线性代数 1.1-1.2 行列式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主讲教师,:,李晓飞,线性代数,1,第一章,一、行列式的概念,三、行列式的计算,四、克莱姆法则,行列式,二、行列式的基本性质,2,第一节,n,阶行列式概念,一,.,二阶与三阶行列式,二,.,n,阶行列式定义,3,一,.,二阶与三阶行列式,二元线性方程组：,由消元法，得,得,同理，得,于是，当,时，方程组有唯一解,1.,二阶行列式,4,由方程组的四个系数确定,.,定义,表达式,=,a,11,a,22,-,a,12,a,21,称为 四个数字,所确定的,二阶行列式,.,其中，数,a,ij,(,i,=1,2;,j,1,2),称为行列式的元素,i,为行标，表明元素位于第,i,行；,为列标，表明元素位于第 列,.,注：,二阶行列式表示一个数,.,5,对角线法则,二阶,行列式的计算,主,对角线,次对角线,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,6,7,因此，上述二元线性方程组的解可表示为,8,例,1.1,解方程组,解,因为,所以,9,2.,三阶行列式,类似地，为讨论三元线性方程组,引进三阶行列式的定义,10,另外三阶行列式也可按“对角线法则”求值,注意,红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三个元素的乘积冠以负号,11,例,1.2,计算三阶行列式,解,12,对于三元线性方程组，若其系数行列式,可以,验证,，方程组有唯一解，,其中,13,例,1.3,解线性方程,组,解,14,故方程组的解为,:,自然的问题,这种方法是否适合高阶情形？,15,表示由,n,2,个数,按某种规则运算得到的一,个数，称之为,n,阶行列式,。,三,、,n,阶,行列式,排成,n,行,n,列,的表构成的表达式，,1,、定义,n,阶行列式,是一个数，,它是由,n,个,n,1,阶行列,式表示：,16,按,第一列展开,17,推广,对,n,阶上三角行列式按第一列展开,例,6,计算,按第一列展开,18,作业,P10 1(1)(2)(3)2,19,一、,行列式的性质,第二节,行列式的性质,第一章,二、利用,行列式的性质计算行列式 的值。,20,一行列式的性质,设,则称,为,D,的转置行列式，,记,为,D,T,。,21,即,行列式,D,的值与其转置行列式,D,T,的值相等。,由性质,1,，,行列式中行与列的地位是对称的,因此凡是有关行的性质，对列也是同样成立。,性质,1,例如,下三角行列式转置行列式为上三角形,22,互换两行（列），行列式值,变号,。,推论,1,行列式两行（列）相同，则,。,这是因为，对换相同的两行（列）的对应,元素的位置后出现,D,D,性质,2,行列式中,i,行（列）与,j,行（列）对应元素对调，,记为,23,性质,3.,行列式的某一行（列）中所有元素的公,因,子,可以提到行列式记号的外面,.,推论,2,24,如果行列式两行（列）对应成比例，,性质,4.,则行列式的值为零。,25,性质,5.,单行,(,列,),可加性,例如,26,例,1,计算下列行列式的值,27,性质,6.,将行列式的某一行的每个元素乘以同,一数,k,后加到,另一行对应元素上去，行列式,的值不变。,行列式中,j,行（列）各元素乘以常数,k,加到,i,行（列）对应元素上，记为,可以运用性质,6,，将某行列式化为上三角,行列式，从而求值。,注意,28,例,2,计算下列行列式的值,29,性质,7.,30,计算行列式,例3,31,二、利用行列式的性质计算行列式,上下三角形行列式的值,=,对角线上元素之积,注意,：此方法,极其重要,，,它是计算行列式的,一,个重要方法,且对学习以后各章有普遍意义。,化三角形法：,32,例,5,计算下列行列式的值,33,2.,34,35,36,（按第一列展开）,例6,37,作业,P22 1,(1)(2)(4)(7),3,(1),38,