偏导数的概念.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,偏导数的概念,一、偏导数的概念,定义1,设函数,z,=,f,(,x,y,)在点(,x,0,y,0,)的某一邻域内有定义，当,y,固定在,y,0,，而,x,在,x,0,处有增量,x,时，相应函数有增量,1.偏导数的定义,如果极限,存在，则称此极限值为函数,z=f,(,x,y,)在点(,x,0,y,0,)处对,x,的,偏导数,.记作,即,类似地，可定义函数,z,=,f,(,x,y,)在点(,x,0,y,0,)处对,y,的偏导数为,又可记为,如果函数,z,=,f,(,x,y,)在区域,D,内每一点(,x,y,)都存在对,x,的偏导数，即,存在，显然这个偏导数仍是,x,，,y,的函数，称它为函数,z,=,f,(,x,y,)对,x,的偏导函数,，记作,类似地，可以定义函数,z,=,f,(,x,y,)在区域,D,内对自变量,y,的偏导函数,为,记作,二元以上多元函数的偏导数可类似地定义.例如三元函数,u,=,f,(,x,y,z,)在点(,x,y,z,)处对,x,的偏导函数定义为,同样地，可以定义,偏导数,.,2.二元函数偏导数的几何意义,二元函数,z,=,f,(,x,y,)的图形表示空间一张曲面.当,y,=,y,0,时，曲面,z,=,f,(,x,y,)与平面,y,=,y,0,的交线方程为,上式表示,y,=,y,0,平面上的一条曲线,z,=,f,(,x,y,0,).根据导数的几何意义可知：,f,x,(,x,0,y,0,)就是这条曲线在点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,)处的切线关于,x,轴的斜率.,同样，,f,y,(,x,0,y,0,)是这条曲线,z=f,(,x,y,)与平面,x,=,x,0,的交线,在点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,)处的切线关于,y,轴的斜率.,二,、,偏导数的求法,求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用.,例如，给定一个二元函数,z,=,f,(,x,y,)，求 时，可将,自变量,y,看成常数(即将,z,看成,x,的一元函数)，只需,z,对,x,求导.,若求函数,z,=,f,(,x,y,)在点(,x,0,y,0,)处对,x,的偏导数，只需,先求偏导函数,f,x,(,x,y,)，然后再求,f,x,(,x,y,)在点(,x,0,y,0,)处的函,数值，即 ，这样就得到了函数,z,=,f,(,x,y,)在点(,x,0,y,0,)处对,x,的偏导数.也可以先将,y,=,y,0,代入,z,=,f,(,x,y,)中，得,z,=,f,(,x,y,0,)，然后对,x,求导数,f,x,(,x,y,0,)，再以,x,=,x,0,代入.两种做法是一致的.因为在这个过程中，,y,为,常数,y,0,.,例1,求函数 在点(1,3)处对,x,和,y,的偏导数.,解,将点(1,3)代入上两式，得,例2,求函数 的偏导数.,解,例3,求函数 的偏导数.,解,例4,求函数 的偏导数.,解,例5,已知理想气体的状态方程,PV,=,RT,(,R,为常量)，,求证：,证,偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分,母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元,函数导数记号 是不同的，可看成函数的微分d,y,与自变量微分d,x,之商.,例6,设,求,f,(,x,y,)在原点(0,0)处的偏导数.,解,原点(0,0)处对,x,的偏导数为,原点(0,0)处对,y,的偏导数为,对于多元函数,偏导数存在不能保证函数在该点处,连续，这与一元函数不同.一元函数在其可导点处，一,定连续的结论，对多元函数是不成立的.这是因为偏导,数存在，只能保证当点(,x,y,)沿着平行坐标轴的方向趋,于(,x,0,y,0,)点时，函数数值,f,(,x,y,)趋于,f,(,x,0,y,0,)，但不能保证,当点(,x,y,)以任意方式趋于点(,x,0,y,0,)时，函数,f,(,x,y,)趋于,f,(,x,0,y,0,).,同样还可以举出函数在(,x,0,y,0,)点连续，而在该点的偏导数不存在的例子.,例如，二元函数 ，在点(0,0)处是连续的，但在(0,0)点偏导数不存在.,事实上，是初等函数，(0,0)点是定义区域内的一点，故,f,(x,y,)在点(0,0)点是连续的.,固定,y,=0，让,x,0，考察在(0,0)点处对,x,的偏导,数.此时 ，已知函数|,x,|在,x,=0处是,不可导的，即,f,(,x,y,)在点(0,0)处对,x,的偏导数不存在，,同样可证,f,(,x,y,)在(0,0)点对,y,偏导数也不存在.,在点(,x,0,y,0,)处二元函数连续，推不出偏导数存在，而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系.,三、高阶偏导数,设函数,z,=,f,(,x,y,)在区域,D,内有偏导数,二元函数的,二阶偏导数,为：,同样可得三阶、四阶以至,n,阶偏导数(如果存在的话).一个多元函数的,n,1阶偏导数的偏导数，称为原来函数的,n,阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为,高阶偏导数,.,例7,求 的二阶偏导数.,解,定理8.1,如果函数,z,=,f,(,x,y,)在开区域,D,上二阶混合偏导数 连续，则在该区域上任一点处必有,该题值得注意的是，一般函数,f,的二阶混合偏导数,和 并不一定相等.例7的两个二阶混合偏导数相等，是因为它们是连续的，一般我们有下面的定理.,例8,解,例9,证明函数 满足方程,证,所以，满足方程,例10,设 ，求,解,