高二数学课件第二章第13讲导数应用.ppt

栏目导引,教材回扣,夯实双基,考点探究,讲练互动,知能演练,轻松闯关,考向瞭望,把脉高考,第二章基本初等函数、导数及其应用,第,13,讲导数的应用,教材回扣夯实双基,基础梳理,1,函数的最值,假设函数,y,f,(,x,),在闭区间,a,，,b,上的图象是一条,_,的曲线，则该函数在,a,，,b,上一定能够取得,_,与,_,若函数在,(,a,，,b,),内是,_,，该函数的最值必在,_,取得,连续不间断,最大值,最小值,可导的,极值点或区间端点处,2,利用导数研究生活中的优化问题,3,几个注意点：,极值是在局部范围内讨论问题,(,局部概念,),，最值是对整个定义域而言,(,整体性的概念,),闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值最值最多各有一个，而极值则可能不止一个，也可能没有极值,如果函数不在闭区间,a,，,b,上可导,则确定函数的最值时，不仅比较使该,函数的导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值,在解决实际应用问题时，如果函数在区间内只有一个极值点,那么要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较,课前热身,1,函数,f,(,x,),x,3,3,x,(,1,x,1)(,),A,有最大值，但无最小值,B,有最大值，也有最小值,C,无最大值，也无最小值,D,无最大值，但有最小值,答案：,C,2,(2012,厦门调研,),如果函数,y,f,(,x,),的图象如下图，那么导函数,y,f,(,x,),的图象可能是,(,),解析：选,A.,如图，由,y,f,(,x,),图象知，当,x,0,；在,(,x,1,0),上,y,f,(,x,),递减，故,f,(,x,)0,；在,x,x,2,时,y,f,(,x,),递减，故,f,(,x,)0.,综上可知，,A,项符合题意,答案：,A,4,已知函数,f,(,x,),2,x,3,6,x,2,m,(,m,为常数,),在,2,2,上有最大值,3,，那么此函数在,2,2,上的最小值是,_,解析：,f,(,x,),6,x,(,x,2),，,f,(,x,),在,(,2,0),上为增函数，在,(0,2),上为减函数，当,x,0,时，,f,(,x,),m,最大，,m,3,，,f,(,2),37,，,f,(2),5.,答案：,37,解析：由,y,x,2,39,x,40,0,得,x,1,或,40.,当,0,x,40,时，,y,40,时，,y,0.,所以当,x,40,时，,y,有最小值,答案：,40,考点探究讲练互动,考点突破,考点,1,函数的最值,设函数,f,(,x,),在,a,，,b,上连续，在,(,a,，,b,),内可导，求,f,(,x,),在,a,，,b,上的最大值和最小值的步骤：,(1),求函数,y,f,(,x,),在,(,a,，b,),内的极值；,(2),将函数,y,f,(,x,),的各极值与端点处的函数值,f,(,a,),，,f,(,b,),比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,(2010,高考重庆卷,),已知函数,f,(,x,),ax,3,x,2,bx,(,其中常数,a,，,b,R),，,g,(,x,),f,(,x,),f,(,x,),是奇函数,(1),求,f,(,x,),的表达式；,(2),讨论,g,(,x,),的单调性，并求,g,(,x,),在区间,1,2,上的最大值与最小值,例,1,【,解,】,(1),由题意得,f,(,x,),3,ax,2,2,x,b,，,因此,g,(,x,),f,(,x,)f,(,x,),ax,3,(3,a,1),x,2,(,b,2),x,b,.,因为函数,g,(,x,),是奇函数，,所以,g,(,x,),g,(,x,),，,(1),在求实际问题的最大,(,小,),值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去,(2),在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使,f,(,x,),0,的情形,考点,2,导数的实际应用,那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大,(,小,),值,(3),主要探究两类问题：费用如何最省；利润如何最大问题。载体,(,建模的解析式,),可以是多项式函数,(,一般不超过三次,),、分式函数、指数函数、对数函数等,例,2,万元已知厂家把总价值为,10,万元的,A,、,B,两种型号电视机投放市场，且,A,、,B,两型号的电视机投放金额都不低于,1,万元,当,x,1,10,m,1),时，随,B,型电视机投放金额,x,的增加，农民得到的补贴逐渐增加；,当,x,(10,m,1,9,时，随,B,型电视机投放金额,x,的增加，农民得到的补贴逐渐减少,【,名师点评,】,实际应用中准确地确定函数解析式，确定函数定义域是关键,(1),当汽车以,40,千米,/,时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？,(2),当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？,令,h,(,x,),0,，得,x,80.,当,x0,80),时，,h,(,x,)0,，,h,(,x,),是增函数,所以当,x,80,时，,h,(,x,),取到极小值,h,(80),11.25.,因为,h,(,x,),在,(0,120,上只有一个极值，所以它是最小值,即当汽车以,80,千米,/,时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为,11.25,升,考点,3,导数与不等式,(2010,年高考安徽卷,),设,a,为实数，函数,f,(,x,),e,x,2,x,2,a,，,x,R.,(1),求,f,(,x,),的单调区间与极值；,(2),求证：当,a,ln 2,1,且,x,0,时，,e,x,x,2,2,ax,1.,例,3,【,思路分析2),中构造函数,g,(,x,),e,x,x,2,2,ax,1,，转化为求证,g,(,x,),恒大于零,【,解,】,由,f,(,x,),e,x,2,x,2,a,，,x,R,知,f,(,x,),e,x,2,，,x,R.,令,f,(,x,),0,得,x,ln 2.,于是当,x,变化,f,(,x,),f,(,x,),的变化情况如下表：,x,(,，,ln 2),ln 2,(ln 2,，,),f,(,x,),0,f,(,x,),单调递减,2(1,ln 2,a,),单调递增,故,f,(,x,),的单调递减区间是,(,，,ln 2),单调递增区间是,(ln 2,，,),，,f,(,x,),在,x,ln 2,处取得极小值，极小值为,f,(ln 2),e,ln 2,2ln 2,2,a,2(1,ln 2,a,),(2),证明：设,g,(,x,),e,x,x,2,2,ax,1,，,x,R,，,于是,g,(,x,),e,x,2,x,2,a,，,x,R.,由,(1),知当,a,ln 2,1,时，,g,(,x,),取最小值为,g,(ln 2),2(1,ln 2,a,)0.,于是对任意,x,R,，都有,g,(,x,)0,，,所以,g,(,x,),在,R,内单调递增,于是当,a,ln 2,1,时，对任意,x,(0,，,),，都有,g,(,x,),g,(0),而,g,(0),0,，从而对任意,x,(0,，,),都有,g,(,x,)0.,即,e,x,x,2,2,ax,10,，,故,e,x,x,2,2,ax,1.,【,名师点评,】,对于类似本题中不等式证明而言，我们可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题,的转化，从而使不等式得到证明用导数方法证明不等式,其步骤一般是：构造可导函数,研究单调性或最值,得出不等关系,整理得出结论,.,方法技巧,函数的最值与极值的辨析,最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间,(,或定义域,),内所有函数值中最大的值与最小的值，在求函数的最值时，要注意：,方法感悟,最值与极值的区别：极值是指某一点附近函数值的比较因此，同一函数在某一点的极大,(,小,),值，可以比另一点的极小,(,大,),值小,(,大,),；而最大、最小值是指闭区间,a,，,b,上所有函数值的比较,因而在一般情况下,两者是有,区别的，极大,(,小,),值不一定是最大,(,小,),值，最大,(,小,),值也不一定是极大,(,小,),值,但如果连续函数在区间,(,a,，,b,),内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值,失误防范,1,已知函数,f,(,x,),是增函数,(,或减函数,),求参数的取值范围时，应令,f,(,x,),0(,或,f,(,x,),0),恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的值能否使,f,(,x,),恒等于,0,，若能恒等于,0,，则参数的这个值应舍去，若,f,(,x,),不恒为,0,则由,f,(,x,),0(,或,f,(,x,),0),恒成立解出的参数的取值范围确定,2,求函数最值时，要注意极值、端点值的比较,3,要强化导数的工具性作用,在处理方程的根、不等式恒成立等问题时,注意导数的应用,考向瞭望把脉高考,命题预测,从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点，试题大多有难度，注意的是不等式的证明按考纲的说明应弱化，但会以另一种形式来体现,考查时多与函数的单调性、极值结合命题，考生学会做综合题的能力,预测,2013,年福建高考仍将以利用导数研究函数的单调性、极值与最值结合题目为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题,典例透析,(,本题满分,14,分,)(2011,高考福建卷,),已知,a,，,b,为常数，且,a,0,，函数,f,(,x,),ax,b,ax,ln,x,，,f,(e),2(e,2.71828,是自然对数的底数,),(1),求实数,b,的值；,(2),求函数,f,(,x,),的单调区间；,例,【,解,】,(1),由,f,(e),2,得,b,2.4,分,(2),由,(1),可得,f,(,x,),ax,2,ax,ln,x,.,从而,f,(,x,),a,ln,x,.,因为,a,0,，故：,当,a,0,时，由,f,(,x,)0,得,x,1,，由,f,(,x,)0,得,0,x,1,；,当,a,0,得,0,x,1,，由,f,(,x,)1.,综上，当,a,0,时，函数,f,(,x,),的单调递增区间为,(1,，,),，单调递减区间为,(0,1),；,当,a,0,时，函数,f,(,x,),的单调递增区间为,(0,1),，单调递减区间为,(1,，,).8,分,知能演练轻松闯关,本部分内容讲解结束,按,ESC,键退出全屏播放,