第一章时域离散信号和时域离散系统.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一章：时域离散信号与时域离散系统,第二章：时域离散信号和系统的分析,第三章：离散傅立叶变换,第四章：快速傅里叶变换,第五章：时域离散系统的基本网络结构,第六章：无限脉冲响应数字滤波器的设计,第七章：有限脉冲响应数字滤波器的设计,第八章：其他类型的数字滤波器,本章主要内容,1.1 引言,1.2 时域离散信号,1.3 时域离散系统,1.4 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程,1.5 模拟信号数字处理方法,1.6 小结,第一章 时域离散信号和时域离散系统,引言,信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，我们一般地把信号看作时间的函数。,本章作为全书的基础，主要学习,时域离散信号的表示方法,和,典型信号,、,线性时不变系统的因果性,和,稳定性，,以及,系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法,。最后介绍,模拟信号数字处理方法。,时域离散信号,对模拟信号,x,a,(,t,)进行等间隔采样，采样间隔为,T,，得到,-,n,这里,n,取整数。对于不同的,n,值，,x,a,(,nT,)是一个有序的数字序列：,x,a,(-,T,)、,x,a,(,0,)、,x,a,(,T,)，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时,nT,代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写，形成,x,(,n,)信号，,x,(,n,)可以称为序列,。,对于具体信号，,x,(,n,)也代表第,n,个序列值。,时域离散信号,需要说明的是，这里,n,取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值,，即,x,(,n,)=,x,a,(,nT,)，,-,n,信号随,n,的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表,示。如果,x,(,n,)是通过观测得到的一组离散数据，则其可用,集合符号表示，例如:,x,(n,)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1,时域离散信号,常用的典型序列,单位采样序列d(,n,),单位采样序列,也可以称为,单位脉冲序列,，特点是仅在,n,=0时取值为1，其它均为零。,它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图所示。,1,0,1,2,3,1,n,(,n,),(,a,),(,t,),t,0,(,b,),时域离散信号,Example,给定信号,x,(,n,),：,（,1,）试用延迟的单位脉冲序列及其加权和画出表示,x,(,n,),序列；,（,2,）令,x,1,n,),2,x,(,n-,2),，试画出,x,1,(,n,),的波形；,（,3,）令,x,2,(,n,),2,x,(,n+,2),，试画出,x,2,(,n,),的波形；,（,4,）令,x,3,(,n,),x,(2,-n,),，试画出,x,3,(,n,),的波形。,解：,（,1,）,时域离散信号,Example,（2）,x,1,(,n,)的波形是,x,(,n,)的波形右移2个单位，再乘以2，波形如 下。,n,0,1,2,3,4,5,12,6,-2,-6,x,1(,n,),6,时域离散信号,Example,（3）,x,2,(,n,)的波形是,x,(,n,)的波形左移移2个单位，再乘以2，波形如下。,x,2,(,n,),n,0,1,2,-2,-1,12,6,2,-2,-6,-4,-3,时域离散信号,Example,（4）,x,3,(,n,)的波形：先画,x,(-,n,)的波形，然后右移移2个单位，波形如下。,x,3,(,n,),0,1,2,6,3,1,-3,-1,n,时域离散信号,Example,给定信号,x,(,n,),：,试用延迟的单位脉冲序列及其加权和画出表示,x,(,n,),序列,0,0,-1,1,R,5,(,n+,1),-R,4,(,n-,1),x,(,n,),n,n,时域离散信号,实指数序列,x,(,n,)=,a,n,u,(,n,)，,a,为实数,如果|,a,|1，则称为发散序列。其波形如图所示。,时域离散信号,正弦序列,x,(,n,)=,sin,(,n,),式中,称为,正弦序列的数字域频率,，单位是,弧度,，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号,x,a,(,t,)采样得到的，那么,x,a,(,t,)=,sin,(,t,),x,a,(,t,)|,t,=,nT,=,sin,(,nT,),x,(,n,)=,sin,(,n,),因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率,与模拟角频率,之间的关系为,T,它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率,与序列的数字域频率,成线性关系。由于采样频率,f,s,与采样周期,T,互为倒数，也可以表示成下式：,时域离散信号,复指数序列,x,(,n,)=,e,(+j,0,),n,式中,0,为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：,x,(,n,)=,e,j,0,n,x,(,n,)=,cos,(,0,n,)+j,sin,(,0,n,),由于,n,取整数，下面等式成立：,e,j(0+2,M,),n,=e,j,0,n,M,=0,1,2,时域离散信号,如果对所有,n,存在一个最小的正整数,N,，使下面等式成立：,周期序列,x,(,n,)=,x,(,n,+,N,),-,n,0时称为,x,(,n,)的,延时序列,；当,n,0,0时，称为,x,(,n,)的,超前序列,。,x,(-,n,)则是,x,(,n,)的翻转序列，用图(,c,)表示。,x,(,mn,)是,x,(,n,)序列每隔,m,点取一点形成的，相当于时间轴,n,压缩了,m,倍。当,m,=2时，其波形如图(,d,)所示。,时域离散系统,设时域离散系统的,输入为,x,(,n,),，经过规定的运算，系统,输出序列用,y,(,n,),表示。设,运算关系用T,表示，输出与输入之间关系用下式表示：,y,(,n,)=T,x,(,n,),其框图如图所示。,在时域离散系统中，最重要的是,线性时不变系统,，因为很多物理过程可用这类系统表征。,时域离散系统,线性系统,满足,叠加原理,的系统称为线性系统,设,x,1,(,n,)和,x,2,(,n,)分别作为系统的输入序列，其输 出分别用,y,1,(,n,)和,y,2,(,n,)表示，即,y,1,(,n,)=T,x,1,(,n,)，,y,2,(,n,)=T,x,2,(,n,),那么线性系统一定满足下面两个公式：,T,x,1,(,n,)+,x,2,(,n,)=,y,1,(,n,)+,y,2,(,n,),(*),T,a,x,1,(,n,)=,a,y,1,(,n,),(*),满足(*)式称为线性系统的,可加性,；,满足(*)式称为线性系统的,比列性或齐次性,，式中,a,是常数。,将以上两个公式结合起来，可表示成：,y,(,n,)=T,ax,1,(,n,)+,bx,2,(,n,)=,ay,1,(,n,)+,by,2,(,n,),上式中，,a,和,b,均是常数。,时域离散系统,【例】,证明,y,(,n,)=,ax,(,n,)+,b,(,a,和,b,是常数)，所代表的系统,是,非线性系统,。,证明：,y,1,(,n,)=T,x,1,(n)=,ax,1,(,n,)+,b,y,2,(,n,)=T,x,2,(n)=,ax,2,(,n,)+,b,y,(,n,)=T,x,1,(,n,)+,x,2,(,n,)=,ax,1,(,n,)+,ax,2,(,n,)+,b,y,(,n,),y,1,(,n,)+,y,2,(,n,),因此，该系统不是线性系统。用同样的方法可以证明下式也是线性系统,时域离散系统,时不变系统,如果系统对输入信号的,运算关系T,在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为,时不变系统,，用公式表示如下：,y,(,n,)=T,x,(,n,),y,(,n-n,0,)=T,x,(,n-n,0,),【例1】,检查,y,(,n,)=,ax,(,n,)+,b,代表的系统是否是时不变系统，上式中,a,和,b,是常数。,解：,y,(,n,)=,ax,(,n,)+,b,y,(,n,-,n,0,)=,ax,(,n,-,n,0,)+,b,T,x,(,n,-,n,0,),ax,(,n,-,n,0,)+,b,y,n,-,n,0,)=T,x,(,n,-,n,0,),因此该系统,是时不变系统,。,时域离散系统,【例2】,检查,y,(,n,)=,nx,(,n,)所代表的系统是否是时不变系统。,解:,y,(,n,)=,nx,(,n,),y,(,n,-,n,0,)=(,n,-,n,0,),x,(,n,-,n,0,),T,x,(,n,-,n,0,)=,nx,(,n,-,n,0,),y,(,n,-,n,0,)T,x,(,n,-,n,0,),因此该系统,不是时不变系统,。,同样方法可以证明,所代表的系统,不是时不变系统,。,时域离散系统,线性时不变系统输入与输出之间的关系,设系统的输入,x,(,n,)=(,n,)系统输出,y,(,n,)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为,系统的单位取样响应,，用,h,(,n,),表示。,换句话说,，,单位取样响应即是系统对于(,n,)的,零状态响应,。用公式表示为,h,(,n,)=,T,(,n,),h,(,n,)和模拟系统中的,单位冲激响应,h,(,t,),类似，都代表系统的,时域特征,。,设系统的输入用,x,(,n,)表示，按照上式表示成,单位采样序列移位加权和,为,时域离散系统,根据线性系统的,叠加性质,又根据,时不变性质,式中的符号,“*”,代表,卷积运算,，(*)式表示,线性时不变系统的输出等于输入序列和该系统的单位取样响应的卷积,。只要知道系统的单位取样响应，按照(*)式，,对于任意输入,x,(,n,)都可以求出系统的输出.,时域离散系统,例：,设线性时不变系统的,单位取样响应,为h(n)=a,n,U(n),0a1,，则输入序列x(n)=U(n)时，输出序列y(n)=?,时域离散系统,卷积中主要运算是,翻转,、,移位,、,相乘,和,相加,，这类卷积称为序列的,线性卷积,。,设两序列分别的长度是,N,和,M,，线性卷积后的序列长度为,N,+,M,-1,。,线性卷积服从,交换律,、,结合律和分配律,。它们分别用公式表示如下：,x,(,n,),*,h,1,(,n,),*h,2,(,n,),x,(,n,),*h,(,n,),=h,(,n,),*x,(,n,),=,(,x,(,n,),*h,1,(,n,),*h,2,(,n,),x,(,n,),*,h,1,(,n,),+h,2,(,n,),=x,(,n,),*h,1,(,n,),+x,(,n,),*h,2,(,n,),两系统级联,两系统并联,时域离散系统,两个有用的公式,：,x(n-n,0,),序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身,序列与一个移位的单位取样序列,(,nn,0,),的线性卷积等于序列本身移位,n,0,时域离散系统,系统的因果性和稳定性,定义一：,如果系统,n,时刻的输出,，只取决于,n,时刻以及,n,时刻以前的输入序列,，与,n,时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为,因果系统,。,如果,n,时刻的输出还取决于,n,时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为,非因果系统,。,因此系统的因果性是指系统在物理上的可实现性,。,定义二：,当n0时,序列值恒等于零的序列称之为,因果序列。,定义三：,线性时不变系统,具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：,h,(,n,)=0，,n,0,结论：,因此，,因果系统,的单位取样响应必然是,因果序列,时域离散系统,因果性系统的条件从概念上也容易理解，因为,单位取样响应是输入为(,n,)的零状态响应,，在,n,=0时刻以前即,n,0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此得到因果性条件如上式。,对于,模拟系统的非因果系统是不能实现的,，但是对于,数字系统,，利用系统中的存储性能，有些非因果系统是,可以近似实现,，只是系统的输出有延时。,时域离散系统,非因果系统的延时实现,先存储，后捐据计算,进行卷积计算,时域离散系统,稳定系统：,是指系统,有界输入,，系统,输出也是有界,的。系统稳定的充分必要条件是系统的,单位取样响应绝对可和,【例1】,设,线性时不变系统,的单位取样响应,h,(,n,)=,a,n,u,(,n,)，式中,a,是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,解：,由于,n,0时，,h,(,n,)=0，所以系统是,因果系统,。,又,当且仅当|a|1时,因此系统稳定的,条件是|a|1,；否则，|a|1时，系统不稳定。,时域离散系统,【例2】,设系统的单位取样响应,h,(,n,)=,u,(,n,)，求对于任意输入序列,x,(,n,)的输出,y,(,n,)，并检验系统的因果性和稳定性。,解:,h,(,n,)=,u,(,n,),y,(,n,)=,x,(,n,)*,h,(,n,)=,因为当,n,-,k,0,的方向递推，,是一个因果解,。但对于差分方程，其本身也可以向,n0，求输出序列y(n)。,解：,由差分方程可得：,y(n-1)=a,-1,(y(n)-(n),n=1时,：y(0)=a,-1,(y(1)-(1)=0,n=0时：y(-1)=a,-1y(0)-(0)=-a,-1,n=-1时：y(-2)=a,-1,(y(-1)-(-1)=-a,-2,n=-n：y(n-1)=-a,n-1,将n-1用n代替，得到,y(n)=-a,n,u(-n-1),模拟信号数字处理方法,在绪论中已介绍了,数字信号处理技术,相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此往往希望将模拟信号经过,采样,和,量化编码,形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为,模拟信号数字处理方法,。其原理框图如图所示,1、采样定理及A/D变换器,对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个,电子开关S,。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号,模拟信号数字处理方法,对模拟信号进行采样,电子开关的作用S等效一个矩形脉冲串,单位冲激串,模拟信号数字处理方法,上式中(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零 值，因此写成下式：,根据,频域卷积定理,：,两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积,。可以推导得：,模拟信号数字处理方法,式中，,s=2/T,，称为,采样角频率,，单位是,弧度/秒,上式表明,采样信号的频谱,是,原模拟信号的频谱,沿频率轴，每间隔采样角频率,s,复出现一次，或者说,采样信号的频谱,是,原模拟信号的频谱,以,s,为周期，进行周期性延拓而成的。,模拟信号数字处理方法,在下图中，设,x,a,(,t,)是带限信号，,最高截止频率为,c,，其频谱,X,a,(,j,)如图所示。,以s为周期进行的周期延拓,单位冲激串的频谱,频谱混叠,模拟信号数字处理方法,采样恢复,模拟信号数字处理方法,一般频谱函数是,复函数,，相加应是复数相加，前两图仅是示意图。一般称,f,s,/2为,折叠频率,，只有当信号最高频率不超过该频率时，才不会产生频率混叠现象，超过f,s,/2的频谱会折叠回来形成,混叠现象,，因此频率混叠均产生,在f,s,/2附近,。,【结论（采用定理）】,(1)对连续信号进行等间隔采样形成,采样信号,，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以,采样频率为周期,进行周期性的延拓形成的。,(2)设连续信号,x,a,(,t,)是,带限信号,，最高截止频率为c，如果采样角频率s2c，那么让采样信号 通过一个增益为T，截止频率为s/2的,理想低通滤波器,，可以唯一地恢复出原连续信号x,a,(t)。否则,s,/T区域有较多的高频分量，表现在,时域上,，就是恢复出的,模拟信号是台阶形,的。因此需要在D/AC之后加,平滑低通滤波器,，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就是在模拟信号数字处理框图中，最后加平滑滤波的原因。虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。,模拟信号数字处理方法,零阶保持器的频率特性,本章小结,1,，离散时间信号与离散时间系统是,数字信号处理,运作的基础。模拟信号通过时间离散化，可以最经济地提取其有效信息，并能适用计算机作处理。,2,，离散时间信号或称作序列。应牢记常用基本序列的表达式及相互间的几个关系式，并搞清它的定义域、周期性等。,3,，离散时间系统是对离散时间信号进行相加、相乘和延时的运算系统。它有线性,/,非线性、移变,/,移不变、因果,/,非因果、稳定,/,不稳定之分。,4,，,常系数线性差分方程描述,LIS,的信号传输关系，并可展现运算结构,