九年级上学期数学压轴必考题型——一元二次方程的应用（含答案）.docx

人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 一元二次方程的应用
一．选择题
1．（2021春•莱芜区期末）今年，某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2019年单价为200元，2021年单价为162元，2019年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　）
A．10% B．19% C．20% D．30%
2．（2021•包河区三模）受疫情影响，某景区2020年上半年游客人数比2019年下半年下降了40%，2020年下半年又比上半年下降了50%，随着国内疫情逐步得到控制，预计2021年上半年游客人数将比2019年下半年翻一番，设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为x．则下列关系正确的是（　　）
A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2
B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2
C．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）2＝2
D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2
3．（2021•宁波模拟）某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（　　）
A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000
C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝5000
4．（2021春•上城区校级期中）在一幅长50cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是3000cm2，设边框的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．（50﹣2x）（40﹣2x）＝3000 B．（50+2x）（40+2x）＝3000
C．（50﹣x）（40﹣x）＝3000 D．（50+x）（40+x）＝3000
5．（2021•乐东县模拟）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的60元降到42元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是（　　）
A．60（1﹣x）2＝42 B．42（1﹣x）2＝60
C．60（1﹣x%）2＝42 D．42（1﹣x%）2＝60
6．（2020•南岗区校级二模）某商品经过两次降价后每件的售价由原来的70元降到了56.7元．则平均每次降价的百分率为（　　）
A．10% B．20% C．90% D．110%
7．（2019秋•漳州期末）某市“菜篮子工程”蔬菜基地2018年产量为100吨，预计到2020年产量可达121吨．设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．100（1+x）2＝121 B．121（1﹣x）2＝100
C．100（1+2x）＝121 D．100（1+x2）＝121
8．（2020秋•山西月考）如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（　　）秒后，△PBQ面积为5cm2．

A．0.5 B．1 C．5 D．1或5
9．（2019秋•汝阳县期末）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．14
二．填空题
10．（2021春•嘉兴期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有 　 　个班级．
11．（2020秋•河东区期末）一个小球以5m/s速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动．小球滚动5m约用了　 　秒．（结果保留小数点后一位）
12．（2021•海淀区校级模拟）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为　 　．
13．（2020秋•丹东期末）某企业年初受疫情影响，第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为　 　．
14．（2020秋•上海期末）小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是　 　米．
15．（2020秋•沈北新区期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则所列方程为 　 　．

16．（2017秋•闵行区校级期中）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率　 　乙药品成本的年平均下降率（用“大于”“小于”或“等于”填空）
17．（2019秋•金湖县期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　 　cm2．

18．某工厂用两年时间把产量提高了44%，求每年的平均增长率．设每年的平均增长率为x，列方程为　 　，增长率为　 　．
19．（2010•柯城区校级模拟）中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了　 　人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有　 　人被感染．
三．解答题
20．（2021春•马鞍山期末）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．

21．（2021春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）到x轴、y轴的垂线段PM，PN与坐标轴围成矩形OMPN，当这个矩形的周长数值（即不含长度单位）是面积数值（即不含面积单位）的2倍时，称点P是“幸福点”，矩形称为“幸福矩形”．
（1）点P1（1，2），P2（2，﹣2），P3（，﹣1）中，是“幸福点”的点为 　 　；
（2）若“幸福矩形”的面积是，且“幸福点”位于第二象限，请写出满足条件的“幸福点”的坐标：　 　．

22．（2021春•沙坪坝区期末）为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“五一”小长假期间，各地游客纷纷来到重庆歌乐山烈士陵园瞻仰革命遗址．据统计，重庆歌乐山烈士陵园4月30日接待游客1.2万人次，5月2日接待游客2.7万人次．
（1）求今年4月30日到5月2日，重庆歌乐山烈士陵园接待游客的日平均增长率；
（2）由于暴雨天气，重庆歌乐山烈士陵园5月3日接待游客人次比5月2日减少了，5月4日天气放晴，接待游客人次比5月3日增加了6a%，又因假期即将结束，5月5日接待游客人次比5月4日减少了a%，即使这样，5月5日接待游客人次还是比4月30日增加了50%，求a的值．

23．（2021春•历下区期末）开发商准备以每平方米20000元价格出售某楼盘，为遵循政府有关房地产的调控政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米16200元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

24．（2021春•延庆区期末）有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．

25．（2021春•渝中区校级月考）2020年某地由于各种因素的影响，猪肉价格持续走高，同时其他肉类的价格也有一定程度的上涨，引起了当地政府的高度关注．某超市11月份的猪肉销量是牛肉销量的3倍，且猪肉价格为每千克70元，牛肉价格为每千克120元．
（1）若该超市11月份猪肉、牛肉的总销售额不低于26.4万元，则11月份的猪肉销量至少多少千克？
（2）由于12月份香肠腊肉等传统美食的制作，使得市场的猪肉需求量加大，政府也投放大量储备猪肉对价格进行调控，12月份猪肉的销量比11月份猪肉的最低销量增长了15a%，12月份的猪肉价格比11月份降低了a%，12月份牛肉的销量与11月份牛肉的最低销量相等，且价格比11月份降低了a%．最终该超市12月份猪肉和牛肉的销售额比11月份这两种肉的最低销售额增加了a%，求a的值．

26．（2021•兴化市模拟）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？

27．（2021•湖北模拟）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．

28．（2020秋•白银期末）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

29．（2020秋•樊城区期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？

30．（2021•越秀区校级二模）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．

人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编
专题 一元二次方程的应用
一．选择题
1．（2021春•莱芜区期末）今年，某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2019年单价为200元，2021年单价为162元，2019年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　）
A．10% B．19% C．20% D．30%
【思路引导】设平均每年降低的百分率是x，根据2019年及2021年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论
【完整解答】设平均每年降低的百分率是x，
根据题意列方程，得200（1﹣x）2＝162．
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
即：2019年到2021年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是10%；
故选：A．
2．（2021•包河区三模）受疫情影响，某景区2020年上半年游客人数比2019年下半年下降了40%，2020年下半年又比上半年下降了50%随着国内疫情逐步得到控制，预计2021年上半年游客人数将比2019年下半年翻一番，设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为x．则下列关系正确的是（　　）
A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2
B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2
C．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）2＝2
D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2
【思路引导】设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为x，根据“2021年上半年游客人数将比2019年下半年翻一番”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【完整解答】设2021年上半年与2020年下半年相比游客人数的增长率为x．则（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2．
故选：D．
3．（2021•宁波模拟）某商场品牌手机经过5，6月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元．且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程（　　）
A．5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600 B．3600（1﹣x）（1﹣2x）＝5000
C．5000（1﹣x）（1﹣）＝3600 D．3600（1+x）（1+2x）＝5000
【思路引导】设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，根据某件商品原价5000元，经过两次降价后，售价为3600元，可列方程．
【完整解答】设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，
根据题意，得：5000（1﹣x）（1﹣2x）＝3600，
故选：A．
4．（2021春•上城区校级期中）在一幅长50cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是3000cm2，设边框的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．（50﹣2x）（40﹣2x）＝3000 B．（50+2x）（40+2x）＝3000
C．（50﹣x）（40﹣x）＝3000 D．（50+x）（40+x）＝3000
【思路引导】根据题意表示出矩形挂画的长和宽，再根据长方形的面积公式可得方程．
【完整解答】设边框的宽为xcm，
所以整个挂画的长为（50+2x）cm，宽为（40+2x）cm，
根据题意，得：（50+2x）（40+2x）＝3000，
故选：B．
5．（2021•乐东县模拟）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的60元降到42元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是（　　）
A．60（1﹣x）2＝42 B．42（1﹣x）2＝60
C．60（1﹣x%）2＝42 D．42（1﹣x%）2＝60
【思路引导】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来60元降到42元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．
【完整解答】设该药品平均每次降价的百分率为x，
根据题意可列方程60（1﹣x）2＝42，
故选：A．
6．（2020•南岗区校级二模）某商品经过两次降价后每件的售价由原来的70元降到了56.7元．则平均每次降价的百分率为（　　）
A．10% B．20% C．90% D．110%
【思路引导】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出关于x的一元二次方程并求解，结合问题的实际意义，对所得的解进行取舍即可．
【完整解答】设平均每次降价的百分率为x，则有：
70（1﹣x）2＝56.7
∴（1﹣x）2＝0.81
∴1﹣x＝±0.9
∴x1＝10%，x2＝190%（舍）
故选：A．
7．（2019秋•漳州期末）某市“菜篮子工程”蔬菜基地2018年产量为100吨，预计到2020年产量可达121吨．设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．100（1+x）2＝121 B．121（1﹣x）2＝100
C．100（1+2x）＝121 D．100（1+x2）＝121
【思路引导】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从100吨增加到121吨”，即可得出方程．
【完整解答】由题意知，设该基地蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2018年产量为100吨，则2019年蔬菜产量为100（1+x）吨，2020年蔬菜产量为100（1+x）（1+x）吨，预计2020年产量可达121吨，
即：100（1+x）（1+x）＝121或100（1+x）2＝121．
故选：A．
8．（2020秋•山西月考）如图Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿AB边以1cm/秒的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点B出发沿BC边以2cm/秒的速度向点C匀速移动，当P、Q两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动．运动（　　）秒后，△PBQ面积为5cm2．

A．0.5 B．1 C．5 D．1或5
【思路引导】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm2，得到BP＝6﹣x，BQ＝2x，根据三角形的面积公式得出方程×（6﹣x）×2x＝5，求出即可．
【完整解答】设经过x秒钟，使△PBQ的面积为5cm2，
BP＝6﹣x，BQ＝2x，
∵∠B＝90°，
∴BP×BQ＝5，
∴×（6﹣x）×2x＝5，
∴x1＝1，x2＝5（舍去），
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过1秒钟，使△PBQ的面积为5cm2．
故选：B．
9．（2019秋•汝阳县期末）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．14
【思路引导】根据“如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可．
【完整解答】∵长减少2m，菜地就变成正方形，
∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米，
根据题意得：x（x﹣2）＝120，
解得：x＝12或x＝﹣10（舍去），
故选：B．
二．填空题
10．（2021春•嘉兴期末）某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有 　8　个班级．
【思路引导】设八年级有x个班，根据“各班均组队参赛，赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【完整解答】设八年级有x个班，
依题意得：x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
则该校八年级有8个班级．
故答案为：8．
11．（2020秋•河东区期末）一个小球以5m/s速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动．小球滚动5m约用了　1.2　秒．（结果保留小数点后一位）
【思路引导】设滚动t秒，求出平均速度列方程即可求解．
【完整解答】设小球滚动5m用时t秒，则此时小球速度为（5﹣t）m/s，
滚动过程的平均速度为[5+（5﹣t）]÷2＝5﹣t，可列方程：
（5﹣t）×t＝5，
整理得：t2﹣8t+8＝0，
t1＝4+2（大于4舍去），t2＝4﹣2≈1.2，
故答案为：1.2s．
12．（2021•海淀区校级模拟）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为　24000（1+x）2＝34560　．
【思路引导】设月平均增长率为x，根据6月及8月的盈利，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【完整解答】设月平均增长率为x，
根据题意得：24000（1+x）2＝34560．
故答案为：24000（1+x）2＝34560．
13．（2020秋•丹东期末）某企业年初受疫情影响，第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为　50%　．
【思路引导】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．
【完整解答】设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：400（1+x）2＝900．
解得：（1+x）2＝，
所以1+x＝±1.5．
所以x1＝0.5，x2＝﹣2.5（舍去）．
故x＝0.5＝50%．
即：这个增长率为50%，
故答案为：50%．
14．（2020秋•上海期末）小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是　12　米．
【思路引导】根据矩形的面积公式得到长与宽的积，再根据勾股定理得到长与宽的平方和．联立解方程组求得长与宽的和即可．
【完整解答】设矩形的长是a，宽是b，
根据题意，得：
，
②+①×2，得（a+b）2＝180，即a+b＝6，
∴2（a+b）＝6×2＝12（米）．
答：矩形的周长是12米．
故答案为：12．
15．（2020秋•沈北新区期末）某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜．如图，试验田一面靠墙，墙长35m，另外三面用49m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为xm，则所列方程为 　x（49+1﹣2x）＝200　．

【思路引导】设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，根据花园的面积为200m2，列出方程即可．
【完整解答】设当试验田垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（49+1﹣2x）m，
依题意得：x（49+1﹣2x）＝200，
故答案是：x（49+1﹣2x）＝200．
16．（2017秋•闵行区校级期中）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率　等于　乙药品成本的年平均下降率（用“大于”“小于”或“等于”填空）
【思路引导】设甲药品成本的年平均下降率为x，乙药品成本的年平均下降率为y，由题意得两个一元二次方程，化简后发现两个方程右边相等，故两方程左边相等，从而可得答案．
【完整解答】设甲药品成本的年平均下降率为x，由题意得：
5000（1﹣x）2＝3000
化简得：（1﹣x）2＝①
设乙药品成本的年平均下降率为y，由题意得：
6000（1﹣y）2＝3600
化简得：（1﹣y）2＝②
比较①②得：（1﹣x）2＝（1﹣y2
∴1﹣x＝1﹣y或1﹣x＝﹣（1﹣y）
\∴x＝y或x+y＝2（不合题意，舍去）
∴x＝y
故答案为：等于．
17．（2019秋•金湖县期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　9　cm2．

【思路引导】设小长方形的长为xcm，宽为xcm，根据大长方形的周长结合图形可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论．
【完整解答】设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x）•x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm 2）．
故答案为：9．
18．某工厂用两年时间把产量提高了44%，求每年的平均增长率．设每年的平均增长率为x，列方程为　1×（1+x）2＝1×（1+44%）　，增长率为　20%　．
【思路引导】可设原来的产量为1，由于每年的平均增长率为x，那么一年后产量为：1×（1+x），下一年是在1×（1+x）的基础上增长了x，为1×（1+x）×（1+x）＝1×（1+x）2．
【完整解答】可设原来的产量为1，
由于每年的平均增长率为x，
那么一年后产量为：1×（1+x），
则可列方程为：1×（1+x）2＝1×（1+44%）；
即（1+x）2＝1.44
1+x＝1.2（取正值）
x＝0.2
x＝20%．
19．（2010•柯城区校级模拟）中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了　8　人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有　729　人被感染．
【思路引导】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，在第二轮传染中作为传染源的有（1+x）人，则第二轮得病的有x（1+x）人，则两轮后有1+x+x（1+x）人得病．根据题意列出方程求解即可．
【完整解答】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
依题意列方程：1+x+x（1+x）＝81，即（1+x）2＝81，
解方程得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人，
经三轮传播，将有（1+x）3＝（1+8）3＝729人被感染．
三．解答题
20．（2021春•马鞍山期末）在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．

【思路引导】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；
（2）设每件工艺品降价y元出售，则降价x元后可卖出的总件数为（200+20y），每件获得的利润为（100﹣y﹣40），此时根据获得的利润＝卖出的总件数×每件工艺品获得的利润，列出次方程，求解即可．
【完整解答】（1）设条带的宽度为xcm，
根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝60×40﹣650．
整理，得x2﹣70x+325＝0，
解得x1＝5，x2＝65（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为5cm．
（2）设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝22500．
解得：y1＝y2＝25．
所以售价为100﹣25＝75（元）．
答：当售价定为75元时能达到利润22500元．
21．（2021春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）到x轴、y轴的垂线段PM，PN与坐标轴围成矩形OMPN，当这个矩形的周长数值（即不含长度单位）是面积数值（即不含面积单位）的2倍时，称点P是“幸福点”，矩形称为“幸福矩形”．
（1）点P1（1，2），P2（2，﹣2），P3（，﹣1）中，是“幸福点”的点为 　P2　；
（2）若“幸福矩形”的面积是，且“幸福点”位于第二象限，请写出满足条件的“幸福点”的坐标：　（﹣4，）或（﹣，4）．　．
【思路引导】（1）根据“幸福矩形”的意义直接判断即可得出结果；
（2）根据“幸福矩形”的意义和矩形面积建立方程即可得出结果．
【完整解答】（1）∵P1（1，2），
∴（1+2）×2＝6，1×2×2＝4，
∵6≠4，
∴点P1（1，2）不是“幸福点”，
∵P2（2，﹣2），
∴（2+2）×2＝8，2×2×2＝8，
∴点P2（1，2）是“幸福点”，
∵P3（，﹣1），
∴（+1）×2＝3×1×2＝1，
∴P3（，﹣1）不是“幸福点”，
故答案为：P2；
（2）设“幸福点”的坐标为（a，b），
∵“幸福矩形”的面积是，且“幸福点”位于第二象限，
∴（﹣a+b）×2＝×2，﹣ab＝，
解得：a＝﹣4，b＝或：a＝﹣，b＝4，
故答案为：（﹣4，）或（﹣，4）．
22．（2021春•沙坪坝区期末）为缅怀革命英烈、传承红色基因，在今年“五一”小长假期间，各地游客纷纷来到重庆歌乐山烈士陵园瞻仰革命遗址．据统计，重庆歌乐山烈士陵园4月30日接待游客1.2万人次，5月2日接待游客2.7万人次．
（1）求今年4月30日到5月2日，重庆歌乐山烈士陵园接待游客的日平均增长率；
（2）由于暴雨天气，重庆歌乐山烈士陵园5月3日接待游客人次比5月2日减少了，5月4日天气放晴，接待游客人次比5月3日增加了6a%，又因假期即将结束，5月5日接待游客人次比5月4日减少了a%，即使这样，5月5日接待游客人次还是比4月30日增加了50%，求a的值．
【思路引导】（1）设重庆歌乐山烈士陵园接待游客的日平均增长率为x，根据4月30日和5月2日接待游客人数列出方程求解即可；
（2）根据“5月5日接待游客人次还是比4月30日增加了50%”列方程求解．
【完整解答】（1）设重庆歌乐山烈士陵园接待游客的日平均增长率为x，根据题意得：
1.2（1+x）2＝2.7，
解得x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去），
答：重庆歌乐山烈士陵园接待游客的日平均增长率为50%；
（2）根据题意得：
2.7（1﹣）×（1+6a%）（1﹣a%）＝1.2（1+50%），
解得a1＝10，a2＝0（舍去），
∴a的值是10．
23．（2021春•历下区期末）开发商准备以每平方米20000元价格出售某楼盘，为遵循政府有关房地产的调控政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米16200元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【思路引导】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可；
（2）根据题意得到20000（1﹣5%）（1﹣15%），计算求解即可．
【完整解答】（1）设平均每次下调的百分率是x，
根据题意列方程得，20000（1﹣x）2＝16200，
解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去），
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）20000（1﹣5%）（1﹣15%）＝16150＜16200
∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
24．（2021春•延庆区期末）有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．

【思路引导】设截去的小正方形的边长为xcm，从而得出这个长方体盒子的底面的长是（12﹣2x）cm，宽是（8﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可．
【完整解答】设截去的小正方形的边长为xcm，根据题意列方程，得
（12﹣2x）（8﹣2x）＝32．
整理，得x2﹣10x+16＝0．
解得x1＝8，x2＝2．
x1＝8不合题意，舍去．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
25．（2021春•渝中区校级月考2020年某地由于各种因素的影响，猪肉价格持续走高，同时其他肉类的价格也有一定程度的上涨，引起了当地政府的高度关注．某超市11月份的猪肉销量是牛肉销量的3倍，且猪肉价格为每千克70元，牛肉价格为每千克120元．
（1）若该超市11月份猪肉、牛肉的总销售额不低于26.4万元，则11月份的猪肉销量至少多少千克？
（2）由于12月份香肠腊肉等传统美食的制作，使得市场的猪肉需求量加大，政府也投放大量储备猪肉对价格进行调控，12月份猪肉的销量比11月份猪肉的最低销量增长了15a%，12月份的猪肉价格比11月份降低了a%，12月份牛肉的销量与11月份牛肉的最低销量相等，且价格比11月份降低了a%．最终该超市12月份猪肉和牛肉的销售额比11月份这两种肉的最低销售额增加了a%，求a的值．
【思路引导】（1）设11月份的羊肉的销量为x千克，则猪肉的销量为3x千克，根据总价＝单价×数量结合该超市11月份猪肉、羊肉的总销售额不低于26.4万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出3x的取值范围，取其中的最小值即可得出结论；
（2）根据总价＝单价×数量结合该超市12月份猪肉和羊肉的销售额比11月份这两种肉的销售额增加了a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【完整解答】（1）设11月份的羊肉的销量为x千克，则猪肉的销量为3x千克，
依题意，得：70×3x+120x≥264000，
解得：x≥800，
∴3x≥2400．
答：11月份的猪肉销量至少为2400千克．
（2）依题意，得：70（1﹣a%）×2400（1+15a%）+800×120×（1﹣a%）＝264000×（1+a%），
整理，得：357a2﹣5355a＝0，
解得：a1＝20，a2＝0（舍去）．
答：a的值为20．
26．（2021•兴化市模拟）某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．
（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；
（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？
【思路引导】（1）根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可求出结论；
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，根据每天的销售利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【完整解答】（1）（45﹣30）×[80﹣（45﹣40）×2]＝1050（元）．
答：每天的销售利润为1050元．
（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80﹣2（x﹣40）]件，
依题意，得