1、NORTH UNIVERSITY OF CHINA,第三章,随机变量的数字特征,(17),第三章,从上一章的讨论中我们知道,:,分布函数可全面地描述随,机变量的统计规律性,.,然而在实际问题中,，,往往不需要全,面考查随机变量的概率分布情况,只要知道随机变量的某,些特征就够了,.,例如,评价某班概率统计的考试成绩时,要知道该班的平均成绩,据就够了,.,平均成绩高,偏离度小,就认为该班学习成绩好,.,只,以及平均成绩的偏离度这两个数,我们把反映随机变量某些方面特征的参数,量的,数字特征,.,其中反映随机变量取值集中程度的数字,特征称为,数学期望,反映随机变量取值分散程度的数字,特征称为,方差,.
2、数学期望,与,方差,是随机变量的两个最重要的数字特征,.,称为随机变,第三章,数 学 期 望,第 一 节,一、离散型随机变量的数学期望,二、连续型随机变量的数学期望,三、二维随机变量函数的数学期望,四、数学期望的性质,例,1.,甲、乙两射手,甲:,击中环数,X,概率,8,0.3,9,0.1,10,0.6,乙:,击中环数,Y,概率,8,0.1,9,0.6,10,0.3,问哪个射手技术较高,?,解,:,虽然分布律完整地描述了随机变量的概率分布,但我,们很难一眼就看出甲、乙两个射手哪个技术更好些,.,一,.,离散型随机变量的数学期望,他们射击中靶的分布律分别为,:,若让甲、乙各射击,N,次,则他们
3、击中的总环数大约是,:,甲:,乙:,平均起来,甲每次击中,9.3,环,乙每次击中,9.2,环,故甲,的射击技术略高于乙,.,1.,离散型随机变量的数学期望,设离散型随机变量,X,的分布律为,定义,1,若,级数,绝对收敛,则称,级数,的和,为,X,的数学期望,简称期望或均值,.,记为,:,注意,:,这里要求级数,绝对收敛,收敛,),是,为了保证级数,的和,与其各项的次序无关,从,而使它恒收敛于同一确定数值,2.,离散型随机变量函数的数学期望,对于随机变量,X,的函数,g,(,X,),的数学期望有如下结论,:,(1),(即,如果,绝对收敛,则有,其中,(2),设,X,的分布律为,例1,X,3,0,
4、1,5,p,i,0.1,0.2,0.3,0.4,求,及,解,:,一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品五,种,相应的概率分别为,0.7,0.1,0.1,0.06,及,0.04,其产值,分别为,6,元,5.4元,5元,4,元,及,1,元,.,求,产品的平均产值,.,解,:,产品产值,X,是一随机变量,它的概率分布如下,:,X,6,5.4,5,4,1,p,i,0.7,0.1,0.1,0.06,0.04,则由式,(1),得产品的平均产值,(,单位：元,),为,例,2.,定义,2,设,连续型随机变量,X,的概率密度函数为,并且广义积分,绝对收敛,则称此,积分值为,X,的数学期望,记为,这里要求,绝对
5、收敛,收敛,),其,理由与离散型要求级数,绝对收敛类似,.,二,.,连续型随机变量的数学期望,(3),(即,1.,连续型随机变量的数学期望,对于连续型随机变量,X,的函数,有如下结论,:,若广义积分,绝对收敛,则,其中,f,(,x,),为,X,的概率密度函数,.,的数学期望存在,且有,2.,连续型随机变量函数的数学期望,(4),设,随机变量,X,的概率密度函数为,例,3.,求,解,:,由,公式,(3),有,三,.,二维随机变量函数的数学期望,设,是二,维随机变量,为二,元连续函数,则,是,一维随机变量,也可对其求数学期望,.,1.,二维离散型随机变量函数的数学期望,设二维离散型随机变量,的联合
6、分布律为,若,绝对收敛,则,的数学期望存在,(5),且有,设,二维连续型随机变量,的联合概率密度函数为,若,绝对收敛,2.,二维连续型随机变量函数的数学期望,则,的,数学期望存在,且有,特例,(6),(7),(8),设,的,联合概率密度函数为,求,解,:,例,4.,性质,1.,设,为常数,则,证,:,把常数,看成退化成单点的离散型随机变量,其分,由,定义即得,设,随机变量,X,的数学期望存在,为常数,则有,证,:,设,的,概率密度函数为,则,四,.,数学期望的性质,性质,2.,布律为,证毕,.,证毕,.,的,联合概率密度函数为,的边缘概率密度函数分别为,推论,:,证,:,设,性质,3.,设,随机变量,X,和,Y,的数学期望都存在,则有,则有,证毕,.,的,边缘概率密度函数分别为,则,由,X,与,Y,的,推论,:,当,相互独立时,设随机变量,X,与,Y,相互独立,X,与,Y,证,:,设,(,X,Y,),的联合概率密度函数为,f,(,x,y,),性质,4.,相互独立性有,从而有,:,有,则有,证毕,.,
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
