第九编 解析几何 双曲线-教学课件.pdf

9.7 双曲线 基础知识自主学习 要点梳理1.双曲线的概念平面内到两定点尸1、尸2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于旧1尸2口的点的集合叫作双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合片必I IH 叱2 U=2。,旧匹仁2小 其中、C为常数目0,。0：(1)当ac时,P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质性质范围x ac a.j g Rx g R,j a对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点顶点坐标：A】0),A2(a,0)顶点坐标：A】(0,-)，A2(0,a)渐近线 b y=-x a,a y=x b离心率e=,e(l,+oo),其中 c=Ja2+b2 a实虚轴线段A02叫做双曲线的实轴，它的长 44仁2。；线段为82叫做双曲线的虚轴，它的长出1殳|二22；，叫做双曲线的实半 轴长，匕叫做双曲线的虚半轴长.a、b、。的关系c2=6z2+/)2(ca0,c60)基础自测。2 21.双曲线方程：=那么左的范围是 k-2 5-k（D）A.k5 B.2Z V5C.-22 D.-2左5解析由题意知（|-2）（5左）0）的虚轴长为2,近线方程为 A.y2xC.尸土焦距为23,则双曲线的渐(C)B.y2x2 xD.yx解析 由题意知，26=2,2c=2/3,则b=l,cQ=g；双曲线的渐近线方程为尸土不,23.过双曲线N-产二8的左焦点尸i有一条弦p。在左支 上，若3。仁7,尸2是双曲线的右焦点，则尸尸2。的周长是（C）A.28 B.14-8 72 C.14+8 72 0.872解析|PF2i+|P2l+lel=（2+|P 尸 J）+IP2I+（2。+|0 尸 J）二4研2|尸。|二8行+14.4.（2009 安徽）是下列曲线中离心率为好的2（B）2 42 2C.L_L=14 6解析 Ve=V6,24 2n 2 2D._乙=i4 10-2/二3.即-32/2.丁+从J.=1 故B选项正确.c c 怔 2/2z、x2 y2 15.若根0,点p(m 在双曲线7-y=l上，则I 2J 13点尸到该双曲线左焦点的距离为二,q、22解析P m,-在双曲线L-上=1上，且相0,I 2J 4 5代入双曲线方程解得加二3,双曲线左焦点尸1(-3,0),故|尸乃仁I；5 V 139+3)+12-。一2题型分类深度剖析题型一双曲线的定义【例1】已知动圆M与圆G：（犬+4）2+产2外切,与 圆g：（厂4）2+俨=2内切，求动圆圆心M的轨 迹方程.思维启迪利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解.解 设动圆的半径为八 则由已知IMC1R+V5,IMC2|=r-V2，A|MC1|-|MC2|=2a/2.又G(-4,0),C2(4,0),|。1。2=8,：.2420,则。2=92,(2二4人c2=a2+b2=13 2.由题设2c=2用，2=1,2 2所求双曲线方程为L乙=19 4若几0,则2=9%,由题设2联6,2=1.2 2所求双曲线方程为L上=19 49若X 0）.m n双曲线过点尸（/，2）,Am0,n 0/0).a b a b.c2=a2+Z72，/.13=2+2,由渐近线斜率得夕=2或=2 a 3 b 3a _2或6 3。2+Z?2=13b_2故 a 3a2+b2=132 0a=9或42 A a=4b2=4 b2=9所求双曲线方程为（3）由（2）所设方程b_2 fa_2可得 a 3或b 3,2a=6 2a=6I Va 3b=2a=3或 9-b=一I 2故所求双曲线方程为2 2X J9 4探究提高 待定系数法是求曲线方程最常用的方 法之一.2 2(1)与双曲线=i有共同渐近线的双曲j b2线方程可表示为=仆0).a b 4(2)若双曲线的渐近线方程是产土-x,a2 2则双曲线的方程可表示为x_ 乙2 2/(3)与双曲线L_2L=i共焦点的双曲线方程可表示为一 产a?k+k=1(-/?2 k 6Z2)；(4)过两个已知点的双曲线的标准方程表示为%“八、-b J=l(mn b 0)2 2a-k b2-A有共同焦点的=1(/)2 2 1/八 八、队皿外力I土人=1（加0,0）m2 n分别求。，b,m,的值-k利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得cos ZF.PF2解（1）由已知：，设椭圆长、短半轴长分 别为。、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为根、n,a-m=4贝山3，/-3-1.知能迁移3已知双曲线的方程是16x2-9俨=144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设尸1和正2是双曲线的左、右焦点，点P在双 曲线上，且3尸/出厂2=32,求N尸1P尸2的大小2 2解(1)由 16N-9y=144,得?=1,二3,。二4“二5.焦点坐标/i(-5,0),F2(5,0),5 4离心率e=；，渐近线方程为广土-x.,o06=WJ7V179 0-二OOI-力9+9_|如|/._J q Ml St+3(l M-l 曲)-=WJZSOl d 1 z49=|d-ldd|2)题型四 直线与双曲线的位置关系例4（12分）已知双曲线x2-/=4,直线/：y=k（x-l）.试讨论实数儿的取值范围，使得直线I与双曲线有两个公共点；直线/与双曲线有且只有一个公共点；直线,与双 曲线没有公共点.思维启迪 一般地，直线/：=履+加（加/0）与双曲线的位置关系可以联立方程后借助判 别式A来判断：0=直线与双曲线有两个公共点，此时称直 线与双曲线相交；A=0=直线与双曲线有一个公共点，此时称直 线与双曲线相切；Av0=直线与双曲线没有公共点，此时称直线 与双曲线相离.解题示范消去得(1 _*+2七-产-4=0.(*)(1)当1-F=o,即左=1时，直线/与双曲线 的渐近线平行方程化为2x=5.故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲 线相交，且只有一个公共点.4分（2）当 1 Pwo,即 时，A=（2一）2-4（1-）（一炉4）=4（4-3炉）./4-30,2a/3 2f3-2小，即-且gi时，方程（*）有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点.6分4 3炉=0,2、回、,11-好0,即九=-时方程（*）有两个相同的实数解，即直线与双曲线相切.8分4-3 代0,1 匹0,即k方程(*)无实数解，即直线与双曲线没有公 共点.10分综上所述，当普k0,则2k A:2-20,解得k的取值范围为-2k-42.（2）设/、B两点的坐标分别为（不，力）、（M，%）则由得00)的渐近线方程11=1储00)的渐近线a方程是产土二4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5,直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线 相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲 线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.定时检测一、选择题2 21,双曲线乙-L=1的焦点坐标为(D)4 5A.(-1,0),(1,0)B.(-3,0),(3,0)C.(0,-1),(0,1)D.(0,-3),(0,3)解析 a2-4,&2=5,/.c2-a2+b2=9.又焦点在y轴上，焦点坐标为(0,-3)和(0,3)./庐2.若双曲线二1的一条渐近线方程为|+y=0,则此双曲线的离心率为（B）A.12 B.巫 C.272 D.VW10 3解析 渐近线方程为土+广0,2=L 3 a 3又2+按二/,从而=o）的左、右焦点分别为尸1、尸2,其一条渐 近线方程为尸G点尸（仃，）在该双曲线上，则 而年等于（C）A.-12 B.-2 C.0 D.4解析,渐近线方程为yr,抉=2.又P 00)的左 a b焦点，点5是该双曲线的右顶点，过点尸且垂直于X轴的直线与双曲线交于A、B两点，若443月是直角三角形，则该双曲线的离心率是(B)A,收 B.2 C.1+&D.2+/解析将广-。代入双曲线方程得广土忙.a由Ag5是直角三角形得 f+c,a即2+c=Z?2二o2q2,整理得Q一碇合标二。.e2-e-2=Q,解得c=2（c=T 舍去）.、填空题7.（2009 湖南）过双曲线C：%y/一后（0,。0）的一个焦点作圆光2+2=2的两条切线，切点分别为A、B若NA03=120。（。是坐标原点），则双曲线。的离心率为 2解析如图，由题知。4,4尸，OB上BF且/AOB=1200,A ZAOF=60,又。4=，OF=c,a 04 八 o =-=cos o0c OF-=2.a28.P为双曲线九2-七二1右支上一点,V、N分别是圆(x+4)2+产4和(x-4)2+俨=1 上的点,则pmPN 的最大侑为5.解析 已知两圆圆心(-4,0)和(4,0)(记为 2尸1和尸2)恰为双曲线必-七二1的两焦点.当最大，|pn|最小时，IpmHpnI最大，I 最大值为P到圆心尸1的距离出尸11与圆尸1半径之和，同样|pn|最小二|p&T，从而m pnpf1+2-(|pf2|-D=|pf1|-|PF2|+3=2a+3=5.乙9.（2009 辽宁）已知厂是双曲线 X-二4 12二1的左焦点，A（1,4）,P是双曲线右支上的动点，贝IJ3川+3川的最小值为3解析 设右焦点为尸,，由题可知尸 坐标为（4,0），根据双曲线的定义，出厂HP尸仁4,A|pf|+|pa|=4+|pfz I+1 PA|,要使|pN+|pa|最小,只需出/|十|pa|最小即可，出尸P4|最小需P、/、A三点共线，最小值即4+|尸 A|=4+79T16=4+5=9.三、解答题10.已知49B的顶点A在射线/1：广行%（x0）上,A 5两点关于x轴对称，。为坐标原点，且线段 上有一点满足|*=3.当点A在乙上移 动时，记点的轨迹为W.求轨迹W的方程.解 因为A,B两点关于无轴对称，所以A3边所 在的直线与y轴平行.设M（羽y）,由题意，得A（羽6%），从九，公,所以以初二指产也*可 因为 MB=3,所以5 x-y)X(y+Vx)所以点的轨迹w的方程为必+V32=3,即/乙=1.2 3-=1(x0).311.已知双曲线C：/=1,尸为C上的任 意点.(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的 距离的乘积是一个常数；(2)设点Z的坐标为(3,0),求四|的最小值.证明设尸(修，刃)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x-2y=Q和 x+2y=0.点尸(修，乃)到两条渐近线的距离分别是M-2乃|修+2yli7和它们的乘积是%-2/1|不+2i|-4M _ 4乖小=5=5*点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一 个常数.(2)解设点尸的坐标为(居仍，V2则对2=住一 3)2+/=(%-3)2+彳-15f 12%4=户一力、12 4V|x|2,当 时，的最小值为不即|E4|的最小值为芍.12.设/、是双曲线f4=1上的两点，点N(l,2)是线段Z5的中点.(1)求直线4B的方程；(2)若线段4B的垂直平分线与双曲线相交于 C、O两点，那么N、B、C、。四点是否共 圆？为什么？解(1)设直线48:=网、一1)+2,代入f=1中得，(2-*)-2k(2-k)x (2 一左了 2=0,(*)令，(%1，%)，3(%2，y2)，则修、M是方程(*)的两根.A 2-FWO 且+x2=2-k由N(l,2)是AB中点得私产=1,k(2-k)=_好+2.：.k=l,J直线4B的方程为y=x+L 将k=1代入方程(*)得x2-2x-3=0,得=-1或x=3.由 y=X+1 得yi=0)2=4,力(一 1,0),5(3,4).由CD垂直平分线段4B得直线CD的方程：y=-（x-1）+2,即 y=3 x,代入双曲线方程，整理得/+6X-11=0.令。（*3，%），2）（X4，）及 CD 中点拉住0，州）,则 3+*4=-6,X3X4=-11,X3+*4Xo=-2=-3，Jo=6.CD=4a/10,MC=MD=|CD|=2,MA=MB=2亚，即 A.B.C、D 到点 M 的距离相等.：.A.B、C、。四点共圆.返回