解析函数的泰勒级数.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,作 业,178页 5（1）（3）（4）（5）,179页 7（2）（3）8（1）,下页,返回,上页,第1页,复习：,复数项级数敛散性判别,复函数项级数敛散性判别,幂级数敛散性判别,幂级数运算性质,下页,返回,上页,第2页,级数发散;,深入判断.,判别复数项级数 敛散性时,可先考查,?,部分和极限,实虚部级数收敛性,柯西判别准则,绝对收敛否,复数项级数敛散性判别,下页,返回,上页,第3页,优级数,（函数项级数转化为数项级数）,复函数级数有优级数，那么它一定绝对收敛且一致收敛,复函数项级数敛散性判别,下页,返回,上页,第4页,方法,1,:,比值法(达郎贝尔判别法),方法2:,根值法(柯西判别法),那末收敛半径,那末收敛半径,幂级数敛散性判别,在|,z,-,a,|,R,发散,下页,返回,上页,第5页,1)幂级数四则运算,幂级数运算性质,下页,返回,上页,第6页,(2),在收敛圆,内导数可将其幂,级数逐项求导得到,即,设幂级数,收敛半径为,那末,是收敛圆,内解析函数,.,它和函数,即,(1),(3),在收敛圆,内积分可将其幂,级数逐项求积得到,即,2)幂级数解析性质,下页,返回,上页,第7页,第三、四节 泰勒展式,2、初等函数泰勒展开式,1、泰勒定理,4、解析函数零点孤立性,第四章,下页,返回,上页,3,、幂级数和函数在收敛圆周上情况,第8页,时,成立,当,1 初等函数泰勒展开式,其中,泰勒级数,泰勒展开式,定理(Taylor),设,在区域,内解析,为,内一,为,到,边界上各点最短距离,那末,点,问题:任一个解析函数能否用多项式函数来表示？,下页,返回,上页,第9页,将函数展开成泰勒级数,惯用方法,:,直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,下页,返回,上页,第10页,比如，,故有,下页,返回,上页,第11页,仿照上例,下页,返回,上页,第12页,背诵:,常见函数泰勒展开式,下页,返回,上页,第13页,2.间接展开法:,借助于一些已知函数展开式,结合解析函数性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数泰勒展开式.,间接法优点:,不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简练,使用范围也更为广泛.,下页,返回,上页,第14页,比如，,下页,返回,上页,第15页,再比如,下页,返回,上页,第16页,例1,解,经典例题,下页,返回,上页,第17页,上式两边逐项求导,下页,返回,上页,第18页,例2,分析,如图,下页,返回,上页,第19页,即,将展开式两端沿,C,逐项积分,得,解,下页,返回,上页,第20页,练习,例3,例4,下页,返回,上页,第21页,例3,解,下页,返回,上页,第22页,例4,解,下页,返回,上页,第23页,定理4.16 假如幂级数,收敛半径R0,且,则,f,(,z,)在收敛圆周,C,:|z-a|=R,上最少有一奇点,即不可能有这么函数,F,(z)存在,它在|z-a|R内与,f,(z)恒等,而在C上处处解析.,z,1,a,3、幂级数和函数在收敛圆周上情况,例,解,下页,返回,上页,第24页,定义,假如,函数,在解析区域D内一点,a,值,为零,则称,a,为解析函数,零点,.,4、解析函数零点孤立性,若,但,则称,a,为解析函数,m阶零点,.,m=1时,a,也称为,单零点,.,下页,返回,上页,第25页,定理4.17,非恒为零解析函数,以,a,为m阶,零点充要,条件为:,其中,在点,a,领域,内解析且,例1,函数,在原点性质,例,2,函数,全部零点及它们阶,下页,返回,上页,第26页,练习,是五阶零点,是二阶零点.,答案,零点及,阶,数.,求,下页,返回,上页,第27页,定义,假如,函数,在,不解析,但,在,某一去心邻域,内处处解析,则称,为,孤立奇点,.,例,3,是函数,孤立奇点.,是函数,孤立奇点.,注意:,孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤,立奇点.,孤立奇点,下页,返回,上页,第28页,简言之:不恒为零解析函数零点必是孤立.,定理4.18,解析函数,不恒为零且,无异于,a,零点.,则必有,a,一个邻域,使得,在其中,推论4.19 设函数,内解析,则,简言之:零点不孤立，解析函数恒为零,下页,返回,上页,第29页,1、泰勒定理,问题:任一个解析函数怎样用幂级数来表示？,.,内任意点,如图:,.,K,.,下页,返回,上页,第30页,由柯西积分公式,有,其中,K,取正方向.,则,下页,返回,上页,第31页,下页,返回,上页,第32页,由高阶导数公式,上式又可写成,其中,可知在,K,内,？有定义吗,下页,返回,上页,第33页,令,则在,K,上连续,即存在一个正常数,M,下页,返回,上页,第34页,下页,返回,上页,第35页,在,内成立,从而在,K,内,圆周,半径能够任意增大,只要,内成立.,在,泰勒展开式,在,泰勒级数,下页,返回,上页,第36页,假如,到,边界上各点最短距离为那末,在,泰勒展开式在 内成立,因为凡满足,必能使,由上讨论得主要定理,泰勒展开定理,在,泰勒级数,收敛半径,最少等于，,但,下页,返回,上页,第37页,泰勒定理,其中,泰勒级数,泰勒展开式,定理,设,在区域,内解析,为,内一,为,到,边界上各点最短距离,那末,点,时,成立,当,下页,返回,上页,第38页,说明,:,1.复变函数展开为泰勒级数条件要比实函数时弱得多;(,想一想,为何?,),4.任何解析函数在一点泰勒级数是唯一.,(为何?),下页,返回,上页,第39页,因为解析，能够确保无限次可各,阶导数连续性;,所以复变函数展为泰勒级数实用范围就,要比实变函数辽阔多.,注意,问题：,利用泰勒级数能够将函数展开为幂级数,，,展开式是否唯一？,下页,返回,上页,第40页,那末,即,所以,任何解析函数展开成幂级数结果就是泰勒级数,因而是唯一.,下页,返回,上页,第41页,小结与思索,1.经过本课学习,应了解泰勒展开定理,熟记,五个基本函数泰勒展开式,掌握将函数展开成,泰勒级数方法,能比较熟练把一些解析函数,展开成泰勒级数.,2.会判断解析函数零点阶数.,3.了解不恒为零解析函数零点孤立性.,下页,返回,上页,第42页,奇、偶函数泰勒级数有什么特点?,思索题,下页,返回,上页,第43页,奇函数泰勒级数只含,z,奇次幂项,偶函数,泰勒级数只含,z,偶次幂项.,思索题答案,放映结束，按Esc退出.,下页,返回,上页,第44页,泰勒资料,Born:,18 Aug 1685 in Edmonton,Middlesex,England,Died:,29 Dec 1731 in Somerset House,London,England,Brook Taylor,下页,返回,上页,第45页,