选修4-2 1线性变换与二阶矩阵.ppt

选考部分,选修,4-2,矩阵与变换,第一节 线性,变,换与二阶矩阵,1.,线性变换,(1),在平面直角坐标系,xOy,内，很多几何变换具有下列形式：,，,其中系数,a,b,c,d,均为常数，我们把形如的几何变换叫做线性变换，式叫做这个线性变换的坐标变换公,式,.,P(x,y,),是,P(x,y,),在这个线性变换作用下的像,.,(2),常见的平面变换：恒等变换、,_,变换、,_,变换、反,射变换、,_,变换、,_,变换,.,旋转,切变,投影,伸缩,2.,二阶矩阵的概念及与向量的乘法,(1),矩阵的概念,由,4,个数,a,b,c,d,排成的正方形数表,_,称为二阶矩阵，数,_,称为矩阵的元素,.在二阶矩阵中,横的叫行,竖的叫列,通常用大写英文字,母,A,B,C,，,表示,.,特殊矩阵,零矩阵,:_,记为,0,；二阶单位矩,阵,_,记为,E,2,.,a,b,c,d,(2),二阶矩阵相等,若,A,=,B,则,_,.,(3),二,阶矩阵与向量的乘,积,设 则,=_ .,a,1,=a,2,b,1,=b,2,c,1,=c,2,d,1,=d,2,3.,线性变换的基本性,质,设,A,是一,个,二阶矩阵,，是,平面,上,的任意,两个向量,，,，,1,，,2,是,任,意实数,.,性质,1,(,1,),_,(2),_,定理,1,_,性质,2,二阶矩阵,对应,的变,换,(,线性变,换,),把,平,面上的直,线变成,_,直线,(,或,一点,),判断下面结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“,”,).,(1),式子,x=2x,2,+y,是线性表达式,.(),(2),二阶矩阵既是一个数,也是一个代数式,.(),(3),如果两个二阶矩阵的元素是一样的,那么这两个矩阵相等,.(),(4),对于旋转变换,(),(5),二阶矩阵,A,与平面向量,的乘积仍然是一个平面向量,.,(),【,解析,】,(1),错误,.,线性表达式都是关于,x,y,的一次式,故错误,.,(2),错误,.,二阶矩阵仅仅是一个包含两行、两列的数表，它既不,是数，也不是代数式,.,(3),错误,.,两个矩阵相等，不但要求元素相同，而且要求元素的,位置一样,.,(4),正确,.,表示顺时针旋转 表示逆时针旋转,两种变换是一个变换,.,(5),正确,.,二阶矩阵与向量的乘积仍然是向量,.,答案,:,(1),(2),(3),(4),(5),考向,1,二阶矩阵与平面向量的乘法,【,典例,1】,已知在一个二阶矩阵,M,的变换作用下，点,A(1,2),变成了点,A(4,5),，点,B(3,，,1),变成了点,B(5,1),(1),求矩阵,M.,(2),若在矩阵,M,的变换作用下，点,C(x,0),变成了点,C(4,，,y),，求,x,，,y.,【,思路点拨,】,(1),首先设出矩阵,M,再利用二阶矩阵与平面向量的乘法构造方程组再解方程组求出矩阵,M,.,(2),利用矩阵,M,与平面向量的乘法列出关于,x,y,的方程组,解方程组求,x,y,.,【,规范解答,】,【,互动探究,】,试求在本例中矩阵,M,的变换作用下,点,P(1,1),变成的点,P,的坐标,.,【,解析,】,由本例解答可知,所以,P,的坐标为,(3,3).,【,拓展提升,】,二阶矩阵与向量乘法应用的三个解题步骤,此类问题一般涉及变换前的坐标,变换后的坐标,变换矩阵三个元素,(1),设,:,设出所求的量,.,(2),列,:,利用二阶矩阵与平面向量的乘法构造方程或方程组,.,(3),解：解方程或方程组求未知元素,.,【,提醒,】,列方程或方程组时,要分清变换前,后的坐标防止代入错误,.,【,变式备选,】,考向,2,线性变换前后的曲线方程的求法,【,典例,2】,已知矩阵 把点,(1,，,1),变换成点,(2,，,2),，,(1),求,a,b,的值,.,(2),求曲线,C,：,x,2,+y,2,=1,在矩阵,A,的变换作用下对应的曲线方程,.,【,思路点拨,】,(1),利用矩阵与向量的乘法列出关于,a,b,的方程组,解方程组求出,a,b.(2),设出要求曲线的任意点的坐标及变换前的对应点坐标,利用代入法求曲线的方程,.,【,规范解答,】,(2),设曲线,C,上任一点,M(x,0,y,0,),在矩阵,A,的变换作用下为点,M(x,y,).,M,在曲线C,上,故所求曲线方程为,【,拓展提升,】,线性变换前后的曲线方程的求法,(1),已知变换前的曲线方程、变换矩阵，求变换后的曲线方程：,由线性变换 代入变换前的方,程，即可得到关于,x,y,的方程，即为所求,.,(2),已知变换后的曲线方程、变换矩阵，求变换前的曲线的方,程：将线性变换 直接代入到变换后的曲线方,程，整理得到关于,x,y,的方程，即为所求,.,(3),求变换前或后曲线方程的共同特点是将坐标代入已知的曲,线方程，求未知的曲线的方程，其实质是代入法求曲线方程,.,【,提醒,】,在利用线性变换代入求曲线方程的过程中要分清坐标是变换前的，还是变换后的，避免代入时出现错误,.,【,变式训练,】,二阶矩阵,M,对应的变换将点,(1,，,1),与,(,2,，,1),分别变换成点,(,1,，,1),与,(0,，,2),(1),求矩阵,M,.,(2),设直线,l,在变换,M,作用下得到了直线,m,：,x,y,4,，求,l,的方程,(2),任取直线,l,上一点,P(x,，,y),经矩阵,M,变换后为点,P(x,，,y),所以直线,l,的方程为,(x+2y),(3x+4y)=4,，,即,x+y+2=0,考向,3,变换矩阵的求法,【,典例,3】,已知圆,x,2+,y,2,=1,在矩阵 对应的变换作用下变为椭圆 求矩阵,A,.,【,思路点拨,】,利用线性变换表示出,x,y,，代入到变换后的椭圆方程，可得到变换前的圆的方程，再利用此方程与已知方程相等求,a,b,的值,.,【,规范解答,】,设,P(x,y,),为圆上的任意一点，在矩阵,A,对应的变换作用下变为另一个点,P(x,y,),又点,P(x,y,),在椭圆,由已知条件可知，,x,2,+y,2,=1,所以,a,2,=9,b,2,=4.,因为,a,0,b,0,所以,a=3,b=2,，即,【,拓展提升,】,求系数的一般思路,对于同一条曲线，在同一个坐标系中，其曲线的方程只能有一种形式，如果利用不同的方法求出两个曲线方程，则这两个曲线方程就是相同的，即两个曲线方程的对应系数相等,.,利用这个关系可以列出方程组，求相应的系数的值,.,【,变式训练,】,已知,a,，,bR,，若 所对应的变换,T,M,把直线,l,：,3x,2y,1,变换为自身，试求实数,a,，,b,的值,【,解析,】,在直线,l,上任取一点,P(x,，,y),，设点,P,在,T,M,的变换下变为点,P(x,，,y),，,所以点,P(,x,ay,，,bx,3y).,点,P,在直线,l,上，,3(,x,ay),2(bx,3y),1,，,即,(,3,2b)x,(3a,6)y,1,，,方程,(,3,2b)x,(3a,6)y,1,即为直线,l,的方程,3x,2y,1,，,