第三讲完全四边形市公开课一等奖省赛课微课金奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第三,讲,:,完,全四边形,第1页,完全四边形定,义,:,两,两相交,且没有三线共点四条直线及它们六个交点所组成图形,叫做完全四边形,.,直线,ABC,、,BDE,、,CDF,、,AFE,两两交于,A,、,B,、,C,、,D,、,E,、,F,六点,则四边形,ABCDEF,即为完全四边形,线段,AD,、,BF,、,CE,为其三条对角线,.,第2页,完全四边形性质,性质,1,.,完,全四边形,ABCDEF,三条对角线,AD,、,BF,、,CE,中点,M,、,N,、,P,三点共线,.,分,析,:,证,明三点共线,寻找梅氏三角形,.,分别取,CD,、,BD,、,BC,中点,Q,、,R,、,S,.,于是,在,ACD,中,M,、,R,、,Q,三点共线,;,在,BCF,中,S,、,R,、,N,三点共线,;,在,BCE,中,S,、,Q,、,P,三点共线,.,由平行线性质,得,:,第3页,对,BCD,及截线,AFE,应用梅氏定理,得,:,从而,得,:,再对,QRS,应用梅氏定理,知,N,、,M,、,P,三点共线,.,这条线也称为牛顿线,.,第4页,性质,2.,完全四边形,ABCDEF,中,G,、,H,分别是过,E,直线上且在,DEF,内、在,ABE,外两点,.,设直线,GF,与,HA,交于点,M,直线,GD,与,HB,交于点,N,则,M,、,N,、,C,三点共线,.,证实：分别对,DEF,及截线,ABC,GEF,及截线,HAM,DEG,及截线,HBN,应用梅氏定理,得,:,三式相乘,对,DGF,应用梅氏逆定理,.,第5页,笛沙格定理,若,ABH,和,FDG,对应顶点连线,AF,、,HG,、,BD,所在直线交于一点,E,则,ABH,和,FDG,三对对应边,AB,与,FD,、,HB,与,GD,、,HA,与,GF,所在直线交点,C,、,N,、,M,三点共线,.,第6页,性质,3.,在完全四边形,ABCDEF,中,G,是对角线,AD,所在直线上一点,连结,BG,、,CG,、,EG,、,FG,若,AGC,=,AGE,则,AGB=AGF,.,证实,:,点,G,在,DA,延长线上,过,G,作直线,a,AD,过点,B,、,F,分别作直线,BM,a,于点,M,交,CD,于点,M,1,交,CG,于点,M,2,;,作直线,FN,a,于点,N,交,DE,于点,N,1,交,GE,于点,N,2,.,则,BM,/,AG,/,FN,.,第7页,由,AGC,=,AGE,知,Rt,GMM,2,Rt,GNN,2,.,故,:,由等比性质得,:,所以,Rt,MBG,Rt,NFG,.,故,BGM=FGN,所以,AGB=AGF,.,第8页,注,:,本题证实对其它几个情况一样适用,.,(1),点,G,在线段,AD,上,;,(2),点,G在,AD,延长线上,(,又分成,AGC,大于、等于、小于,90,三种情况,).,当,AGC,=,AGE,=90,时,M,2,与,M,重合,N,2,与,N,重合,.,于是,有,A,B,C,M,G,N,E,F,N,1,D,M,2,M,1,N,2,所以,Rt,MBG,Rt,NFG,.,第9页,性质,4.,在完全四边形,ABCDEF,中,过,B,、,F,分别作与对角线,AD,平行直线,交对角线,CE,于点,G,、,H,连,BH,、,FG,相交于点,P,则点,P,在直线,AD,上,.,证实,:,延长,AD,交,EC,于,Q,点,对,ACE,及点,D,应用塞瓦定理,得,:,只需对,GEF,应用梅涅劳斯定理逆定理即可得结论,.,第10页,由,BG/AD/FH,得,:,从而,同理,又,于是,又,所以,点,A,、,P,、,Q,三点共线,.,第11页,性质,5.,在完全四边形,ABCDEF,中,若,G,、,H,分别是,CF,、,BE,中点,则,S,四边形,BCEF,=4,S,AGH,.,证实,:,连结,CH,、,HF,得,第12页,性质,6.,在完全四边形,ABCDEF,中,四个三角形,ABE,、,BCD,、,ACF,、,DEF,外接圆共点,(,该点称为,Miquel,点,).,证实：设,BCD,与,DEF,外接圆交于点,D,外,还交于点,M,.,设点,M,在直线,CB,、,CD,、,BD,上射影分别为,P,、,Q,、,R,则对,BCD,应用西姆松定理,知,P,、,Q,、,R,共线,.,又设点,M,在,AE,上射影为,S,则对,DEF,应用西姆松定理,知,Q,、,R,、,S,共线,故,P,、,Q,、,R,、,S,共线,.,第13页,在,ACF,中,点,P,在直线,AC,上,点,Q,在直线,CF,上,点,S,在直线,AF,上,且,P,、,Q,、,S,共线,则对,ACF,应用西姆松定理逆定理,知点,M,在,ACF,外接圆上,.,同理,点,M,在,ABE,外接圆上,.,故,ACF,、,BCD,、,DEF,、,ABE,四个外接圆共点,.,第14页,有约束条件完全四边形,Miquel,点性质,.,推论,1.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,AB=AE,BC=EF,(,或,CD=DF,).,则,:,(1),AM,为,ABE,外接圆直径,;,证实,:,对,ACF,及截线,BDE,应用梅氏定理,有,又,AB=AE,则由上式知,:,BC=EF,CD=DF.,第15页,由正弦定理知,BCD,与,DEF,是等圆,又,A,、,B,、,M,、,E,共圆,知,CBM,=,AEM,=,FEM,.,从而,CM=MF,.,又由,BCM,=,EDM,=,MFE,知,BCM,FEM,.,从而,BM=ME,即,ABM,AEM,即,AM,为,BAE,平分线,亦即知,ABE,外心,O2,在,AM,上,.,故,AM,为,ABE,外接圆直径,.,第16页,(2),DM,CF,;,推论,1.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,AB=AE,BC=EF,(,或,CD=DF,).,则,:,证实,:,由,DCM,DFM,有,CDM,=,FDM,.,故,DM,CF,.,第17页,(3),ACF,外心在直线,DM,上,.,推论,1.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,AB=AE,BC=EF,(,或,CD=DF,).,则,:,证实,:,在,ACF,外接圆,O,1,中,点,D,为弦,CF,中点,从而,O,1,D,CF,从而,C,、,D,、,M,共线,即,ACF,外心在直线,DM,上,.,第18页,推论,2.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,AC,BE,AE,CF,则,:,(1),点,M,在,CE,上,且,A,、,D,、,M,共线,DM,CE,.,证实,:,连,CE,由题设知,D,为,ACE,垂心,.,CE,边上高线垂足即为,Miquel,点,.,由上知,点,M,在,CE,上,且,A,、,D,、,M,三点共线,DM,CE,.,第19页,推论,2.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,AC,BE,AE,CF,则,:,(2),以,MB,为直径圆交,BC于点,P,交,CE,于点,Q,则,PQ,/,AE,;,以,MF,为直径圆交,FE,于点,R,交,CE,于点,S,则,RS,/,AC,.,证实,:,由,B,、,P,、,Q,、,M,共圆,A,、,B,、,M,、,E,共圆,得,PQC,=,PBM,=,MEA,从而,PQAE,.,同理,RS,/,AC,.,第20页,推论,2.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,AC,BE,AE,CF,则,:,(3),过点,M,、,F,、,B,圆交,AD,于点,A,1,交,CD,于点,C,1,交,ED,于点,E,1,则,A,1,C,1,E,1,分别是,AD,、,CD,、,ED,中点,证实,:,过点,M,、,F,、,B,圆是,ACE,九点圆,从而,A,1,C,1,E,1,分别是,AD,、,CD,、,ED,中点,.,第21页,推论,3.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,B,、,C,、,E,、,F,共圆,O,则,:,(1),点,M,在对角线,AD,上,;,证实,:,在直线,AD,上取点,M,使,AD,AM,=,AB,AC,则,AD,AM,=,AF,AE,此时,B,、,C,、,M,、,D,共圆,E,、,F,、,D,、,M,也共圆,即,M,为,BCD,与,DEF,另一个交点,从而,M,为其,Miquel,点,故,M,与,M,重合,即点,M,在对角线,AD,上,.,第22页,推论,3.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,B,、,C,、,E,、,F,共圆,O,则,:,(2),AM,平分,CME,AM,平分,BMF,且,C,、,O,、,M,、,E,四点共圆,点,B,、,O,、,M,、,F,四点共圆,.,证实,:,连,CM,、,EM,设直线,AD,交,O,于,G,、,H,则,CMH,=,CBD,=,EMH,.,故,CME,=2,CBE,=,COE,.,从而,AM,平分,CME,且,C,、,O,、,M,、,E,四点共圆,.,同理,AM,平分,CME,且,B,、,O,、,M,、,F,四点共圆,.,第23页,推论,3.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,B,、,C,、,E,、,F,共圆,O,则,:,(3),OM,AD,且,AOM,与,O,交点为,P,、,Q,时,AP,、,AQ,是,O,切线,.,证实,:,连,OC,、,OE,由,C,、,O,、,M,、,E,四点共圆,有,即,OMC,+,CMH,=90,故,OM,AM,即,OM,AD,.,因为,O,中,AO,为直径,则,APO,=,AQO,=90,从而,AP,、,AQ,为,O,切线,.,OMC,=,OEC,=,OCE,第24页,练习,:,在,完全四边形,ABCDEF,中,对角线,AD,、,BF,交于点,G,点,M,是其Miquel,点,若,A,、,B,、,D,、,F,四点共圆,O,则,O,、,G,、,M,三点共线,.,对于完全四边形,EFAGBD,其,Miquel,点,N,在直线,EG,上,从而有,EG EN,=,EFEA,=,EQ,2,.,EQN,EQG,.,EGQ,=,EQN,.,同理,EGP,=,EPN,.,于是,P,、,G,、,Q,三点共线,.,第25页,练习,:,在,完全四边形,ABCDEF,中,对角线,AD,、,BF,交于点,G,点,M,是其,Miquel,点,若,A,、,B,、,D,、,F,四点共圆,O,则,O,、,G,、,M,三点共线,.,注意到,EQ,2,=,ED EB,=,EMEC,.从而,CE,2,EQ,2,=,CE,2,EMEC,=,CECM,=,CDCF,=(,CO,-,r,)(,CO,+,r,)=(,CO,-,OQ,)(,CO,+,OQ,)=,CO,2,OQ,2,.,于是,CQ,OE,.,同理,CP,OE,.,即,C,、,P,、,Q,三点共线,.,从而,OE,CG,.,同理,OC,EG,.,O,为,CGE,垂心,OG,CE,又,OM,CE,证毕,.,第26页,练习,:,四边形,ABCD,内接于圆,O,AB,与,DC,交于点,P,AD,与,BC,交于点,Q,AC,与,BD,交于点,R,求证,:,O,为,PQR,垂心,.,(,东北三省数学邀请赛,),第27页,练习,:四边形,ABCD,内接于圆,O,AB,与,DC,交于点,P,AD,与,BC,交于点,Q,由,Q,作该圆两条切线,QE,、,QF,切点分别为,E,、,F,求证,:,P,、,E,、,F,三点共线,.,(,1997CMO),第28页,推论,4.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,A,、,B,、,D,、,F,四点共圆,O,则,:,(1),点,M,在对角线,CE,上,且,OM,CE,;,分析,:(1),设过点,B,、,C,、,D,圆交,CE,于点,M,连,DM,则,AFD,=,CBD,=,DM,E,从而,D,、,M,、,E,、,F,共圆,.,即,M,为,BCD,与,DEF,另一个交点,从而,M,为其,Miquel,点,故,M,在对角线,CE,上,.,第29页,推论,4.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,A,、,B,、,D,、,F,四点共圆,O,则,:,(1),点,M,在对角线,CE,上,且,OM,CE,;,设圆,O,半径为,r,则,两式作差,:,第30页,分析,:(2),则由,BMC,=,BDC,=,FDE,=,FME,即知,OM,平分,BMF,.,由,AMC,=,AFC,=,DME,即知,OM,平分,AMD,.,推论,4.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,A,、,B,、,D,、,F,四点共圆,O,则,:,(2),OM,平分,BMF,OM,平分,AMD,.,第31页,推论,4.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,A,、,B,、,D,、,F,四点共圆,O,则,:,(3),若,C,、,E,平分线相交于点,K,则,CK,EK,.,设,DCE,=1,DEC,=2.,(,BCD,+1+2)+(,DEF,+2+1)=,ABD,+,AFD,=180,.,即,CK,EK,.,第32页,推论,4.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,A,、,B,、,D,、,F,四点共圆,O,则,:,(4),DGF,平分线与,EK,平行,BGD平分线与,CK,平行,.,设,DGF,平分线交,DE,于点,X,EK,与,FG,交于点,I.,GX,/,EK,第33页,推论,4.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,A,、,B,、,D,、,F,四点共圆,O,则,:,(5),若从点,C,、,E,分别引,O,切线,切点为,P,、,Q,则,CE,2,=,CP,2,+,EQ,2,.,设过点,B,、,C,、,D,圆交,CE,于点,M,连结,DM,.,则,AFD,=,CBD,=,DME,.,从而,D,、,M,、,E,、,F,四点共圆,.,CM,CE=CD,CF,EM,EC=ED,EB,.,两式相加得,:,CE,2,=,CD,CF,+,ED,EB,.,又,CD,CF,=,CP,2,ED,EB,=,CQ,2,第34页,推论,4.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,A,、,B,、,D,、,F,四点共圆,O,则,:,(6),过点,E,圆割线交,O,于点,R,、,P,直线,CP,交,O,于点,S,则,R,、,G,、,S,三点共线,.,连结,PA,、,PB,、,SA,、,SB,、,DR,、,RF,、,PF.,由,EFR,EPA,CBS,CPA,得,即,由,ERD,EBP,CBP,CSA,得,以上两式相除,:,第35页,对,ABE,及截线,CDF,应用梅涅劳斯定理知,:,于是,上式可变为由角元塞瓦定理推论知,SR,、,BF,、,AD,共点,故,S,、,G,、,R,三点共线,.,第36页,推论,4.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,A,、,B,、,D,、,F,四点共圆,O,则,:,A,B,C,D,E,F,O,G,W,(7),设对角线,AD,延长线交对角线,CE,于点,W,则,CW=WE,充要条件是,WA,WD,=,CW,2,.,对,ACE,及点,D,应用塞瓦定理,:,WA,WD,=,CW,2,DWC,CWA,DCW,CAW,BFD,BF/CE,第37页,推论,4.,在完全四边形,ABCDEF,中,点,M,是其,Miquel,点,且,A,B,、,D,、,F,四点共圆,O,则,:,(8),设,Z,是对角线,CE,中点,连结,AZ,交,O,于点,N,则,C,、,D,、,N,、,E,四点共圆,.,若,AZ,过点,D,时,点,D,与点,N,重合,显然成立,.,A,B,C,D,E,F,O,Z,W,N,Y,设,AZ,不过点,D,延长,AZ,到点,Y,使,ZY=AZ,则,ACYE,为平行四边形,.,又,CDE,=,BDF,=180-,BAF,=180-,CYE,即,C,、,Y,、,E,、,D,四点共圆,.,又,YND,=180-,AND,=,ABD=,YED,即,D,、,N,、,E,、,Y,四点共圆,.,故,CYEND,共圆,.,第38页,练,1.,在锐角,ABC,中,AB,边上高,CE,与,AC,边上高,BD,交于点,H,以,DE,为直径圆分别交,AB,、,AC,于,F,、,G,两点,FG,与,AH,交于点,K,.,已知,BC,=25,BD,=20,BE,=7,求,AK,长,.,P,A,B,C,D,E,K,H,G,F,延长,AH,交,BC,于点,P,易得点,D,为完全四边形,BPCHAE,Miquel,点,.,于是得,GF,/,BC,.,下面求,AB,AP,AF,.,设锐角,ABC,三内角分别为,A,B,C,则,第39页,P,A,B,C,D,E,K,H,G,F,从而得,:,在,ABC,中,由正弦定理得,:,即,AP,=,AB,sin,B,=24.,连,DF,则,BD,2,=,BF,AB,从而,AF,=9.,第40页,练,2.,已知锐角,ABC,中,CD,是过点,C,高线,M,是边,BA,中点,过,M,点直线分别交射线,CA,、,CB,于点,K,、,L,且,CK=CL,.,若,CKL,外心为,S,.,证实,:,SD=SM,.,E,M,K,L,A,B,D,C,S,设过,M,点与,AB,垂直直线与,CS,延长线交于点,E,.,则易得点,E,为完全四边形,CKAMLB,Miquel,点,.,因为,CE,是,CKL,直径,即,S,是,CE,中点,.,又,CD,AB,ME,AB,即点,S,在,MD,中垂线上,故,SD=SM第41页,练,3.,四边形,ABCD,内接于圆,直线,AB,、,DC,交于点,E,直线,AD,、,BC,交于点,F,AEC,平分线交,BC,于点,M,交,AD,于点,N,BFD,平分线交,AB,于点,P,交,CD,于点,Q,求证,:,MPNQ,是菱形,.,F,E,Q,P,B,A,C,D,N,M,设,PQ,、,MN,交于点,K,连结,EF,设,DEF,=1,BFE,=2.,1,2,K,由,ABC,+,ADC,=180,得,BEC,+1+2+,DFC,+2+1=180,2,KEC,+1+2+2,KFC,+2+1=180,KEC,+1+2+,KFC,=90,KEF,+,KFE,=90,MN,PQ,.,角平分线即中线,从而,PQ,、,MN,相互平分,.,第42页,练,4.,一个圆经过,ABC,顶点,A,、,B,分别交线段,AC,、,BC,于点,D,、,E,直线,BA,、,ED,交于点,F,直线,BD,、,CF,交于点,M,.,证实,:,MF,MC,充要条件是,MB,MD,MC,2,.,F,E,B,A,C,D,M,对,BFC,及点,D,应用塞瓦定理得,:,MB,MD,MC,2,MBC,MCD,MCD,=,MBC=,DAE,连,AE,.,AE,/,CF,MF,MC,第43页,练,5.,在,ABC,中,一个以,O,为圆心圆经过顶点,A,、,C,又和线段,AB,、,BC,分别交于点,K,、,N,(,K,和,N,不一样,).,ABC,外接圆和,BNK,外接圆恰相交于点,B,和另一点,M,.,证实,:,BMO,90,.,A,B,C,K,N,O,M,作,O,割线,NM,交,O,于点,D,连,AD,OA,OD,AM,.,则,BM,/,AD,.,由,ACNK,ACMB,分别四点共圆知,BKN,=,ACB,=,AMB.,又由,KNAD,四点共圆,BKN,=,ADN,=,ADM.,于是,DAM,=,AMB,=,ADM.,即,MA=MD.,D,又,OA=OD,即,OM,AD,从而,OM,BM,.,第44页,练,6.,在完全四边形,ABCDEF,中,对角线,AD,和,BF,交于点,G,.,若过点,D,、,F,、,G,圆与边,AE,、,BE,分别切于点,F,、,D,则直线,CG,是,DFG,外接圆切线,.,A,B,C,D,E,F,G,C,设过点,G,DFG,外接圆切线与直线,FD,交于点,C.,由,ADF,AFG,得,即,同理,三式相乘,由梅涅劳斯定理逆定理知,ABC,三点共线,.,故,C,、,C,重合,.,CG,是,DFG,外接圆切线,.,第45页,练,7.,在完全四边形,CFBEGA,中,对角线,CE,所在直线交,ABC,外接圆于点,D,过点,D,且于,FG,切于点,E,圆交,AB,于点,M,.,已知,求,(,用,t,表示,).,F,E,C,D,M,A,B,G,连结,AD,、,MD,BD,.,由,DMA,=,DEG,=,FEC,FCE,=,MAD,得,:,EFC,MDA.,即,又,FEC,=,DME,知,GEC,=,DMB,ECG,=,DBM,.,故,GEC,DMB,.,即,故,EF,MA=EG,BM,.,第46页,练,8.,在完全四边形,BXAPCR,中,O,1,切,AB,于点,A,、切,XC,于点,P,;,O,2,过点,C,、,P,且与,AB,切于点,B,.,O,1,与,O,2,除相交于点,P,外,还相交于点,Q,.,证实,:,PQR,外接圆与直线,BP,、,BR,相切,.,O,1,B,R,X,Q,A,P,C,O,2,连结,BQ,AQ,.,由,BPR,=,PBA,BAP,=,BCX,+,APX,=,BCX,+,CPR,=,BRP,故,BP=BR,.,由弦切角定理逆定理知,只需证实,BPR,=,PQR,.,又,BRP,=,BPR,=,PBA,+,PAB,=,AQP,+,BQP,=,AQB,.,即,AQRB,四点共圆,.,故,BQR,=,PAB,.,又,BQP,=,PBA,则,PQR,=,PAB,+,PBA,=,BPR,.,所以,BP,是,PQR,外接圆切线,.,第47页,练,9.,在完全四边形,ABCDEF,中,O,分别内切四边形,ABDF,边,AB,、,BD,、,DF,、,FA,于点,P,、,Q,、,R,、,S,.,求证,:(1),AD,、,BF,PR,、,QS,四线共点,;(2),AC,-,CD,=,AE,-,DE,.,B,A,C,D,E,F,P,Q,R,S,M,M,(1),设,BF,与,QS,交于点,M,BF,与,PR,交于点,M.,下面证实,M,与,M,重合,.,对,BEF,及截线,QMS,、,BCF,及截线,PMR,分别应用梅氏定理得,:,即,即,又,BP=BQ,FS=FR,.,故,即,M,M,重合,.,从而,BF,QS,PR,三线共点,.,即,AD,QS,PR,三线共点,.,第48页,B,A,C,D,E,F,P,Q,R,S,练,9.,在完全四边形,ABCDEF,中,O,分别内切四边形,ABDF,边,AB,、,BD,、,DFFA,于点,P,、,Q,、,R,、,S,.,求证,:(2),AC,-,CD,=,AE,-,DE,.,由圆切线长定理得,:,AC,-,AE,=(,AP,+,PC,)-(,AS,+,SE,)=,PC,-,SE,=,CR,-,QE,=(,CD,+,DR,)-(,DE,+,DQ,)=,CD,-,DE,.,故,AC,-,CD,=,AE,-,DE,.,第49页,九点共圆定理,三角形三边中点,三条高垂足,垂心与各顶点连线中点这,9,点共圆,.,第50页,九点圆是几何学史上一个著名问题,最早提出九点圆是英国培亚敏,.,俾几,Benjamin Beven,问题发表在,1804,年一本英国杂志上,.,第一个完全证实此定理是法国数学家彭赛列,1788-1867.,也有说是,1820-1821,年间由法国数学家热而工,1771-1859,与彭赛列首先发表,.,一位高中教师费尔巴哈,1800-1834,也曾研究了九点圆,他证实发表在,1822,年,直边三角形一些特殊点性质,一文里,文中费尔巴哈还取得了九点圆一些主要性质,故有些人称九点圆为费尔巴哈圆,.,第51页,九点圆含有许多有趣性质,比如,:1.,三角形九点圆半径是三角形外接圆半径之半,;2.,九点圆圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线中点,;3.,三角形九点圆与三角形内切圆,三个旁切圆均相切,(,费尔巴哈定理,);4.,九点圆是一个垂心组共有九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切,;5.,九点圆心,(,V,),重心,(,G,),垂心,(,H,),外心,(,O,),四点共线且,OG,=2,VG,VO,=2,HO.,第52页,九点圆圆心是垂心与外心中点,.,九点圆直径径等于外接圆半径,.,第53页,四点形,A,、,B,、,C,、,D,所包含四个三角形,BCD,、,ACD,、,ABD,、,ABC,九点圆共点,.,第54页,弦切角定理,弦切角度数等于它所夹弧度数二分之一,.,推论,弦切角等于它所夹弧所正确圆周角,.,弦切角定义,顶点在圆上,而且一边和圆相交,另一边和圆相切角叫做弦切角,.,逆定理,角度数等于所夹弧度二分之一角为弦切角,.,C,A,B,T,第55页,