w140动能定理.ppt

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学,（自然形式表达式）,上式称为,自然法表示的功的计算公式,。,7,一、功的概念,设对应微小弧段 的位移为 ，则力的元功的表达式为,力 从 到 所作的功为,上式称为,矢径法表示的功的计算公式,。,设,：,则,上式称为,直角坐标法表示的功的计算公式,，也称为,功的解析表达式,。,8,三合力的功,质点,M,受,n,个力 作用合力为则合力的功,动 力 学,即,作用于质点的合力在任一路程中所作的功，等于各分力,在同一路程中所作的功的代数和。,9,四常见力的功,1,重力的功,质点系：,质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。,质点：重力在三轴上的投影：,动 力 学,10,2,弹性力的功,弹簧原长，在弹性极限内,k,弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位,变形时所需的力。,N/m,N/cm,。,弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。,动 力 学,11,作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。,若,m,=,常量,则,注意：功的符号的确定。,3,万有引力的功,万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。,如果作用力偶，,m,且力,偶的作用面垂直转轴,4,作用于转动刚体上的力的功，力偶的功,设在绕,z,轴转动的刚体上,M,点作用有力，计算刚体转过一角度,时力所作的功。,M,点轨迹已知。,动 力 学,12,5,摩擦力的功,动滑动摩擦力的功,N,=,常量时,W,=,fN S,与质点的路径有关。,动 力 学,如图，当物体在固定面上滑动时，则滑动摩擦力的功为,当 为常量时,其中,为质点所经过的弧长。由此可见，摩擦力所作的功与质点所走过的,路径有关,。,13,正压力，摩擦力作用于瞬心,C,处，而瞬心的元位移，,vc,=0,，,c,点速度为,0,圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功,滚动摩擦阻力偶,m,的功,5,摩擦力的功,动滑动摩擦力的功,N,=,常量时,W,=,fN S,与质点的路径有关。,若,m,=,常量则,动 力 学,14,力 的 功,力 的 功,二、常见力的功,如图，当刚体在固定平面上作纯滚动时，,摩擦力和法向反力作用在瞬心上，由于瞬心速度等于零,，,故瞬心没有位移。因此摩擦力和法向反力不作功,。,15,五质点系内力的功,动 力 学,可变质点系,内力元功之和不等于零,不变质点系,刚体平动,内力元功之和等于零,只要,A,、,B,两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零,。,不变质点系,的内力功之和等于零。,刚体的内力功,之和等于零。,不可伸长的绳索,内力功之和等于零。,16,动 力 学,六理想约束反力的功,约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束,。,1,光滑固定面约束,2,活动铰支座、固定铰支座和向心轴承,17,（,5,）柔性约束（不可伸长的绳索）,（,4,）联接刚体的光滑铰链（中间铰）,（,3,）刚体沿固定面作纯滚动,拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。,18,理想约束,约束反力作功等于零的约束,理想约束,。,d,r,1,d,r,2,O,1,2,F,1,F,2,19,14-2,动能,物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强,弱的又一种度量。,瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是,J,。,动 力 学,2,质点系的动能,1,质点的动能,质点系内所有质点在某瞬时动能的算术和称为该瞬时质点系的动能。即：,20,质点系,和刚体的动能,2.质点系的动能,是质点系内所有质点在同一瞬时的动能的代数和,定义:,3.刚体的动能,对于平动刚体，有,平动刚体的动能等同于质量为其总质量的质点的动能,(1)平动刚体的动能,21,(2).定轴转动刚体的动能,v,i,r,i,m,i,y,x,z,定轴转动刚体上任,一点的速度,为：,J,z,定轴转动刚体的动能等于其绕转轴的转动惯量与角速度 平方乘积的一半。,代入质点系动能的计算式，有,22,(3)平面运动刚体的动能,刚体的平面运动可以视为刚体在该瞬时绕速度瞬心,P,作瞬时的转动，角速度为，则有,P,C,M,i,由转动惯量的平行轴定理，有,平面运动刚体的动能等于绕质心轴转动的动能与以质心速度 平动动能之和。,称为柯尼西定理,注意:,（1）平面 运动刚体动能由两部分组成。,（2）式中速度均为绝对速度。,23,求质量为,m,，半径为,R,的均质圆柱在下面三种情况下物体的动能。,例,题,C,v,(a),C,(b),平动,绕定轴C作定轴转动,刚体作平面运动,C,v,C,(c),P,或,对于(c)而言，,P,为瞬心,24,14-3,动能定理,一、质点的动能定理,因此,微分形式的质点动能定理,两边点乘以，有,动 力 学,质点动能定理的微分形式,质点,动能的微分,等于作用于质点上的,力的元功,。,25,动 力 学,将上式沿路径积分，,质点动能定理的积分形式,积分形式的质点动能定理,得：,在该路程上所作的功,。,二、质点系的动能定理,质点系动能定理的微分形式,对质点系中的一质点 ：,在任一路程中，质点动能的变化，等于作用于质点上的力,质点,动能的微分,等于作用于质点上的,力的元功,。,26,将上式沿路径 积分，可得,积分形式的质点系动能定理,对整个质点系，有,动 力 学,即,微分形式的质点系动能定理,质点系动能的微分，等于作用于质点系上所有力的元功,之和。,质点系动能定理的积分形式,质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于,质点系上所有的力在相应路程中所作功的和。,27,动 能 定 理,二、质点系的动能定理,以上动能定理可以根据作用在质点系上力系的特点，把力系按不同的方法分类，动能定理将有不同的表达形式，现分别讨论如下：,28,动 能 定 理,二、质点系的动能定理,1,、按外力和内力分类 则有,内力的元功之和不一定为零。例如，蒸汽机车汽缸中的蒸汽压力，自行车的闸块与车圈间的摩擦力，机械系统内部包含发动机或变形元件（如弹簧等）时，内力的功均要考虑。,若质点系全部内力的元功之和为零，,则质点系动能定理的形式分别为,和,29,动 能 定 理,二、质点系的动能定理,2,、按主动力和约束反力分类 则有,分析各种约束可知：如果约束中不存在摩擦力，（即光滑约束）或约束力作用点没有位移，则约束反力不作功或作功之和为零，这种约束称为,理想约束,。,30,动 力 学,在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的,形式,理想约束条件下质点系的动能定理,微分形式,积分形式,在理想约束的条件下，质点系动能的微分，等于作用于质点系上所有主动力的元功之和。,在理想约束的条件下，质点系在某一段路程中始末位置,动能的改变量等于作用于质点系上所有的主动力在相应路程,中所作功的和。,31,已知：质量为,m,的物体自由落下，落到有弹簧支持的板上，如图所示。假设板和弹簧的质量都忽略不计，弹簧的刚度系数为,k,。求弹簧的最大压缩量。,例 题 1,m,h,s,max,求得,解：,物体从位置落到板上时是自由落体运动，速度由0增到,v,1,，动能由0变为 。,在这段过程中，重力作的功为,mgh,应用动能定理得,32,m,h,s,max,应用动能定理得,求得,由于弹簧的压缩量必定是正值，因此答案取正号，即,物体继续向下运动，弹簧被压缩，物体速度逐渐减小。当速度等于零时，弹簧被压缩到最大值,s,max,。,这段过程中重力作的功为,mg,s,max,，弹簧力作的功为,33,解得的结果与前面所得相同。,m,h,s,max,另外，也可把上两段合在一起考虑，即对质点从开始下落至弹簧压缩到最大值的过程应用动能定理。,在这一过程的始末位置质点的动能都等于零。在这一过程中，重力作的功为,mg,(,h,+,s,max,)，弹簧力作的功同上，于是有,3413-17,重物,A,的质量为,m,1,，,系在绳子上，绳子跨过一不计质量的固定滑轮,D,，,并绕在鼓轮,B,上，如图所示，由于重物下降，带动了轮,C,，使它沿水平轨,道滚动而不滑动。设鼓轮半径为,r,，轮,C,的半径为,R,，两者固连在一起，,总质量为,m,2,，对于其水平轴,O,的回转半径为 ，求重物,A,的加速度？,O,B,C,D,A,13,章用平面运动微分方程求解,35,O,B,C,D,A,m,1,g,s,v,解：,取系统为研究对象,P,由运动学可知：,主动力的功：,由动能定理得：,36,O,B,C,D,A,m,1,g,s,v,P,由动能定理得：,解得：,37,O,C,B,P,O,AC,B,P,F,例 题,已知,：,轮,O,质量为,m,，,P,，,f,。,求,：,轮,O,移动距离,S,时,轮的角速度、角加速度。,F,T,F,N,m,g,解：,取轮,O,为研究对象,主动力的功：,由动能定理得：,38,O,C,B,P,O,A,C,B,P,F,F,T,F,N,m,g,由动能定理得：,解得：,39,14-4,功率,功率方程,一功率,力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重,要指标）。,作用力的功率：,力矩的功率：,功率的单位：瓦特（,W,），,千瓦（,kW,），,W=,J/s,。,动 力 学,40,二功率方程,由 的两边同除以,dt,得,起动阶段（加速）：即,制动阶段（减速）：即,稳定阶段（匀速）：即,动 力 学,功率方程,功率方程,质点系的动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系所有,力的功率的代数和。,讨论,41,动 力 学,机器稳定运行，时的机械效率,是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下,。,三机械效率,定义,有效功率（有用功率与系统动能变化率 之和）与输,入功率之比称为机械效率。,42,例 题,9,车床电动机的功率,P,输入,5.4 kW,。,传动零件之间,的磨擦损耗功率为输入功率的,30,。,工件的直径,d,100 mm,。,求：,转速,n=,42 r/min,和,n,=112 r/min,的允许最大切削力。,解：,车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化,其中,切削力,F,与工件在切削力作用点的速度,v,同向,43,例 题,9,车床电动机的功率,P,输入,5.4 kW,。,传动零件之间,的磨擦损耗功率为输入功率的,30,。,工件的直径,d,100 mm,。,求：,转速,n=,42 r/min,和,n,=112 r/min,的允许最大切削力。,切削力,F,与工件在切削力作用点的速度,v,同向,当,n,=42 r/min,时,当,n,=112 r/min,时,44,14-5,势力场、势能、机械能守恒定律,一势力场,1,力场,若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。,质点在势力场中受到的场力称为,有势力,(,保守力,),如重力、,弹性力等。,2,势力场,在力场中,如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。,重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。,动 力 学,45,二势能,定义,在势力场中,质点从位置,M,运动到任选位置,M,0,有势力所作的功称为质点在位置,M,相对于位置,M,0,的势能，用,V,表示。,M,0,作为基准位置，势能为零，称为,零势能点,。势能具有相对性。,是位置坐标的单值连续函数，称为势能函数。,将上式求微分，则有：,动 力 学,46,1.,重力场,质点：,质点系：,质点系的势能：,即：有势力在各坐标轴上的投影等于势能函数对于相应坐标,偏导数的负值。,几种势能计算,动 力 学,等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。,47,有势力的功等于质点系在运动中的始末位置的势能之差。,三有势力的功,在,M,1,位置：,M,2,位置：,M,1,M,2,：,动 力 学,2.,弹性力场,取弹簧的自然位置为零势能点,3.,万有引力场,取与引力中心相距无穷远处为零势能位置,48,设质点系,只受到有势力,(,或同时受到不作功的非有势力,),作,用，则,对非保守系统，设非保守力的功为,W,12,(,总能量仍然是守恒的,),则有,四机械能守恒定律,机械能：系统的动能与势能的代数和,。,质点系只在,有势力作用下,运动时其机械能保持不变。这,样的系统称为保守系统。,动 力 学,机械能守恒定律,有：,49,初瞬时：,任一瞬时：,动 力 学,例,1,长为,l,，,质量为,m,的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角,和质心的位置表达）。,解,：由于 ，故质心,C,铅垂下,降。,而约束反力不作功,主动力为有,势力，因此可用机械能守恒定律求解。,50,动 力 学,由机械能守恒定律：,将 代入上式，化简后得：,有：,51,14-6,动力学普遍定理及综合应用,动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。,动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。,动 力 学,动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普,遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是,能根据问题的已知条件和待求量，,选择适当的定理求解,，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。,二是,对比较复杂的问题，能根据需要,选用,两、三个,定理联合求解。,一动力学普遍定理及综合应用,含义,52,动 力 学,求解过程中,要正确进行运动分析,列出正确的运动学补充方程。,已知主动力和运动初始条件,约束反力,系统的运动,约束反力,系统的运动,动能定理；质心运动定理；动量定理；动量矩定理；定轴转动微分方程；刚体平面运动微分方程；各种守恒定理。,质心运动定理；动量定理；动量矩定理；刚体平面运动微分方程。,二普遍定理综合应用三方面的问题,动能定理；质心运动定理；动量定理；动量矩定理；定轴转动微分方程；刚体平面运动微分方程；各种守恒定理。,质心运动定理；动量定理；动量矩定理；刚体平面运动微分方程。,已知主动力和运动初始条件,53,【,例,15】,如图所示两均质圆轮质量均为,m,，半径为,R,，,A,轮绕固定轴,O,转动，,B,轮在倾角为,的斜面上作纯滚动，,B,轮中心的绳绕到,A,轮上。若,A,轮上作用一力偶矩为,M,的力偶，忽略绳子的质量和轴承的摩擦，求,B,轮中心,C,点的加速度、绳子的张力、轴承,O,的约束力和斜面的摩擦力。,54,解：,取整体为研究对象，假设轮,B,的中心,C,由静止开始沿斜面向上运动一段距离,s,，则各力所作功的和为,由动能定理,T,2,-T,1,=W,12,，得,将上式对时间求导，得,55,(2),取轮,A,为研究对象，应用定轴转动微分方程,其中,得,应用质心运动定理，得,因,a,ox,=,a,oy,=0,，得,56,(3),取轮,B,为研究对象，应用质心运动定理，得,代入已量，得,57,【,例,16】,均质细长杆为,l,、质量为,m,，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。,58,解：,由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，且初始静止，故倒下过程中质心将铅直下落。设杆左滑于任一角度,，如图所示，,P,为杆的瞬心。由运动学知，杆的角速度,由动能定理,T,2,-,T,1,=,W,12,，得,当,=,0,时解出,59,杆刚到达地面时，,由刚体平面运动微分方程，得,点,A,的加速度,a,A,为水平，由质心守恒，,a,C,应为铅垂，由运动学知,沿铅垂方向投影，得,60,作业,14-24,14-25,61,第十四章结束,动 力 学,62,动能定理,63,见书,14-2,已知：,摩擦阻力为车重的,0.2,倍，空车重,G,0,求：,G/,G,0,=,？,解：,取车研究对象，设弹簧的,最大变形为,m,(1),车下滑到弹簧压缩至最大,l,m,30,k,(2),车卸料后又弹回原位置，由动能定理得,由动能定理得,解得：,64,O,P,W,v,例 题,均质圆轮半径为,R,、,质量为,m,，,圆轮对转轴的转动惯量为,J,O,。圆轮在重物,P,带动下绕固定轴,O,转动，已知重物重量为,W,。,求,：重物下落的加速度,s,解：,取系统为研究对象,主动力的功：,由动能定理得：,将上式对时间求导，并注意,65,O,P,W,v,s,由动能定理得：,将上式对时间求导，并注意,解得：,66,例 题,已知,：,m,，,R,f,，,。,求：,纯滚时盘心的加速度。,C,F,N,m,g,v,C,F,解：,取系统为研究对象,s,主动力的功：,由动能定理得：,解得：,67,功率方程,68,B,A,E,14-15,已知,：,轮,A,质量为,m,2,，,R,，,杆,AB,质量,m,1,，长,l,。,求,：,=45,点,A,在初 瞬时的加速度。,m,2,g,AB,E,B,A,C,v,B,v,A,v,E,解：,取系统为研究对象，在任意角,时,m,1,g,由运动学可知：,系统总动能：,69,B,A,E,m,2,g,AB,E,B,A,C,v,B,v,A,v,E,m,1,g,系统的总功率：,代入功率方程：,注意到,和,v,A,都是,t,的函数，且有：,70,B,A,E,m,2,g,AB,E,B,AC,v,B,v,A,v,E,m,1,g,注意到 初瞬时：,v,A,=0,，,=,=,45,71,例 题,求,：,轴,的角加速度。,已知,：,J,1,，,J,2,，,R,1,，,R,2,，,i,12,=,R,2,/,R,1,M,1,，,M,2,。,M,1,M,2,解：,取系统为研究对象,由运动学可知：,主动力的功：,72,M,1,M,2,由动能定理得：,将上式对时间求导，并注意,解得：,73,例 题,B,A,C,P,m,g,v,C,解：,取杆为研究对象,主动力的功：,由动能定理得：,解得：,74,B,A,C,P,m,g,v,C,由动能定理得：,解得：,将方程对时间求导，并注意,解得：,75,AB,B,A,O,例 题,已知,：,两均质杆质量为,m,，,长度为,l,轮,B,质量为,m,。,求,：轮,B,的速度。,解：,取系统为研究对象,v,B,v,A,AB,由运动学可知，,AB,杆速度瞬心在,A,点,主动力的功：,由动能定理得：,解得：,76,三综合应用举例,例,1,两根均质杆,AC,和,BC,各重为,P,，,长为,l,，在,C,处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，,C,点高度为,h,，,求铰,C,到达地面时的速度。,动 力 学,77,解,：由于不求系统的内力，可以不拆开。,研究对象：整体；,分析受力如图；,动 力 学,计算主动力的功；,运动分析计算动能78,关于摩擦力的作功,0,O,F,N,F,M,功是力与其作用点位移的点乘。这里“位移”并不是力作用点在空间中的位移，而是指受力物体上受力作用那一点的位移。,C,M,F,79,例,图示的均质杆,OA,的质量为,30kg,，,杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数,k,=3kN/m,，,为使杆能由铅直位置,OA,转到水平位置,OA,，,在铅直位置时的角速度至少应为多大？,解,：研究,OA,杆；,由,.,0,3,rad/s,67,=,w,动 力 学,计算主动力的功；,运动分析计算动能；,根据动能定理求解：,例,图示系统中,均质圆盘,A,、,B,各重,P,，,半径均为,R,两盘中心线为水平线盘,A,上作用矩为,M,(,常量,),的一力偶；重物,D,重,Q,。,问下落距离,h,时重物的速度与加速度。,(,绳重不计，绳不可伸长，盘,B,作纯滚动，初始时系统静止,),动 力 学,解,：取系统为研究对象；,计算主动力的功；,运动分析计算动能；,81,动 力 学,根据动能定理求解：,上式求导得：,82,例,行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径,r,重,P,视为均质圆盘；曲柄重,Q,长,l,作用一力偶,矩为,M,(,常量,),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度,(,以转角,的函数表示,),和角加速度。,解,：取整个系统为研究对象；,动 力 学,计算主动力的功；,运动分析计算动能；,83,动 力 学,得：,将,式对,t,求导,得：,根据动能定理求解：,例,4,两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；,OA,杆质量是,AB,杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当,OA,杆转到铅垂位置时，,AB,杆,B,端的速度。,解,：取整个系统为研究对象,计算主动力的功；,84,动 力 学,运动分析计算动能；,根据动能定理求解：,85,动 力 学,讨论,动量守恒定理动能定理求解。,计算动能时，利用平面运动的运动学关系。,根据动能定理求解：,例,2,均质圆盘,A,：,m,，,r,；,滑块,B,：,m,；杆,AB,：,质量不,计，平行于斜面。斜面倾角,，摩擦系数,f,，,圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。,86,解：选系统为研究对象,运动学关系：,动 力 学,计算主动力的功；,运动分析计算动能；,根据动能定理求解：,87,动 力 学,上式两边对,求导，得：,例,3,重,150N,的均质圆盘与重,60N,、,长,24cm,的均质杆,AB,在,B,处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。,求,系统经过最低位置,B,点时的速度及支座,A,的约束反力。,解：（,1,）取圆盘为研究对象,圆盘平动。,88,代入数据，得,动 力 学,取系统研究。初始时,T,1,=0,，,最低位置时：,（,2,）用动能定理求速度,。,89,（,3,）用动量矩定理求杆的角加速度,。,由于,所以,0,。,杆质心,C,的加速度：,盘质心加速度：,（,4,）由质心运动定理求支座反力。,研究整个系统。,代入数据，得,动 力 学,90,相对质心动量矩守恒定理,+,动能定理,+,动量矩定理,+,质心运动定理。,可用对积分形式的动能定理求导计算,，但要注意需取杆,AB,在,一般位置进行分析,。,例,4,基本量计算,(,动量,动量矩,动能,),动 力 学,91,例,质量为,m,的杆置于两个半径为,r,，,质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。,解：,(1),用动能定理求解。,取系统为研究对象，杆作平动，圆柱体作平面运动。设任一瞬时，杆的速度为,v,，,则圆柱体质心速度为,v,/2,，,角速度,系统的动能,主动力的元功之和：,由动能定理的微分形式：,两边除以，并求导数，得,动 力 学,92,(2),用动量矩定理求解,取系统为研究对象,根据动量矩定理：，得,动 力 学,93,解,：取杆为研究对象,由质心运动定理：,例,6,均质杆,OA,，重,P,，长,l,，,绳子突然剪断。,求,该瞬时，角加速度及,O,处反力。,由定轴转动微分方程：,动 力 学,94,动力学普遍定理,动量定理,动量矩动量,动能定理,动量方法,能量方法,质点系普遍定理的综合应用,95,动力学两类问题与分析程序,主动力,质点系运动,质点系运动,动,约束力非,自由质点系,一般分析程序：,先避开未知约束力，求解运动量；,然后再现在合适的定理，确定动约束力。,96,动力学两类问题与分析程序,需要特别注意自由度的概念，注意分析约束的性质,确定：,系统是单自由度还是多自由度；,是一处约束还是多处约束；,是理想约束还是非理想约束。,对于具有理想约束，特别是具有多处约束的一个自由度系统，,一般先应用动能定理分析运动，然后再采用动量定理或动量矩,定理，确定动约束力。,对于具有一处约束的系统，或者虽然具有多处约束的系统，,但所要求的是瞬时二阶运动量和未知约束力，这时可以联合,应用动量定理和动量矩定理。,对于二自由度系统或多自由度系统，需要综合应用动能定,理、动量定理、动量矩定理。这种情形下需要特别注意系统,的守恒情形。,97,B,O,2,例 题,11,A,O,1,30,o,D,W,W,W,M,均质圆轮,A,和,B,的半径均为,r,，,圆轮,A,和,B,以及物块,D,的重量均为,W,，,圆轮,B,上作用有力偶矩为,M,的力偶，且,3,Wr,/,2,M,Wr,/,2,。,圆轮,A,在斜面上作纯滚动。不计圆轮,B,的轴承的摩擦力。,求：,1,、物块,D,的加速度；,2,、二圆轮之间的绳索所受拉力；,3,、圆轮,B,处的轴承约束力。,98,B,O,2,A,O,1,30,o,D,W,W,W,M,解：,首先，讨论系统的自由度、,约束以及广义坐标的选择。,自由度：,1,约束：,多,约束,广义坐标：,s,D,O,s,D,解：,1,、确定物块的加速度,对,系统整体应用动能定理,99,B,O,2,A,O,1,30,o,D,W,W,W,M,s,D,O,解：,1,、确定物块的加速度,将所有运动量都表示成广义坐标,s,D,的形式,为求物块的加速度，将等式两边对时间求一阶导数，得到,当,M,Wr/,2,，,a,D,0,，,物块向上运动,100,D,B,O,2,W,W,F,T,F,By,F,Bx,M,解：,2,、确定圆轮,A,和,B,之间绳索的拉力,A,O,1,D,W,M,B,O,2,30,o,W,W,解除圆轮,B,轴承处的约束，将,AB,段绳索截开，对圆轮,B,绳索和物块,D,组成的局部系统应用动量矩定理,根据运动学关系,101,D,B,O,2,W,W,F,T,F,By,F,Bx,M,解：,3,、确定圆轮,B,轴承处的动约束力,对圆轮,B,、,绳索和物块,D,组成的局,部系统应用质心运动定理,102,A,O,30,C,例 题,12,均质圆盘,O,放置在光滑的水平面上，质量为,m,，,半径为,R,，,匀质细杆,OA,长为,l,，,质量为,m,。,开始时杆在铅垂位置，且系统静止。,求：,杆运动到图示位置时的角速度。,解：,首先，讨论系统的自由度、,约束以及广义坐标的选择。,自由度：,2,约束：,多,约束,广义坐标：,x,O,，,x,103,A,O,30,C,解：,取系统为研究对象，因轮置于光滑面上，固其作平动。设其速度为,v,O,。,杆转动的角速度为,。,A,O,30,C,v,CA,对,系统整体应用动能定理,由刚体的平面运动分析得,104,A,O,30,C,A,O,30,C,v,CA,由系统在水平方向的动量守恒得,将,v,O,代入动能定理方程可解得,105,结论与讨论,关于动量和动能的再讨论,正确计算刚体平面运动时的动能,速度,(,角速度,),分析与动能计算,关于三个动力学定理的综合应用,关于动能定理与机械能守恒,关于溜溜球与人造卫星的溜溜消旋,106,关于汽车驱动问题的结论,发动机给出的主动力偶克服阻力和阻力偶作功,使汽车的动能增加；,与汽车行驶方向相同的摩擦力克服方向相反的,摩擦力与空气的阻力使汽车的动量增加。,如果路面很滑，摩擦力很小，发动机功率再大,汽车也只能打滑，而不能向前行驶；反之，如果,路面很粗糙，摩擦力可以很大，而发动机不能发,出足够大的功率，汽车同样不能向前行驶。,结论与讨论,关于动量和动能,的再讨论,107,运动员跑步时，脚底与地面之间的摩擦力并,不作功，其作用是使运动员的动量增加；小腿,的肌肉,(,比目鱼肌,),收缩产生内力而作功，使运,动员的动能增加。二者都是运动员跑步前进的,驱动力。,结论与讨论,关于动量和动能,的再讨论,108,应用动能定理时，很重要的是，正确计算系统,的动能。特别是正确计算刚体平面运动的动能。,因此，要正确应用柯希尼定理。,质点系的动能,(,绝对运动动能,),，等于系统跟,随质心平移的动能,(,牵连运动动能,),与相对于质,心平移系运动的动能,(,相对运动动能,),之和。,结论与讨论,正确计算刚体,平面运动时的动能,109,A,B,O,x,x,均质杆,AB,长度为,l,、,质量为,m,A,端与小圆滚轮铰接，小圆滚轮的重量不计。广义坐标,q=,(,x,),。,请判断关于系统动能的下列表达式是否正确：,结论与讨论,正确计算刚体,平面运动时的动能,110,O,R,r,0,C,*,行星轮机构中，小圆轮的质量为,m,。,请判断关于小圆轮动能的下列表达式,是否正确？,结论与讨论,正确计算刚体,平面运动时的动能,111,计算动能必须正确确定速度或角速度。为此需要,首先分析运动，进而选择相应的方法计算速度或角,速度。,确定速度和角速度的方法,点的运动学分析方法,选择合适的描述点的运动坐标,系，写出的运动方程或方程组，再将方程或方程组对时,间求一次导数，即得点的速度。,点的复合运动分析方法,正确选择动点和动系，确定,牵连速度、相对速度和绝对速度。,刚体平面运动分析方法,建立在速度合成定理基础上,的基点法、速度投影法、瞬时速度中心法。,结论与讨论,速度,(,角速度,),分析,与动能计算,112,确定速度和角速度的方法,C,A,r,半径为,r,的大圆环，不计质量，,绕,O,轴旋转大圆环上套有质量,为,m,的小圆环,A,。,小圆环在光滑的,大圆环上自由滑动。,怎样确定小圆环的速度，进而确定其动能？,O,x,y,结论与讨论,速度,(,角速度,),分析,与动能计算,113,墙面,地面,A,B,l,m,v,A,O,x,y,长度为,l,，,质量为,m,的均质杆件,AB,，,杆件两端,A,和,B,分别沿光滑的墙面和,地面滑动，,A,端的速度为,v,A,。,怎样确定杆件,AB,的速度，,进而确定其动能？,确定速度和角速度的方法,结论与讨论,速度,(,角速度,),分析,与动能计算,114,动量定理、动量矩定理和动能定理的比较,动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述,质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力,之间的关系。,整体运动的变化,所受的作用力,动 量 定 理,动 能 定 理,动量矩定理,动 量,力,(,冲量,),动量矩,力 矩,动 能,力 的 功,动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用,于求解动力学的两类基本问题。,结论与讨论,关于几个动力学定理,的综合应用,115,动量定理、动量矩定理和动能定理的比较,动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机,械运动范围内的运动变化问题。,动能定理可以用于研究机械运动与其他运动,形式之间的运动转化问题。,结论与讨论,关于几个动力学定理,的综合应用,116,关于几个动力学定理,的综合应用,动量定理、动量矩定理和动能定理的比较,动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，,描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的,大小，而且涉及运动量的方向。,动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整,体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如,何运动，动能定理只能提供一个方程。,动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间,参数。,动能定理的表达式中含有路程参数。,结论与讨论,117,动量定理、动量矩定理和动能定理的比较,动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力,(,内力的主矢和主矩均为零,),动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力,(,可变质点系,),；对于理想约束，则只包含主动力。,关于几个动力学定理,的综合应用,结论与讨论,118,动量定理、动量矩定理和动能定理的比较,分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的,原则是：,1,、所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容易地,表达出来；,2,、,在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。,对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如,果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及,的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。,如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将,系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个标量,方程，求得速度或加速度,(,角速度或角加速度,),。,关于几个动力学定理,的综合应用,结论与讨论,119,B,C,动量定理、动量矩定理和动能定理的比较,A,W,W,k,l,0,O,x,x,为求物块,A,下降至,任意位置,(,x,),时的加速,度，可以采用哪一个,动力学定理？,W,关于几个动力学定理,的综合应用,结论与讨论,120,动量定理、动量矩定理和动能定理的比较,k,l,0,O,x,x,A,B,R,C,r,W,W,为求物块,A,下降至,任意位置,(,x,),时的加速,度，可以采用哪一个,动力学定理？,W,关于几个动力学定理,的综合应用,结论与讨论,121,关于动能定理与机械能守恒,动能定理建立了作用在质点系上的力所作之功,与质点系动能变化之间的关系；机械能守恒所建,立的是质点系的动能与势能之间的相互转化关系。,动能定理中可以包含任何非有势力所作之功，,因此，动能定理所包含的内容比机械能守恒更加,广泛。可以说，机械能守恒是质点系所受之力均,为有势力时的动能定理。,结论与讨论,122,应用机械能守恒求解动力学问题时，摩擦力如,何考虑？要看摩擦力是否作功。,1,、,当系统存在摩擦力，并且摩擦力作功，这时,机械能守恒不成立，只能应用动能定理；,2,、,当系统存在摩擦力，但是摩擦力不作功，这,时机械能守恒成立，可以应用机械能守恒。,关于动能定理与机械能守恒,结论与讨论,123,？,可以应用机械能守恒吗,B,C,A,W,W,k,l,0,O,x,x,W,F,关于动能定理,与机械能守恒,结论与讨论,124,？,可以应用机械能守恒吗,k,l,0,O,x,x,A,B,R,C,r,W,W,W,F,关于动能定理与,机械能守恒,结论与讨论,125,l,l,O,A,m,m,已知,：,l,、,m,、,OA,d,、,研究,：,1,、,应用势能驻值定理，,确定跷板的可能平衡位形；,跷板,2,、,应用机械能守恒确定跷板,作二维微振动的振动方程；,3,、,确定二维微振动的固有频,率与运动稳定性条件。,关于动能定理与机械能守恒,结论与讨论,126,关于溜溜球与人造卫星,的溜溜消旋,127,关于溜溜球与人造卫星,的溜溜消旋,结论与讨论,128,关于溜溜球与人造卫星,的溜溜消旋,结论与讨论