第7章二项分布与泊松分布.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,第七章 二项分布与,Poisson,分布,目 录,第二节,Poisson,分布及其应用,第一节,二项分布及其应用,第一节 二项分布及其应用,一、二项分布的概念及应用条件,二项分布,（,binominal distribution,）,是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无效等。,二项分布,也称为贝努里分布（,Bernoulli distribution,）,或贝努里模型，是由法国数学家,J.Bernoulli,于,1713,年首先阐述的概率分布。,如果已知发生某一结果（如阳性）的概率为,，其对立结果（阴性）的概率为,（,1-,），,且各观察单位的观察结果相互独立，互不影响，则从该总体中随机抽取,n,例，其中出现阳性数为,X,(,X,=0,1,2,3,，,n,),的概率服从二项分布。,贝努里模型应具备下列三个基本条件,试验结果只出现对立事件,A,或，两者只能出现其中之一。这种事件也称为互斥事件。,试验结果是相互独立，互不影响的。例如一个妇女生育男孩或女孩，并不影响另一个妇女生育男孩或女孩等。,每次试验中，出现事件,A,的概率为,，而出现对立事件的概率为,-,。则有总概率,+,（,1-,）,=1,。,二、二项分布的概率函数,根据贝努里模型进行试验的三个基本条件，可以求出在,n,次独立试验下，事件,A,出现的次数,X,的概率分布。,X,为离散型随机变量，其可以取值为,0,1,2,n,。,则,X,的概率函数为：,X,=0,1,2,n,式中：,01,，,为组合数，上述公式称随机变量,X,服从参数为,n,，,的二项分布，则记为,X,B(n,),。,三、二项分布的性质,1.,二项分布的每种组合的概率符合二项展开式，其总概率等于,1二项展开式有以下特点：,（,1,）,展开式的项数为,n,+1,。,（,2,）,展开式每项,和（,1-,）指数之和为,n,。,（,3,）,展开式每项,的指数从,0,到,n,；（,1-,）的指数从,n,到,0,。,2.,二项分布的累积概率 设,m,1,X,m,2,（,m,1,m,2,）,则,X,在,m,1,至,m,2,区间的累积概率有：,至多有,x,例阳性的概率为：,至少有,x,例阳性的概率为：,X,=0,1,2,，,，,x,(7.4),X,=,x,，,x,+1,，,，,n,分别为下侧累计概率，和上侧累计概率。,3.,二项分布的概率分布图形,以,X,为横坐标，,P,（,X,）,为纵坐标，在坐标纸上可绘出二项分布的图形,由于,X,为离散型随机变量，二项分布图形由,横坐标上孤立点的垂直线条组成,。,二项分布的图形取决于与,n,的大小。当,n,充分大时，二项分布趋向对称，可以证明其趋向正态分布。,一般地，如果,n,之积大于,5,时，分布接近正态分布；当,n,5,时，图形呈偏态分布。当,=0.5,时，图形分布对称，近似正态。如果,0.,5,或距,0.5,较远时，分布呈偏态。,图,二项分布示意图,4.,二项分布的数字特征,(,这里的数字特征主要指总体均数、方差、标准差等参数）,（,1,）随机变量,X,的数学期望,E,（,X,）,，即指总体均数：,n,（,2,）随机变量,X,的方差,D,（,X,2,为：,（,3,）,随机变量,X,的标准差为,:,四、二项分布展开式各项的系数,二项分布展开式的各项之前均有一个系数，用组合公式来表示。计算公式为：,该,系数,也可用杨辉三角来表示，国外参考书习惯称之为,巴斯噶三角。,当试验次数,n,较小时，可直接利用杨辉三角将二项分布展开式各项的系数写出来，应用十分方便。,图,杨辉三角模式图,杨辉三角的意义：,杨辉三角中每行有几个数字，表示展开式有几项。当试验次数为,n,时，有,n,+1,项。,杨辉三角中每行中的数字表示展开式中每项的系数大小。,杨辉三角中的各数字项及其数字的排列很有规律。可依照规律继续写下去。第一行的第一、第二项均为数字，以后每下一行的首项及末项均为，中间各项为上一行相邻两项数字之和。,五、二项分布的应用,二项分布在医学领域中，主要应用在下列几个方面：,总体率的可信区间估计，,率的,u,检验，,样本率与总体率比较的直接计算概率法。,（一）应用二项分布计算概率,例,如出生男孩的概率,=0.5,，出生女孩的概率为（,1-,）,=0.5,。在一个妇产医院里有,3,名产妇分娩,3,名新生儿，其中男孩为,X=0,1,2,3,的概率按公式计算的结果列于表,7-1,的第（,3,）栏中。,分析,：根据题意，已知生育男孩为事件,A,，,其概率,P,(,A,),=0.5,（即,=0.5,）；,生育女孩为事件,A,-,，其概率为,P,(A-)=1-,P,(,A,),=1-0.5,0.5,（,即,1-,=0.5,）。,三个妇女生育一个男孩，两个女孩的概率为：,三,个妇女生育均为女孩（即无男孩）的概率为：,余类推,(,二,),样本率与总体率的比较的直接概率法,此法适用,n,和,n,(1-,),均小于,5,的情形。,应注意：,当样本率大于总体率时，应计算大于等于阳性人数的累积概率。,当样本率小于总体率时，应计算小于等于阳性人数的累积概率。,例,A,药治疗某病的有效率为,80,。对,A,药进行改进后，用改进型,A,药继续治疗病人，观察疗效。,如果用改进型,A,药治疗,20,例病人，,19,例有效。,如果用改进型,A,药治疗,30,例病人，,29,例有效。,试分析上述二种情形下，改进型,A,药是否疗效更好。,分析,:,A,药有效率为,80,，可以作为总体率，即,0,0.8,。,治疗,20,例病人的样本有效率为（,19,20,）,100,95,；治疗,30,例病人的样本有效率为（,29,30,）,100,96.67,。,两个样本率均大于总体率,80,，故应计算大于等于有效例数的单侧累积概率。,情形一：治疗,20,例病人的疗效分析,（,1,）建立检验假设,H,0,：,改进型,A,药的疗效与原,A,药相同，,0,0.80,H,1,:,改进型,A,药的疗效高于原,A,药，,0,0.80,单侧,0.05,（,2,）,计算概率值 根据二项分布有：,=0.0548+0.0115=0.0663,情形二,：治疗,30,例病人的疗效分析（,1,）检验假设同情形一。（,2,）计算单侧累积概率有：,（,3,）推断结论 本例,P,0.0663,0.05,在,0.05,检验水准上,不拒绝,H,0,。,尚不能认为改进型,A,药的疗效优于原,A,药。,=,0.008975+0.001238=0.0102,（,3,）,推断结论,本例,P,0.0102,在,0.05,水准上,拒绝,H,0,接受,H,1,。,可以认为改进型,A,药的疗效优于原,A,药。,注意,：治疗,20,例病人的有效率为,95,，治疗,30,例病人的有效率为,96.67,，两个样本有效率很接近。但最终得出的结论却不相同。一般地，临床上观察疗效，样本含量不能太小。随着观察例数的增加，疗效的稳定性及可靠性也相应增加，受到偶然因素影响的机会也变得较小。,分析,:,本例总体率,1,。调查人群样本反应率为（,1,300,）,100,0.33,。由于样本率小于总体率，故应计算小于等于阳性人数的累积概率。,例,一般人群对,B,药的副作用反应率为,1,。调查使用,B,药者,300,人，其中只有,1,人出现副作用。问该调查人群对,B,药的副作用反应率是否低于一般人群。,（,1,）,建立检验假设,H,0,：,调查人群反应率与一般人群相同，,0,0.01,H,1,:,调查人群反应率低于一般人群，,0,0.01,单侧,0.05,（,2,）,计算单侧累积概率,:,（,3,）,推断结论,本例,P,0.1976,在,0.05,水准上,不拒绝,H,0,。,尚不能认为调查人群的,B,药副作用反应率低于一般人群。,第二节,Poisson,分布及其应用,一、,Poisson,分布的概念及应用条件,(,一,)Poisson,分布的概念,Poisson,分布由法国数学家,S.D.Poisson,在,1837,年提出。该分布也称为,稀有事件模型,，或,空间散布点子模型。,在生物学及医学领域中，某些现象或事件出现的机会或概率很小，这种事件称为,稀有事件或罕见事件,。,稀有事件出现的概率分布服从,Poisson分布。,Poisson,分布的直观描述,：,如果稀有事件,A,在每个单元（设想为,n,次试验）内平均出现,次，那么在一个单元（,n,次）的试验中，稀有事件,A,出现次数,X,的概率分布服从,Poisson,分布。,Poisson,分布属于离散型分布,。在,Poisson,分布中，一个单元可以定义为是单位时间，单位面积，单位体积或单位容积等。如每天,8,小时的工作时间，一个足球场的面积，一个立方米的空气体积，,1,升或,1,毫升的液体体积,培养细菌的一个平皿，一瓶矿泉水等都可以认为是一个单元。一个单元的大小往往是根据实际情况或经验而确定的。若干个小单元亦可以合并为一个大单元。,(,二,),常见Poisson,分布的资料,在实际工作及科研中，判定一个变量是否服从,Poisson,分布仍然,主要依靠经验以及以往累积的资料,。以下是常见的,Poisson,分布的资料：,1.,产品抽样中极坏品出现的次数；,2.,枪打飞机击中的次数；,3.,患病率较低的非传染性疾病在人群中的分布；,4.,奶中或饮料中的病菌个数；,5.,自来水中的细菌个数；,6.,空气中的细菌个数及真菌饱子数；,7.,自然环境下放射的粒子个数；,8.,布朗颗粒数；,9.,三胞胎出生次数；,10.,正式印刷品中错误符号的个数；,11.,通讯中错误符号的个数；,12.,人的自然死亡数；,13.,环境污染中畸形生物的出现情况；,14.,连体婴儿的出现次数；,15.,野外单位面积某些昆虫的随机分布；,16.,单位容积内细胞的个数；,17.,单位空气中的灰尘个数；,18.,平皿中培养的细菌菌落数等。,二、,Poison,分布的概率函数及性质,定义,其中,0,，,则称,X,服从参数,为的,Poisson,分布。,记为,X,P,(),。,式中：,为总体均数，,n,或,=,np,；,X,为稀有事件发生次数；,e,为自然底数，即,e,=2.71828,。,（,X,=0,1,2,）,如果稀有事件,A,在每个单元（设想为,n,次试验）内平均出现,次，那么在一个单元（,n,次）的试验中，稀有事件,A,出现次数,X,的概率分布服从,Poisson,分布。,亦可用下列公式计算,P,（,0,）,=,e,(,二,),性质,1.,所有概率函数值（无穷多个）之和等于,1,，即,2.,分布函数,（,X,=0,1,2,x,）,（,0,x,1,x,2,）,3.,累积概率,4.,其它性质,总体均数,:,方差：,标准差：,n(,或,np,),2,（三）,Poisson,分布的图形,一般地，,Poisson,分布的图形取决于,值的大小。,值愈小，分布愈偏；,值愈大，分布愈趋于对称。,当,20,时,，,分布接近正态分布,。此时可按正态分布处理资料。,当,50,时，分布呈正态分布。,。这里通过计算一个具体实例来观察,Poisson,分布的概率分布趋势图,Poisson,分布的概率分布图,例,计算,Poisson,分布,X,P,(3.5),的概率。,余类推。经计算得到一系列数据，见表。,表,X,P,（,3.5,）,的,Poisson,分布,（四）,Poisson,分布的可加性,从同一个服从,Poisson,分布的总体中抽取若干个样本或观察单元，分别取得样本计数值,X,1,，,X,2,，,X,3,，,，,X,n,，,则,X,i,仍然服从,Poisson,分布,。根据此性质，若抽样时的样本计数,X,值较小时，可以多抽取几个观察单元，取得计数,X,i,将其合并以增大,X,计数值。,三、,Poisson,分布与二项分布的比较,Poisson,分布也是以贝努里模型为基础的。实际上，,Poisson,分布是二项分布的一种特殊情形,，即稀有事例,A,出现的概率很小，而试验次数,n,很大，也可将试验次数,n,看作是一个单元。此时，,n,或,np,=,为一个常数，二项分布就非常近似,Poisson,分布。,p,愈小，,n,愈大，近似程度愈好。,设,1,。当,n,=100,=0.01,时，及,n,=1000,=0.001,时，按照二项分布及,Poisson,分布计算概率,P,（,X,）。,表 二项分布与,Poisson,分布计算的概率值比较,余类推。,1.,按二项分布计算,已知：,n,=100,=0.01,1,=0.99,，,代入公式有,：,2按,Poisson,分布计算 代入公式有：,余类推。,（四）,Poisson,分布的应用,Poisson,分布有,多种用途。,主要包括总体均数可信区间的估计，,样本均数与总体均数的比较，,两样本均数的比较等。,应用,Poisson,分布处理医学资料时，一定要注意所处理资料的特点和性质，资料是否服从,Poisson,分布,。,（一）总体均数的估计,总体均数的估计包括,点估计和区间估计。,点估计,是指由样本获得的稀有事件,A,出现的次数,X,值，作为总体均数的估计值。该法的优点是计算简便，但缺点是无法得知样本代表总体均数的可信程度。,区间估计,可以确切获知总体均数落入一个区域的可信度，一般可信度取,95,或,99,。,估计总体均数可信区间一般分为小样本法和大样本法。,1.,小样本法,当样本均数或样本计数值,X,50,时，可直接查,“,Poisson,分布的可信区间,”,表，得到可信区间（略）。,2.,正态近似法,当样本均数或计数,X,50,时，可按正态分布法处理。,总体均数,95,的可信区间为,总体均数,99,的可信区间为,例,某防疫站检测某天然水库中的细菌总数。平均每毫升,288,个细菌菌落。求该水体每毫升,95,和,99,的可信区间。,应用公式有：,95,的可信区间,=,（,255.74,，,320.26,）,99,的可信区间,=,（,244.22,，,331.78,）,(1)发病人数的,95,可信区间为：,例,调查,1985,年某市某区,30,万人，流行性出血热发病人数为,204,人。求该市发病人数及发病率（,1,10,万）,95,的可信区间。,分析：已知样本均数,X,为,204,人，观察单元,n,30,万人。先计算出发病人数的可信区间，再按照发病率的要求以,10,万人作为观察单元，计算发病率可信区间的上下限值。,=,（,176,，,232,）,(2),发病率的,95,可信区间为：,上限值：,下限值：,（二）样本均数与总体均数的比较,常用的方法有两种。,直接计算概率法：与二项分布的计算思路基本相同。即当,20,时，按,Poisson,分布直接计算概率值。,正态近似法：当,20,时，,Poisson,分布接近正态分布。按正态分布使用,u,检验处理资料。,1.,直接计算概率法,例,某地区以往胃癌发病率为,1,万。现在调查,10,万人，发现,3,例胃癌病人。试分析该地区现在的胃癌发病率是否低于以往的发病率。,H,0,:,现在胃癌发病率与以往相同，,0,=0.0001,H,1,：,现在胃癌发病率低于以往，,0,单侧,0.05,（,2,）计算概率值,已知：,n,=100000,，,=,0.0001,，,n,=,1000000.0001=10,。,根据题意，应计算小于等于,3,人发病的概率,P,（,X,3,），,即：,P,（,X,3,）,P,(0),P,(1)+P,(2)+,P,(3),（,3,）推断结论,本例,P,0.0103,，,小于,P,0.05,。在,0.05,水准上拒绝,H,0,，,接受,H,1,。,可以认为现在该地区胃癌发病率低于以往发病率。,2,正态近似法 当,20,时，用,u,检验法,例,根据医院消毒卫生标准，细菌总数按每立方米菌落形成单位（,CFU,m,3,）,表示。无菌间的卫生标准为细菌菌落数应不大于,200,（,CFU,m,3,）。,某医院引进三氧消毒机，每天自动对无菌间进行,2,小时消毒。对无菌间抽样调查显示，细菌总数为,121CFU,m,3,。,试问该医院无菌间的细菌总数是否低于国家卫生标准。,(1),建立检验假设,H,0无菌间的细菌总数符合国家卫生标准，,=,0,=200,H,1,:,无菌间的细菌总数低于国家卫生标准，,u,0,.,05,故,P,0.05,。,推断结论 因,P,u,0.001,故,P,0.001,。,推断结论,因,P,0.001,，,拒绝,H,0,接受,H,1,差异有统计学意义。,可以认为,该风景区两个不同地点的空气负离子状况有差异。,例,调查某地区人群死亡状况。结果显示，男性及女性的意外死亡率分别为,62,人,10,万人和,72,人,10,万人。试分析男女意外死亡率有无差异。,分析：,该资料服从,Poisson,分布，每,10,万人可以作为一个观察单元。,（,1,）建立检验假设,H,0男女意外死亡率相等，,H,1,：,男女意外死亡率不相等，,=0.05,(3,）确定,P,值，推断结论,本例,u,=0.86,小于,u,0.05,=1.96,则,P,0.05,。,在,0.05,水准上，不拒绝,H,0,，,无统计学意义。可以认为男女性意外死亡率无差异。,（,2,）计算,u,值：,例,某医院使用一定方法对住院病房进行消毒，并检测某一病房消毒前后的细菌菌落数（,CFU,m,3,）。,消毒前后均检测,9,次。消毒前的菌落数为,18,10,9,15,5,2,6,5,2,。消毒后的菌落数为,5,，,4,，,5,，,6,，,7,，,2,，,3,，,2,，,1,。试分析该病房消毒前后的卫生状况有无差异。,分析：,该资料服从,Poisson,分布。根据,Poisson,分布的可加性，将,9,次取样的菌落数相加为一个观察单元。消毒前为,X,1,72,；,消毒后为,X,2,35,。,（,1,）建立检验假设,H,0,：,消毒前后菌落数相等，,1,=,2,H,1,：,消毒前后菌落数不等，,1,2,=0.01,（,2,）,计算,u,值：,(3),确定,P,值，,推断结论 本例,u,=3.58,，,大于,u,0.01,=2.58,，则,P,0.01,。在,0.01,水准上拒绝,H,0,，,接受,H,1,。,可以认为该病房消毒前后的卫生状况不同。,2,两样本观察单元不同,当两样本观察单元不同时，不可直接比较或直接相加后进行比较。一般可计算两样本均数和，再按下式计算,u,值。,例,某防疫站检验某商场的两种品牌的矿泉水。检测每,ml,的细菌总数（,CFU,ml,）。,品牌,A,抽查,4,瓶，结果为,132,，,156,，,182,，,143,；品牌,B,抽查,6,瓶，结果为,313,，,298,，,356,，,384,，,348,306,。试分析,A,、,B,两种品牌矿泉水的细菌总数有无差异。,分析：,本例观察单元不相同，可以先求出均数。,品牌,A,的均数,品牌,B,的均数,（,1,）建立检验假设,H,0,：,两种品牌矿泉水菌落数相等,1,=,2,H,1,：,两种品牌矿泉水菌落数不等1,2,=0.05,（,2,）,计算,u,值,：,（,3,）确定,P,值,，推断结论 本例,u,=18.66,大于,u,0.01,=2.58,，则,P,0.01,。,可以认为,A,、,B,两种品牌矿泉水受细菌污染程度不同。,（五）应用,Poisson,分布的注意事项,1.Poisson,分布的观察单元具有可加性。当样本均数,X,或样本计数值,20,时，可通过增加或合并观察单元以增大样本均数或样本计数值。当,X,20,时，,Poisson,分布近似正态分布，可按正态分布进行,Poisson,分布均数比较的,u,检验。,2.,Poisson,分布的观察单元可以由大缩小，而不可以由小扩大。例如，实际观察,1,个平皿中的细菌菌落数为,34,个，不能据此将其扩大而认为,10,个平皿的菌落数为,340,个。如果实际观察了,10,个平皿的菌落数为,340,个，可以将其缩小而认为,2,个平皿有,68,个菌落数。,3,判断一组数据或一个资料是否服从,Poisson,分布，主要是依靠以往积累的经验或专业知识。必要时也可进行拟合优度检验以确定资料分布类型。,Thank You for Listening,THE END,