z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,z,变换和,DTFT,本章主要内容：,1,、,z,变换的定义及收敛域,2,、,z,变换的反变换,3,、,z,变换的基本性质和定理,4,、离散信号的,DTFT,5,、,z,变换与,DTFT,的关系,6,、离散系统的,z,变换法描述,2.1 z,变换的定义及收敛域,信号和系统的分析方法有两种：,时域分析方法,变换域分析方法,连续时间信号与系统,LT FT,离散时间信号与系统,ZT FT,一、,ZT,的定义,z,是复变量，所在的复平面称为,z,平面,二、,ZT,的收敛域,对于任意给定序列,x(n),，,使其,z,变换,X(z),收敛的所有,z,值的集合称为,X(z),的收敛域。,级数收敛的充要条件是满足绝对可和,1,）有限长序列,除0和两点是否收敛与,n1,和,n2,取值情况有关外，整个,z,平面均收敛。,如果,n2,0，,则收敛域不包括点,如果,n1,0，,则收敛域不包括,0,点,如果,n10n2，,收敛域不包括,0、,点,2,）右边序列,因果序列,的,z,变换必在,处收敛,在,处收敛的,z,变换，,其序列必为,因果序列,3,）左边序列,4,）双边序列,例1,收敛域应是整个,z,的闭平面,例2：求,x(n)=R,N,(n),的,z,变换及其收敛域,例3：求,x(n)=,a,n,u,(n),的变换及其收敛域,例4：求,x(n)=-,a,n,u,(-n-1),的变换及其收敛域,例5：求,x(n)=,a,|,n|,，,a,为实数，求,ZT,及其收敛域,给定,z,变换,X(z),不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。,X(z),在收敛域内解析，不能有极点，故：,右边序列,的,z,变换收敛域一定在,模最,大,的有限极点所在圆,之外,左边序列,的,z,变换收敛域一定在,模最,小,的有限极点所在圆,之内,2.2 z,反变换,实质：求,X(z),幂级数展开式,z,反变换的求解方法：,围线积分法（留数法）,部分分式法,长除法,z,反变换,:从,X(z),中还原出原序列,x(n),1,、,围数积分法求解（留数法）,若函数,X(z)z,n-1,在围数,C,上连续，在,C,以内有,K,个极点,z,k,，,而在,C,以外有,M,个极点,z,m,，,则有：,1,、,围数积分法求解（留数法）,根据复变函数理论，若函数,X(z),在环状区域,内是解析的，则在此区域内,X(z),可展开成罗朗级数，即,而,其中围线,c,是在,X(z),的环状,收敛域内环绕原点的一条,反时针方向的闭合单围线。,若,F(z),在,c,外,M,个极点,z,m,，,且分母多项式,z,的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：,利用留数定理求围线积分，令,若,F(z),在围线,c,上连续，在,c,内有,K,个极点z,k,，,则：,单阶极点的留数：,思考：,n=0,1,时，,F(z),在围线,c,外也无极点，为何,2,、部分分式展开法求解,IZT,：,常见序列的,ZT,参见书,p.54,页的表2-1,若函数,X(z),是,z,的有理分式，可表示为：,利用部分分式的,z,反变换和可以得到函数,X(z),的,z,反变换。,例2设,利用部分分式法求,z,反变换。,解：,3,、幂级数展开法求解（长除法）,:,一般,X(z),是,有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到,x(n)。,根据收敛域判断,x(n),的性质，在展开成相应的,z,的幂级数,将,X(z)X(z),的,x(n),展成,z,的 分子分母,按,z,的,因果序列 负幂级数 降幂排列,左边序列 正幂级数 升幂排列,例1,ROC1:,),1,长除法示例,解：由,Roc,判定,x(n),是因果序列，用长除法展成,z,的负幂级数,ROC2:,),1,解：由,Roc,判定,x(n),是左边序列，用长除法展成,z,的正幂级数,解：,X(z),的,Roc,为环状，故,x(n),是双边序列,极点,z=1/4,对应右边序列，极点,z=4,对应左边序列,先把,X(z),展成部分分式,1、线性性,2.3,Z,变换的基本性质和定理,R,1,R,2,R,|,a,|R,R,2、序列的移位,3、,z,域尺度变换,（乘以指数序列）,4、,z,域求导,（序列线性加权）,Z,变换的基本性质（续）,5、翻褶序列,1/,R,R,6、共轭序列,7、初值定理,8、终值定理,Z,变换的基本性质（续,）,9、有限项累加特性,ZT,的主要性质参见书,p.69,页的表2-2,10、序列的卷积和,11、序列乘法,12、帕塞瓦定理,2.4,序列,ZT,、,连续信号,LT,和,FT,的关系,若：,连续信号采样后的拉氏变换,LT,抽样序列：,当,两变换之间的关系，就是由复变量,s,平面到复变量,z,平面的映射，其映射关系为,对比：,进一步讨论这一映射关系：,1,s,平面到,z,平面的,映射是,多值映射,。,辐射线,=,0,T,平行直线,=,0,正实轴,=0,实轴,=0,Z,平面,S,平面,:,:,:,:,抽样序列在单位圆上的,z,变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换,数字频率,w,表示,z,平面的辐角，它和模拟角频率,W,的关系为,在以后的讨论中，将用数字频率,w,来,作为,z,平面上单位圆的参数，即,所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2,p,2.5,离散信号的付氏变换,DTFT,一、,DTFT,的定义,变换对：,称为,离散时间傅里叶变换（,DTFT）。,FT,存在的充分必要条件是：,如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。,二、比较,ZT,和,DTFT,的定义：,利用,ZT,和,DTFT,的,关系可以有,ZT,计算,DTFT。,序列的傅里叶变换是序列的,z,变换在单位圆上的值,例,1,、计算门序列的,DTFT,(类似,Sa(.),函数),(线性相位),解：,DTFT,幅频特性：,相频特性：,图示说明：,),(,w,X,0,p,2,p,2,-,p,p,-,N=8,N,w,例2、已知 (),计算其,DTFT。,由此可以得到,FT,的,幅频特性,和,相频特性,物理说明:若 (语音信号处理中常用该指数,函数展宽单音信号的频谱),该信号3,db,带宽,(或 )。具体求,解过程如下：,令,即,可解出,三、,FT,与,DTFT,的关系,归一化利用,FT,与,DTFT,关系计算下列序列的,DTFT,例：,解：1）,2）,3）,2.6 DTFT,的,一些性质,1、线性性：,2、实序列：,实偶性：,实奇性：,3、时移特性：,4、乘以指数序列,（调制性,）,5、序列线性加权,6、序列翻褶,7、序列共轭,8,、卷积定理：,(,时域,)(,频域,),DTFT,的主要性质参见书,p.78,页的表2-3,9、帕色伐尔定理：,(,Parseval,Theory),频域卷积在一周期内积分,称,周期卷积,。,下面举例说明,DTFT,性质得使用。计算下列积分,I,的值。,解：根据,利用时域卷积定理有：,上式卷积,n=0,时就是积分,I,的值。,2.7,周期性序列的,DTFT,1,、复指数序列的傅里叶变换,复指数序列,e,j,w,0,n,的傅里叶变换，是以,w,0,为,中心，以2,p,的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为,2,p,思考，,DTFT,cos,(,w,0,n+,f)、,DTFT,sin(,w,0,n+,f),2、常数序列的傅里叶变换,常数序列的傅里叶变换，是以,w=,0,为,中心，以2,p,的整数倍为间距的一系列冲激函数，其积分面积为,2,p,3、周期为,N,的抽样序列串的傅里叶变换,周期为,N,的周期性抽样序列，其傅里叶变换是频率在,w=,2,p,/N,的整数倍上的,一系列冲激函数之和，这些冲激函数的积分面积为,2,p/N,4、一般性的周期为,N,的周期性序列的傅里叶变换,周期性序列,（,周期为,N）,的傅里叶变换是,一系列冲激函数串，其冲激函数的积分面积等于,乘以,，,而,是,x(n),的一个周期的傅里叶变换,X(,e,j,w,),在频域中,w=,2,p/N,的整数倍的各抽样点上的抽样值。,即：,e,满足0,e,2,p,/N,从,w=0,之前开始抽样；,在,w=2p,之间结束抽样；,此区间共有,N,个抽样值：,0,k,N-1,周期序列的,DFS,正变换和反变换,周期序列的傅里叶级数（,DFS,）,其中：,2.8 Fourier,变换的对称性质,共轭对称序列：,共轭反对称序列：,任意序列可表示成,x,e,(n),和,x,o,(n),之和,:,其中：,定义：,其中：,同样，,x(n),的,Fourier,变换 也可分解成：,对称性质,序列,Fourier,变换,实数序列的对称性质,序列,Fourier,变换,实数序列的,Fourier,变换满足共轭对称性,实部是,的偶函数,虚部是,的奇函数,幅度是,的偶函数,幅角是,的奇函数,2.9,离散系统的系统函数、系统的频率响应,LSI,系统的,系统函数,H(z),：,单位抽样响应,h(n),的,z,变换,其中：,y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z),系统的,频率响应,：,单位圆上的系统函数,单位抽样响应,h(n),的,DTFT,1,、若,LSI,系统为因果稳定系统,稳定系统的系统函数,H(z),的,Roc,须包含单位圆，,即频率响应存在且连续,H(z),须从单位圆到,的整个,z,域内收敛即系统函数,H(z),的全部极点必须在单位圆内,1,）因果：,2,）稳定：,序列,h(n),绝对可和，即,而,h(n),的,z,变换的,Roc：,3,）因果稳定：,Roc：,2,、系统函数与差分方程,常系数线性差分方程：,取,z,变换,则系统函数,3,、系统的频率响应的意义,1,）,LSI,系统对复指数序列的稳态响应：,2）,LSI,系统对正弦序列的稳态响应,输出同频 正弦序列,幅度受频率响应幅度 加权,相位为输入相位与系统相位响应之和,3,）,LSI,系统对任意输入序列的稳态响应,其中：,微分增量（复指数）：,4,、频率响应的几何确定法,利用,H(z),在,z,平面上的零极点分布,频率响应：,则频率响应的,令,幅角：,幅度：,零点位置影响凹谷点的位置与深度,零点在单位圆上，谷点为零,零点趋向于单位圆，谷点趋向于零,极点位置影响凸峰的位置和深度,极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷,极点在单位圆外，系统不稳定,5,、,IIR,系统和,FIR,系统,无限长单位冲激响应（,IIR,）,系统：,单位冲激响应,h(n),是无限长序列,有限长单位冲激响应（,FIR）,系统：,单位冲激响应,h(n),是有限长序列,IIR,系统：至少有一个,FIR,系统：全部,全极点系统,（,自回归系统，,AR,系统,）,：分子只有常数项,零极点系统,（,自回归滑动平均系统，,ARMA,系统,）:,分子不止常数项,收敛域 内无极点，是全零点系统,（滑动平均系统，,MA,系统）,IIR,系统：至少有一个,有反馈环路，采用递归型结构,FIR,系统：全部,无反馈环路，多采用非递归结构,Homework：P831(1)(2)(3)3(1)7 10 14 18,