九年级数学下册 第28章圆281圆的认识 3圆周角习题课件 华东师大版 课件.ppt

3.,圆周角,1.,理解圆周角的概念，会判断一个角是否为圆周角,.,（重点）,2.,掌握直径所对圆周角的特征和圆周角的性质，会推导圆周角定理，能运用圆周角定理解决问题,.,（重点、难点）,3.,通过结合圆周角定理的推导过程，渗透特殊到一般、转化与化归等数学思想,.,（难点）,圆周角的概念、性质及圆周角定理,1.,圆周角：顶点在,_,，并且两边都与圆,_,的角叫做圆周,角,.,2.,半圆或直径所对的圆周角：,（,1,）性质：半圆或直径所对的圆周角都,_,，都等于,_.,（,2,）应用：,_,的圆周角所对的弦是圆的直径,.,圆上,相交,相等,90,90,3.,圆周角定理：如图，当圆心,O,在圆周角的一边上时，,OA=OC,，,A=C,，又,BOC=A+C,，,【,思考,】,（,1,）如图，当圆心,O,在圆周角的内部时，,BAC,与,BOC,的上述关系是否还成立？为什么？,提示：,_,.,理由如下：,作直径,AD.,由图推理得：,BAD=,_,.,同理：,CAD=,_,.,BAD+CAD=,_,，,即,BAC=,_,.,成立,（,2,）如图，当圆心,O,在圆周角的外部时，,BAC,与,BOC,的上,述关系是否还成立？为什么？,提示：,_,.,理由如下：,作直径,AD.,由图推理得：,BAD=,_,.,同理：,CAD=,_,.,CAD-BAD=,_,，,即,BAC=,_,.,成立,【,总结圆周角定理：在一个圆中，一条弧所对的圆周角等,于其所对的圆心角的,_,.,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角,_,.,在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也,_,.,一半,相等,相等,（打,“”或“,”,）,（,1,）顶点在圆上的角叫做圆周角,.,（）,（,2,）同弧所对的圆周角相等,.,（）,（,3,）,90,的圆周角所对的弧为半圆,.,（,）,（,4,）在同圆中，圆周角相等，所对的弦也相等,.,（,）,（,5,）在等圆中，弧相等，则它所对的圆周角、圆心角及所对,的弦都相等,.,（,）,知识点,1,圆周角定理,【,例,1】,(2012,潍坊中考,),如,图,三角形,ABC,的两个顶点B,C,在圆上,顶点,A,在圆外,AB,AC,分,别交圆于,E,D,两点,连结,EC,BD.,(1),求证,:ABDACE.,(2),若,BEC,与,BDC,的面积相等,试判定三角形,ABC,的形状,.,【,解题探究,】,(1)ABD,与,ACE,中,有相等的角吗,?,提示,:,有一公共角,BAD=CAE.,如何找出,ABD,与,ACE,中另外相等的一组角,?,提示,:,所对的圆周角相等,EBD=ECD.,由可知,ABD,与,ACE,有,_,所以可以得出,ABDACE.,两对对应角相等,(2),如何说明,S,ACE,=S,ABD,?,提示,:,S,BEC,=S,BCD,S,ACE,=S,ABC,-S,BEC,S,ABD,=S,ABC,-S,BCD,S,ACE,=S,ABD,.,由的,S,ACE,=S,ABD,结合,(1),的,ABDACE,可以得出,ABD,与,ACE,对应边之比等于,_,即,AB=,_,所以,ABC,为,_,三角,形,.,1,AC,等腰,【,总结提升,】,利用圆周角定理进行证明时的两点注意,1.,圆周角定理适用的范围是在同圆或等圆中,.,2.,在证明时,此定理可以直接作为已知条件使用,.,知识点,2,圆周角定理的综合应用,【,例,2】,(2012,沈阳中考,),如图,O,是,ABC,的外接圆,AB,是,O,的直径,D,为,O,上一点,ODAC,垂足为,E,连结,BD.,(1),求证,:BD,平分,ABC.,(2),当,ODB=30,时,求证,:BC=OD.,【,思路点拨,】,(1),由,ODAC,OD,为半径,根据垂径定理,即可得,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可证得,BD,平分,ABC.,(2),首先由,OB=OD,易求得,AOD,的度数,又由,ODAC,于,E,可求得,A,的度数,然后由,AB,是,O,的直径,根据圆周角定理,可得,ACB=90,继而可证得,BC=OD.,【,自主解答,】,(1)ODAC,OD,为半径,CBD=ABD,BD,平分,ABC.,(2)OB=OD,OBD=ODB=30,AOD=OBD+ODB=30,+30,=60,.,又,ODAC,于,E,OEA=90,A=180,-OEA-AOD=180,-90,-60,=30,.,又,AB,为,O,的直径,ACB=90,在,RtACB,中,BC=OD.,【,总结提升,】,利用圆周角定理推论的两种思路,1.,见直径,通常构建,90,的圆周角,利用直角三角形知识解决,.,2.,见,90,的圆周角,通常作直径,构建直角三角形,.,题组一,:,圆周角定理,1.(2013,滨州中考,),如图,在,O,中,圆心角,BOC=78,则圆周,角,BAC,的大小为,(,),A.156,B.78,C.39,D.12,【,解析,】,选,C.,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角,是它所对的圆心角的一半,所以,2.,已知,AB,CD,是,O,的两条直径,ABC=30,那么,BAD=(,),A.45 B.60,C.90 D.30,【,解析,】,选,D.,因为,ABC,与,ADC,是,同一条弧所对的圆周角,所以,ABC,=ADC=30,.,又因为,OD=OA,所以,BAD=ADC=30,.,3.(2013,邵阳中考,),如图,弦,AB,CD,相交于点,O,连结,AD,BC,在,不添加辅助线的情况下,请在图中找出一对相等的角,它们,是,_.,【,解析,】,由对顶角相等,可得到,AOC=BOD,AOD=BOC;,由同弧所对的圆周角相等,可得到,A=C,B=D.,答案,本题答案不唯一,如,A=C,等,4.(2013,黔西南州中考,),如图所示,已知,BAC=CDA=20,则,ABO,的度数为,_.,【,解析,】,连结,OA,OC,则,COB=2BAC=40,AOC=2CDA=40,所以,AOB=80,所以,ABO=(180,-80,),2=50,.,答案,:,50,5.,如图,ABC,内接于,O,AB=8,AC=4,D,是,AB,边上一点,P,是优弧,BAC,的中点,连结,PA,PB,PC,PD,当,BD,的长度为多少时,PAD,是以,AD,为底边的等腰三角形,?,并加以证明,.,【,解析,】,当,BD=4,时，,PAD,是以,AD,为底边的等腰三角形,理由,如下：,P,是优弧,BAC,的中点，,PB=PC.,在,PBD,与,PCA,中，,PBDPCA,（,S.A.S.,）,.,PD=PA,，,即,BD=4,时，,PAD,是以,AD,为底边的等腰三角形,.,题组二：,圆周角定理的综合应用,1.,（,2013,舟山中考）如图，,O,的半径,OD,弦,AB,于点,C,，连,结,AO,并延长交,O,于点,E,，连结,EC,若,AB,8,，,CD,2,，则,EC,的,长为,(),【,解析,】,选,D.,连结,BE,根据直径所对的圆周角为直角,知,BEAB,BEOC,且,BE=2OC,根据垂径定理得,AC=4,OC=OD-CD=OA-2,在,ACO中,根据勾股定理得,AC,2,+OC,2,=AO,2,即,4,2,+(OA-2),2,=AO,2,得,OA=5,OC=3,BE=6,在,BCE,中,根据勾股定理得,EC,2,=BC,2,+BE,2,=,2.,如图,已知,O,的两条弦,AB,CD,相交于,AB,的中点,E,且,AB=4,DE=CE+3,则,CD,的长为,(,),A.4 B.5 C.8 D.10,【,解析,】,选,B.,连结,AC,，,BD,，如图，,A=D,C=B,AECDEB,，,AE,BE=CE,DE.,设,CE=x,，则,DE=3+x.,x,（,x+3,）,=2,2,，,解得，,x=1,或,x=-4,（不合题意，应舍去）CE=1,，,CD=3+1+1=5.,【,变式备选,】,如图,已知,AB,为,O,的直径,C,为,O,上一点,CDAB,于,D,AD=9,BD=4,以,C,为圆心,CD,为半径的圆与,O,相交于,P,Q,两点,弦,PQ,交,CD,于,E,则,PEEQ,的值是,(,),A.24 B.9,C.6 D.27,【,解析,】,选,D.,延长,DC,交,C,于,M,延长,CD,交,O,于,N,连结,PC,NQ.,连结,AC,BC,AB,为,O,的直径,ACB=90,CAB+ABC=90,.,CDAB,ADC=BDC=90,CAD+ACD=90,ACD=ABC,ACDCBD,AD=9,BD=4,CD=6.,在,O,中,PCN=NQP,CPQ=QNC,PECNEQ,PE,QE=CE,NE,同理,在,C,中,可得,PE,QE=DE,ME,设,CE=x,则,DE=6-x,则,(6-x)(x+6)=x(6-x+6),解得,x=3.,所以,CE=3,DE=6-3=3,EM=6+3=9.,所以,PE,EQ=3,9=27.,3.(2013,常州中考,),如图,ABC,内接于,O,BAC=120,AB=AC,BD,为,O,的直径,AD=6,则,DC=_.,【,解析,】,因为,BAC=120,，,AB=AC,，所以,ABC=ACB=30,所以,BDA=30,，因为,BD,为直径，所以,BAD=90,，,所以ABD=60,所以,DBC=30,.,在,RtABD,中,在,RtBCD,中,答案,:,4.,如图,AB,CD,是,O,的弦,ABCD,BE,是,O,的直径,.,若,AC=3,则,DE=_.,【,解析,】,连结,AE,，,BE,是,O,的直径，,BAE=90,，即,ABAE.,ABCD,，,AECD,，,ACD+CAE=180,.,四边形,ACDE,是,O,的内接四边形，,CAE+CDE=180,，,ACD=CDE,，,答案：,3,5.,如图,在,O,中,直径,AB,与弦,CD,相交于点,P,CAB=40,APD=65.,(1),求,B,的大小,.,(2),已知,AD=6,求圆心,O,到,BD,的距离,.,【,解析,】,（,1,）,APD=C+CAB,C=65,-40,=25,B=C=25,.,（,2,）作,OEBD,于,E,，则,DE=BE,，,又,AO=BO,圆心,O,到,BD,的距离为,3.,【,想一想错在哪？,】,AB,是,O,的直径，,AC,是,O,的弦，,AB=2,，,BAC=30.,在图中画出弦,AD,，使,AD=1,，则,CAD,的度数为,_.,提示,:,弦,AD,与,AC,的位置关系有两种情况,:,一种是弦,AD,与,AC,在直径,AB,的同侧,另一种是弦,AD,与,AC,在直径,AB,的异侧,因而,CAD,的度数有两个,.,解题过程中遗漏弦,AD,与,AC,在直径,AB,的异侧这种情况,使解题结果不完整,产生错误,.,