(su zhe)n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.,第十五页，共34页。,4.,分布的,100,%,分位数,定义,:,设,对于给定的,(0,1),若,PX=,则称,为自由度为,n,的 分布的,100,%,分位数,记为,X,f(x),查表求,100,%,分位数,:,(1),若,PX=,则,例,6.3.4,.,设,X (10),PX,1,=0.025,PX,2,=0.05,求,1,2,.,解,:,查表得,:,查表得,:,第十六页，共34页。,五、t 分布(fnb)及其性质,1.定义(dngy),设随机变量,随机变量,Y,且它们互相独立,则称随机变量的分布为自由度是,n,的,t,分布,记作,可以证明(zhngmng)t分布的概率密度函数为,第十七页，共34页。,特点:关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近(jijn)于标准正态密度曲线.,分布的密度(md)曲线:,X,f(x),第十八页，共34页。,3、t分布(fnb)的性质,（,1,）,（,2,）,（3）h(t)的图形(txng)关于Y轴对称,第十九页，共34页。,4.t分布(fnb)的100%分位数:,X,f(x),对于给定(i dn)(0 1),若Pt(n)=,则称为t分布的100%分位数,记为:,1-,例,6.3.5.,设,tt(15),求,(1),=0.995 (2),的,100,%,分位数,;,解,:(1)=t(15),查表得,(2)=t(15)查表得,注,:,第二十页，共34页。,例,6.3.6(974),设随机变量,X,和,Y,相互独立且都服从正态分布,而,和 分别是来自总体,X,和,Y,的,s.r.s,则统,计量 服从,(),分布,参数为,().,t,9,解,:,故,与 独立,所以(suy),第二十一页，共34页。,六、F 分布(fnb)及其性质,1.定义(dngy),设随机变量 随机变量 且,它们相互独立,则称随机变量 的分布为自,由度是 的,F,分布。记作,可以(ky)证明，,的概率密度函数为,第二十二页，共34页。,第二十一页，共34页。,解(1)=F(24,15),特别,样本容量总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样.,的样本(yngbn)，,3、定理(dngl),样本(yngbn),三、标准(biozhn)正态分布及其100%分位数,且有X(1)=min(X(1),X(2),X(n),X(n)=max(X(1),X(2),X(n),分别是样本均值和样本方差，则有,的样本(yngbn)，,三、标准(biozhn)正态分布及其100%分位数,第节 抽样(chu yn)分布,1)样本(yngbn)中位数,9(994)设 是来自总体,显然X(1)X(2)X(n),分布(fnb)的概率密度曲线,3.性质(xngzh):,第二十三页，共34页。,分布(fnb)的100%分位数,X,f(x),设,F ,对于给定,(01),若,PF=,则称,为,F,分布的,100,%,分位数,记为,:,5.100%分位数的计算(j sun),(1),若,PF=,则,(2)若PF=(比较(bjio)小),则,P1/F1/=1-,故,第二十四页，共34页。,例 设FF(24,15),分别(fnbi)求满足,解,(1)=F(24,15),(2)=F(24,15),(3)比较(bjio)小,所以(suy),第二十五页，共34页。,七、抽样分布基本(jbn)定理,1,、设 是来自总体 的,s.r.s,表示样本均值，则,第二十六页，共34页。,2、设XN(1,12),Y N(2,22),X,Y相互独立,从中,分别(fnbi)抽取容量为n1,n2的样本,样本均值分别(fnbi)记为,第二十七页，共34页。,3、定理(dngl),设X1，X2,Xn是来自(li z)总体,的样本(yngbn)，,分别是样本均值和样本方差，则有,注：由,可得,第二十八页，共34页。,4、定理(dngl),设X1，X2,Xn是来自(li z)总体,的样本(yngbn)，,分别是样本均值和样本方差，则有,例,(993),设 是来自正态总体,X,的,s.r.s,证明,:,统计量,Zt,(2),第二十九页，共34页。,例,6.3.9,(994),设 是来自总体,的,s.r.s,是样本均值,记,则服从(fcng)自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是(),第三十页，共34页。,4、定理(dngl),设,与,分别是来自(li z)总体X,Y的样本,且这两个(lin)样本是独立的,记,则有,第三十一页，共34页。,注,:,若,记,则有,第三十二页，共34页。,第三十三页，共34页。,第三十四页，共34页。,