选修2-1 第三章 空间向量与立体几何题库.pdf

电/14&4中，M为AC与 8D的交点，若还二,而二九丽二c.则下列向量中与由相等的向量是（）1 1,1 1,A.-bc B.aH6+c2 2 2 211,1 1,C.一a,-6+c D.-a-Zx+c2 2 2 24.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a=（1,1）,b=（1,一 1）,片（-1,2）,则。等于（）人1 3,A.-a+b2 2b3 1 fC.a-b2 23 1 fD.一 一aA b2 25.(2000江西、山西、天津理，4)设以b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则(2 6)c(c a)6二0 团一|Z|(2)u=(0,3,0),v=(0,5,o);-f(3)u=(2,3,4),v 二(丸 一2,1)。8.已知点 A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面 ABC 的一个单位法向量。9.若直线，的方向向量是a=(1,2,2),平面通勺法向量是n=(-1,3,0),试求直线，与平面a所成角的余弦值。10.(2010年浙江理6)设/,根是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是(A)若/，机，mua、则/_La(B)若/_La,1/m,则m J_a(C)若/a,merer,则/加(D)若/a,m/a,则Zm空间向量及其运算练习题 答案1.答案：D解析：因为(z 6)c-a*b cos0,c 而 z(6，c)=b c cos y,a 而 c方向与方向不一定同向.评述：向量的积运算不满足结合律.2.答案：D 解析：设 OC=(x,y),0A=(3,1),OB-(1,3),(xOA=(3%夕)，丽二(-A 3又aOA+OB=(3(z夕，比+3x=3a-3(X,y)=(3比一产，/+3，5y=a+3p又行麦1因此可得x+2y=5评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法.3答案:A-1 1 解析：+BM=Aj A+(5A+BC(，+b)b+c评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本 题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.4.答案：B解析：设户3Z+力6,则mn=-l)解:(1)a=(2,3,-1),b=(6,-9,3)b f f3,，a/b,：.1IL(2)V a=(5,0,2),b=(0,4,0)a-b=0 alb /|/(3).a=(-2,1,45),b=(6,3,3)f f二.a与b不共线，也不垂直与4的位置关系是相交或异面1f f-7.解：(1);u=(1,1,2),v=(3,2,2)T T f f(2)V u=(0,3,0),v=(0,-5,0)-3 u v/.u/v:.all B(3)V u=(2,3,4),v=(4,2,1)f f二u与V既不共线、也不垂直，.oc与P相交点评：应熟练掌握利用向量共线、垂直的条件。8.解：由于 A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),/.AB=(3,4,0),AC=(-3,0,5)-设平面ABC的法向量为n(x,y,2)则有 n.AB=0且 n,AC=0j-3x+4y=0 x_9 _5即 I3x+5z=0 取 z=i,得 x=y=4T”1于是 口 二（34）广 769I n|=,又 12 20 15 12口-(V769，V769，V769)平面a的单位法向量是9.分析：如图所示，直线,与平面a所成的角就是直线，与它在平面内的射影所71成的角，即/ABO,而在RtABO中，ZABO=2/BAO,又/BAO可以看 作是直线,与平面仪的垂线所成的锐角，这样/BAO就与直线/的方向向量a与 平面勺法向量n的夹角建立了联系，故可借助向量的运算求出/BAO,从而求 出/ABO,得到直线与平面所成的角。-T解：=a 二(1,2,2,),n 二(一i,3,0),I a|=3 I n|=V10-n=5-a-n V10cos=-一-若设直线/与平面a所成的角是。则有 cos0=sin-710cos=-6sin BD=AD-AB=b a i 1 1 1 OG=OC+CG=-(AB+AD)+-CQ=-(a+b)-cT f-一 f T A1O BD=(c+-a+-b)-(b-a)2 2告T 告 告告 T T 1 =c-b-c-a+(b2-a2)21 T T=-(l b|2-|a)二0T T同理AiO,OG=0.AQ_LBD AQ_LOG?V BDnOG=O AQ,人，pD面 GBD 0(a)2(1)证明：如图(b)所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点y(b)设DOa,连结AC,AC交BD于G,连结EGa a依题意得 A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,万，)底面ABCD是正方形.G是此正方形的中心a a故点g的坐标为(2,2,0)T-3：PA二(a,o,-a),EG=(2 5 o,2)，PA=2EG,这表明 PA/EG而EG ae-cf=_1+0+4=3AECF=|AE|CF|cos=V30cos-/30cos=-10V30(2)/EF告 f AE-EF=(0,1,0)2)(0,1,0)=0/.AEEF?过 C 作 CMAE 于 M)则二面角cAEF的大小等于-).M 在 AE 上，设WmAEf 告 告 告则 AM=(m,0,2m),MC=AC-AM=(_25 2,0)(m,0,2m)=(m一2,2,2m),/MCXAE.MGAE 二(m 2,2,-2m)(-1,0,2)=0.m=1.MC=(-|,2,-|)盛|=卓EF MC=(0,1,0).(5,2,5)=04-2+0=2-6 Fc-EFMC=|EF|-|MC|cos=cos 又 5告告 V5cos=3好.二面角cAEF的余弦值的大小为34.分析：因BD/平面EFG,故O到面EFG与BD到面EFG距离相等，证明OM垂直于面EFG即可。解：如图所示，分别以CD、CB、CG所在直线为x、y、z轴建立空间直角 坐标系。易证BD面EFG,设ACCBD=o,EF，面CGH,O到面EFG的距离等于BD到面EFG的距离，过。作OM，HG于M,易证OM，面EFG,可知OM为所求距离。另易知 H(3,3,0),G(0,0,2),O(2,2,0)。设GM=XGH,GH=(3,3,-2)-则 OM=GM-GO=2(332)-(2,2-2)=(3A-2,32-2,-22+2)V OM GH=0.3(32 2)+3(34 2)2(2 24)=0人)一11OM=()11 11 112 VTT即BD到平面EFG的距离等于115(1)证法一：如图(b)所示，以D为原点，DA、DC、DI所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,2),N(万，1,1,),D(0,0,0),A(i,0,i),b(1,1,0),于11是 MN=(2,o,2)o设平面ABD的法向量是k(X,y,力f f则n-DA1=。且n-DB=0 得x+z=0 x+y=0取x=i,得y=Tfz=T,-n=(1,1,-1)1 1T 今 又 MNn=(2,o,2)(1,1,-1)=0?/.MN 11，MN/平面 AiBD 1 3MN=CNgM=CBC1C=-(D1A1-D1D)=-DA1证法二：,/2 2 2 2).MN/DA.MN平面ABD_ _ _ n A/r=Di Ai-DD证法三：.MNGN_CiM 2 1 1 2 11 一 一 1.T=-(DB+BA)-(Di A+AR)-1-1-一=-DB+-BA-D1A1 AQ2 2 2 21 1 1=2 DB+2 DA1+万(B A-DA)-1-一=-DB+-DA1+-BD2 2 21 =-DA1+0DB2 1f f f即MN可用DA1与DB线性表示，故MN与DA】、DB是共面向量)MN/平面 ABD,即 MN平面 ABD(2)证明：由(1)求得平面A】BD的法向量为口二(1,i,1)-同理可求平面BQiC的法向量m=(1,1,-1)m/n，平面ABD/平面BQiC-a/3M7-6(1)证明：.-5C=AC 45=耳,-,0,/.|又荏=y,-y-m,O,AC=m,0,0：.AB=m,AC=m,为正三角形.又荏/=(),KP AA.LAB,同理，441_L平面/8C,从而三棱柱abc44 G是正三棱柱.(2)解：取中点O,连结CO、4。/CO LAB,平面 4BCT平面 4844,C。，平面/刀44,即/C4i。为直线C4与平面4/84所成的第在 RtaG4i。中，CO=Rm,C4=+2co.sin8=，即/845.CA 27.解：(1)取。8的中点，连结。10,则 O.D1OB.平面。8百。平面OAB,平面 OAB.过。作的垂线，垂足为石，连结。1后则 O.E1AB,，石。1为二面角。1一/。的平面角.由题设得oo60Asin(9A4=/=OA2+OB2721/.DE=DBsin OBA=-7,/在 RfA ODE 中，tadDF。尸 J7,.石Oi=arctanJ7,即二面角048。的大小为 arctan 近.(2)以。点为原点，分别以04、。8所在直线为x、y轴，过。点且与平面/O8垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图515.则O(0,0,0),。1(0,1,V3),/(V3 5 0,0),4(百，1,百)，B(0,2,0).设异面直线力与所成的角为应则踵=砺-西=-6,1-6型=赤-西=6-1,回“彳 1COS 比=-=,AXBVOXA 7异面 直线AxB与AOX所成角的大小为arccosy.8.解法一：如图516,以。点为原点建立空间直角坐标系.3由题意，有刀（3,0,。），D（-5 2,4）,设尸（3,0,z）,则而二-：,2,4,OP=35 0,z.、9 9：BDLOP,：.BD-OP=+4=05 z=.2 8：BB _L平面/。8,尸08是。尸与底面/。8所成的角.3 3tanPOB二 一,Z 尸。8=arctan.8 8解法二：取O H中点石，连结。石、BE,如图517,则平面 OBB d,.8石是即在平面d内的射影.又,.，OPLBD.由三垂线定理的逆定理，得。尸_L8石.在矩形O中，易得RtO8尸sRt488石，BP OB/0 9/.=，得跳上一.BrE BB 8（以下同解法一）图 5179.解：(1)如图518,以点/为坐标原点。，以所在直线为。轴，以力4 所在直线为轴，以经过原点且与平面/刀44垂直的直线为Ox轴，建立空间 直角坐标系.由已知，得/(0,0,0),B(0,0),A1(0,0,a),Cx(61,a/26z).(2)坐标系如图，取44的中点”于是有(0,|,V2 a),连/M 有MCX-(一 飞-/0,0),且 AB=(0,a1 0),AAr=(0,05 V2 a)由于必仁森=0,MQ-M=o?所以儿6_1面/881/，/G与所成的角就是/G与侧面ABB.A.所成的角._c _,AC=(-a,一，,AM (0,V2 a),2 2 2-“2 9/.ACl,AM=0+2才=一才.1 4 4而|AC,|=+=V3tz.I AM|=J+2a?=万 q.9q2.-.cos=4 o=.Ma 2 2所以正与而所成的角，即/q与侧面所成的角为30.10.解：记尸(X,尸)，由v(1,0),N(l,0)得丽二一而二(一1一巴 一。，PN=-NP=(1 x,-y),MN=-NM=(2,0)：.MP MN=2(1+x),PM 丽=f+/1,NM-NP=2(1x).于是，MP MN,PM PN,NM 标是公差小于零的等差数列等价 于x2+y2-l=-2(1+x)+2(1-x)l 22(1-%)-2(1+%)0所以，点尸的轨迹是以原点为圆心，行为半径的右半圆.(2)点的坐标为(面，开).PM 尸N二为2十点一 1=2.PM-I 丽尸)(1+/)2 )(1 x)2+y2.PMPN 1 八.COS0=-=j=.tanPM-PB a第三章空间向量与立体几何练习题1.（2001江西、山西、天津理）如图56,以正四棱锥 底面中心。为坐标原点建立空间直角坐标系-刃/，其中Ox/BC,Oyll AB,E为VC的 中点，正四棱锥底面边长为2处高为力.（1）求 cos;（2）记面8CP为*,面。CV为夕，若石。是二面角叱-夕的平面角，定（BED.2.（2001上海春）在长方体/8O-481GR中，点石、尸分别在84、上，且/石，48,AFLA.D.（1）求证：4。，平面AEF;（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或 直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所 成的角与这两个平面所成的角相等.试根据上述定理，在力咫4,40=3,AA.=5时，求平面力与平面D.B.BD所成角的大小.（用反三角函数值表示）3.（2001上海）在棱长为w的正方体。/8 J。Af B d中，石；尸分别是棱AB.8C上的动点，且AE=BE如图58.(1)求证：/Fid E.(2)当三棱锥8 8石F的体积取得最大值时，求二面角8 EJ8的 大小(结果用反三角函数表示)4.(2000上海春，21)四棱锥 A/8CD中，底面/8CD是一个平行四边形，AB=25 1,4,AD=45 2,0?AP=-15 2,-1.(1)求证：4_1底面/88;(2)求四棱锥的体积；(3)对于向量广区，月，4,b=x2,为，4,c=x3,乃，4,定义一种 运算：(a X 6)户王乃马+司为4+为月初玉乃多苞月与一泡为4,试计算(AB X AD)靠的绝对值的值；说明其与四棱锥 X8CD体积的关系，并由此猜想 向量这一运算(而X而)靠的绝对值的几何意义.5.(2000上海，18)如图59所示四面体中，AB、BC、两两互相垂直，且/咫8。=2,石是/C中点异面直线AD与8石所成的角的大小为arccos-,求四面体4BCD的体积.图 59 图 510 图 5116.(2000天津、江西、山西)如图510所示，直三棱柱/印4gG中，乙4=Z5G4=90,棱44尸2,M、N分别是/心、4/的中点.(1)求丽的长；(2)求cos可，函 的值;(3)求证：A.B1QM7.(2000全国理，18)如图511,已知平行六面体的底面是菱形且/GCF=/GCD=/8CD=60.(1)证明：QC1BD;3(2)假定 e2,cq=-5记面JBD为叫面CBD为仇求二面角一产的平面角的余弦值;CD(3)当泮的值为多少时,能使4CT平面QBU?请给出证明.8.(1999上海，20)如图512,在四棱锥lABCD中，底面ABCD 是一直角梯形，ZBAD=90,ADU BC,AB=BC=a,AD=2a,且 PA 工底面4B8,。与底面成30角.(1)若/石，7V9,石为垂足，求证：BELPD(2)求异面直线力石与 8所成角的大小.9.(1995上海，21)如图513在空间直角坐标系中80=2,原点。是V3 1BC的中点，点/的坐标是(，。)，点。在平面yOz上，且/BDC=90,/DC8=30.(1)求向量的坐标;(2)设向量和6C的夹角为已求cos9的值.10.(2009年福建理7)设m,n是平面a内的两条不同直线，心是平面用内的两条相交直线，则a/月的一个充分而不必要条件是A.m/3 且 1/a B.m/1 且 n/12C.m/0且 n 4 D.m 且 n11.(2009年辽宁理11)正六棱锥P-ABCDEF中，G为四的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥2G力C体积之比为(A)1:1(B)1:2(C)2:1(D)3:212.(2009年浙江理5)在三棱柱ABC-中，各棱长相等，侧接垂直于底面，点。是侧面64G。的中心，则AD与平面所成角的大小是()A.30 B.45 C.60 D.9013.(2007年海南理12)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个 四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与 各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为九，4，J则九：生/=()A.6：1:1 B.6：2:2 C.石：2:应 D.尽2：6EBA14.（2010年全国理18）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB CD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD中点（1）证明：PE1BC（2）若NAPB=NADB=60,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值15.（2010年北京理16）（本小题共14分）如图，正方形和四边形为GEF所在的平面互相垂直，CEAC,EF IIAC,AB=后，CE=EF=L 瓦（I）求证：AF/I 平面 BDE-,（n）求证：CF，平面瓦?石二3（田）求二面角48石。的大小。J16.（2010年浙江理20）（本题满分15分）如图，在矩形ABC。中，点只厂分别在线段A民A。上，2AE=B=Ab=尸。=4.沿直线尸将 VA石尸翻折成 NA EF,使平面4石平面HEF.（I）求二面角AFD C的余弦值；（n）点M,N分别在线段ED,BC上，若沿直线MN将四边形NCD向上翻折，使。与4重合，求线段的长。17,（2009年山东理18）（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形,AB/CD,18.（2009年福建理17）（13分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD,NB_L 平面ABCD,JL MD=NB=1,E 为 BC 的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值在线段AN上是否存在点S,使得ESI平面AMN?若存在，求线段AS的长;若不存在，请说明理由19.(2009年辽宁理18)(本小题满分12分)C EF如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平M,N分别为AB,DF的中点。B(1)若平面ABCD，平面DCEF,求直线MN与平面D所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。20.(2009年浙江理20)(本题满分15分)如图，平面PAC，平面ABC,AA5C是以AC为斜边的等腰直角三角形,。分别为 P4,PB,AC 的中点，AC=16PA=PC=10.(I)设G是OC的中点，证明：方G/平面8。石；(II)证明：在AA3。内存在一点M,使b平面并求点M到。A,OB 的距离.21.（2009年上海理19）（本题满分14分）如图，在直三棱柱zrc44G中，a4=bc=钻=2,求二面角旦a。G的大小。22.（2008年山东理20）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥尸A6CD,底面ABC。为菱形，P4JL平面ABC。，ZABC=6Q,E,尸分别是6G PC的中点.（I）证明：AELPD-（n）若为尸。上的动点，与平面。所成最大角的正切值为白，求二面角石A方-C的余弦值.23.（2008 年江苏 22）记动点尸是棱长为1的正方体的对角线3,上一点，记D Pq=4.当NAPC为钝角时，求2的取值范围.D.BBDEA24.（2007年海南理18）（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC中，侧面S4B与侧面 均为等边三角形，NR4c=90。，。为中（I）证明：SO,平面A8C;（E）求二面角A SC 5的余弦值.空间向量与立体几何练习题答案1.解：（1）由题意知 8（。，0）,C（一处 0）,D（一 a）一 a,0）,.由此得,BE=(-y-|,|),DE=(|,y,|)-,3a a、z a 3ax h h 3a2 h2/.BE-DE=(-)+(-)+-=-+，2 2 2 2 2 2 2 4I be 1=1 DE=(-y)2+(-|)2+(j)2=1710fl2+/z2.由向量的数量积公式有3a2 h2,(,-1=野旺-BE DE l/lOa2+/z2.-7106z2+/z2 2 2-6a2-h2 10a2+A2（2）若石。是二面角bVCr的平面角，则5ECV,则有5石，CV=0.3 CL CL h又由。(一许知0),砥 0,0,力)，有 CV=(a)，力)且 BE=,7-77 32 a2 h2 0.BE CV=-+=0.2 2 2即h=后许这时有;6a2+h2 6a2+(V2a)2 1cos=-=-厂 1=，10/+/10a2+(V2a)2 3 1 1/.Z BED=arccos()=arccos 评述：本小题主要考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及 两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.2.(1)证明：因为平面所以/4在平面/超上的射影为4A由力，/石，/石u平面/,#A.C1AE,同理可证4CT/E因为 4CT/?,A.CLAE,所以4UL平面AER(2)解：过/作M的垂线交。于G,因为D.DLAG,所以/GL 平面 D.B.BD,设/G与/4所成的角为处则即为平面/方与平面R4 M 所 成的角.9由已知,计算得以二9如图519建立直角坐标系，则得点/(0,0,0),G(“3,。)，4(0,0,5),C(4,3,0).9/G=“3,0,4。=4,3,5).因为力G与40所成的角为应所以cos比二AGA.C _1272AG-A1C 2512V2,a=arccos-25i F)由定理知，平面/石尸与平面R4瓦?所成角的大小为arccos 占.注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角.解法一：设力G与瓦？交于 M 则 4WL面再作/万，石尸交石户 于N 连至MN,则/7W即为面/后与R4M所成的角沏用平面几何的知 识可求出AM./N的长度.解法二：用面积射影定理cos打二守也.AAEF评述：立体几何考查的重点有三个：一是空间线面位置关系的判定；二是角与距离的计算；三是多面体与旋转体中的计算.3.建立坐标系,如图520.(1)证明：设 AE=BF=x,则/一X)0),d(0,。，)，石(a,X)0)/.AfF x,a,一口,CE=,xa)z.Ab-CE=xa+a(xw)+才=0力Fid E(2)解：设瓦三汽则石Frx三棱锥笈一8石F的体积1/、a a 2 1 3V=一x(a-x)&W 一(一)=-a6 6 2 24当且仅当时，等号成立.2因此，三棱锥笈 一8七F的体积取得最大值时8石二84色，过8作2于。，连H D,可知8 D_EF.：.A B 8是二面角笈一石的平面角在直角三角形8 中，直角边巫二8/三色，瓦?是斜边上的高.瓦k 匚22 4，BB c 尻/.tanB DB=二212BD故二面角8一七-8的大小为arctan2 J5.评述：本题考查空间向量的表示、运算及两向量垂直的充要条件二次函数 求最值或均值不等式求最值，二面角等知识.考查学生的空间想象能力和运算能 力.用空间向量的观点处理立体几何中的线面关系，把几何问题代数化，降低了 立体几何的难度.本题考查的线线垂直等价于/r=0,使问题很容易得到 解决.而体积的最值除用均值不等式外亦可用二次函数求最值的方法处理.二面角 的平面角的找法是典型的三垂线定理找平面角的方法，计算较简单，有一定的思 维量.4.(1)证明：-/AP-AB=-2-2+4=0,J.APLAB.又 AP AD=4+4+0=0,J.APLAD.AB.40是底面/反力上的两条相交直线，底面/8S（2）解：设Q与通的夹角为仇则丁 丽.砺 _ 8-2 _ 38s-|AB|AD|-74+1+16-716+4-V105V=AB|AD|-sin0-|AP|=|V105-l|-71+4+1=16（3）解：|（砺 X 而）AP|=|-4-32-4-8|=48 它是四棱锥 A-/8CD 体积的3倍.猜测：|（荏X 诟）靠|在几何上可表示以AB.AD./尸为棱的平行 六面体的体积（或以/8、AD.力尸为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直 的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公 式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象 能力.5.解：如图521建立空间直角坐标系由题意，有/（。，2,0）、C（2,0）图 521设。点的坐标为（0,0,幻（z0）则族二1,1,0,AD=05 一2,4，设屉与诟所成角为”则AD BE-a/2,JZTcos0=2,且与8石所成的角的大小为arccos./.cos2=-?故|瓦?|的 长度为 4.10 4+z2 101 8 8又匕广:1/回义国。18。=，因此，四面体力灰刀的体积为不 6 3 3评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具,利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便.6.解：如图522,建立空间直角坐标系A*(1)依题意得右0)、N(1,0,1)：.BN|=7(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=V3.(2)依题意得 4(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、g(0,1,2)BA=-15 1,2,西二0,1,2,可西=3,|可|=V6,CBX|=V5/.cos=熹.蒜二:同，证明：依题意，得 G(0,0,2)、2),港二 1,1,2,7 1 1CiM=2，卜 1 1.A.B,CM I+0=01 2 2：.AXBLQM,评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂 直的充要条件.7.(1)证明：设 CB=a,CD=b,CCr=c,则|z|二|6|,BD=CDCB=bBD,CC (b一z),ub,c一a,c=|Z|,|c|cos60 一a(c cos60=0,：.CXCLBD,(2)解：连/G BD.设/enaKO,连OG,则/G。为二面角 一产的平面角.-1-1-1.CO=-(BC+CD)=-(+6),C1O=CO-CCi=-(a+b)c 2 2 2 1 1/.CO,C.0 (z+6),(z+b)c 2 2=(才+2w Z?+Z?2)a.,c b-c 4 2 21 13 13 3=(4+2 2 2cos60+4)-2,cos60-2,cos60=.4 2 2 2 2 2则 I 而1=6,I*1=3,/.cos q oc=2 ICOMGOI 3CD 2(3)解：设77=x，。=2,则 CQ=.亚a平面/4GG J.BDLA.C只须求满足：彳二0即可.设 AA二处 AD-b,DC-c.A】。r+b+c,CXD ac,4 2 2 4A。C1D (w+6+c)(wc)=才+习b-b C-d-H-6,令 6-2=0,得=1或x=一(舍去).评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.8.(1)证明：:如，平面 ABCD.J.PALAB,又 平面 PAD.又.AE1PD,:么?，平面 48万，板 BELPD.(2)解：以/为原点，AB.AD./尸所在直线为坐标轴，建立空间直角坐 标系，则点G。的坐标分别为(a,a,0),(0,2a,0).TML平面ABCD,/ACM是与底面/8CD所成的角，/DA=30于是，在Rt4EZ9中，由/氏2/得/石二2过石作加工/。，垂足为反 a2在RtAAFE中，由AE=a,/石力片60,得AF=V3,z 1 V3EF=-a).石(0,Cl,-2 2 2a)1 V3 于是，AE=o,5，3“,a)=多%o)、AF CD设与CD的夹角为伍则由cos 一 一|AE|.|CD|0-(-a)+-6i-a+a-0 2 2V202+(g a)2+(与 a)2 飞(-of+42+0272 72/.0=arccos-,即/石与CZ?所成角的大小为arccos-.4 4评述：第(2)小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两 异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.9.解：(1)过。作刀石上右。,垂足为石，在中，由/瓦为90 DCB=30,BC=2,得 AD=1,CD=43,J.DECD-sin30=.2o 1 1OE=OB-BE=OB-BD-cos60=1=-.2 21 V3 1 V3点坐标为(。，-即向量。qtxt的坐标为o,一，飞-)，(2)依题意：OA=-,0,OB=0,-1,0,OC=0,1,0,所以 AD=OD-OA=三1,寸,BC=OC-OB=0,2,0.设向量标和丽的夹角为仇则ADBC _x0+(-l)x2+fx0cos/9=；-=/=-|AD|.|BC|6/2(C、2 届。2 八2J(-)+(-1)+()-a/0+2+0=-a/10.10.【答案】：B解析若就i，/2，m.ua，4几uQ,则可得名夕.若a分则存在 4 c%,m/2，4ii.c解析:连接FC、AD、BE,设正六边形的中心为。,则 GH/PO,.,平面 GAC,平面 ABCDEF连接AC与OB相交点H,故GH 平面ABCDEF,AB又 DC，AC,BHXAC,DC，平面 GAC,BHJ_平面 GAC,JLDC=2BH?故三棱锥。-G/。与三棱锥尸-G/e体积之比为2：io12.C【解析】取BC的中点E,则A石，面/.AELDE,因此4。与平面34cle所成角即为44DE,设A5=，则人石=由a,DE=.即有 2 2tan ZADE=百,/.ZADE=6013.【答案】：B【分析】：如图，设正三棱锥尸-A5E的各棱长为。，则四棱锥ABCD的各棱长也为“，.h:h2:h=j3:2:2.14.解：以为原点，HA,HB,HP分别为1,y,z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(l,0,0),5(0,1,0)1 m(I)设 C(m,0,0),P(0,0,n)(m 0,0)则 D(。中,丐 夕，-1-可得 PE=(3 j/BC,m-(因为尸/30=5 5+0=0 所以PEL(n)由已知条件可得m=当,n八故C(今 0,0)DQ,O),eJ,O),PQ,0,1)设 n=(%,%)为平面 的法向量 3 2 6曜 H 层(-x-y=0则 一 即6 因此可以取=(1,/6),四H氏/z=0由 PA=(l,0,l),可得 cg&PA$=所以直线与平面曲所成角的正弦值为日15.证明：(I)设 AC 与 BD 交于点 G,因为 EF/AG,JL EF=1 5 AG=2 AC=1?所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF II EGo因为EGup平面BDE.AF平面BDE,所以AF/平面BDE。(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE_LAC,所以CELAC,所以CE,平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xy20则C(0,0,0),A(应，6，0),D(行，0,0),E(0,0,1),Xa/2 a/2 正正F(2,2,1)。所以 C尸二(2,2,i),BE=(,6,),DE=(一企，0,1)。所以 尸 5E=0-1+1=05 CF.DE=_ i+o+1=0 o所以 CF_LBE,CFDE?所以 CF_L平面 BDE72 72(III)由(II)知，C尸二(2,2,1),是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量二(x,y,z),则几胡二0,n.BE=0o(x,y,z)(，(),0)=0-/二所以CDdAE,ABCD为平行四边形，所以CFi/aB；又因为E、E1分别是棱AD、AA的中点，所以所以CF/EE1,又因为石耳0平面FCJ,C耳u平面F依二FB所以直线EE/平面FCC(2)因为 AB=4,BC=CD=2,、F 是棱 AB 的中点，所以 BF=BC=CF,ABCF 为正 三角形，取CF的中点O,则OB CF,又因为直四棱柱ABCD-A】B1C1D】中,CC J平面ABCD,所以CCJBO,所以OB，平面CQF,过O在平面CCtF内作OPLQF,垂足为P,连接BP,则/OPB为二面角B-FCC的一个平面角，在ABCF为正三角 形中,OB=C，在 Rt CCtF 中,OPF s CQF,/2_=CC、CFOP=xT，a/2OP 3 布甑 而=而=所RtAOPF 中,BP=OP2+OB2=J.+3=4,cosNOPB，则 D(0,0,0),A(a/3,-1,0),F(a/3,1,0),C(0,2,0),G(0,2,2),E；,0)，旦(a/3,-1,1)，所以叫=(,-：/)，CF=(6,1,0),乙 乙 乙 乙L。尸=0C=(0,0,2)FG=(真/,2)设平面CQF的法向量为=(羽y,z)则nCCx=0所以瓜y=0取;(1,百,0),则nEE=立义 义6+xa=a,所以n工EE,z=0 2 2所以直线EE/平面FCC“FB=O(2)EB=(0,2,0),设平面BFG的法向量为=(石,乂*3则 所以%尸g=o l ,取4=(2,0,/!),则 =2x1 a/5xO+Oxa/5=2,_,3%+%+22=0|=Jl+(占)2=2,|=,22+0+(退)2=#,所以3$%=24=二也,由图可知二面角B-FCrC为锐角，所以二面|2x/7 7角B-FCrC的余弦值为字.18.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得 D(0,0,0)A(l,0,0)M。0,1),C(O,1,0),8(1,1,0),N(l,1,1),E(1,1,0)。回cos=NE AMNExAM 10所以异面直线N与AM所成角的余弦值为少.A(2)假设在线段AN上存在点S,使得平面AMN.A7V=(0,1,1),可设 AS=AAN=(0,4 2),又 EA=g,1,0),，ES=EA+AS=(1,2-1,2).r f 1t 用 ES AM=Q.+2=由平面AMN,得1 即1 2ES AN=。,(2-l)+2=0.故 X=此时 AS=(0,；,；),|AS|=1.经检验，当 AS=暂时，ESlAMN.故线段AN上存在点S,使得平面AMN,此时AS=#.19.解：解法一：取。的中点G,连结MG,NG,设正方形48CD,ACEF的边长为2,则 MG LCD,MG=2,NG二垃,.因为平面平面DCEF,所以MGJ_平面DCEF o可得/MVG是MN与平面QCEF所成的角因为MN二庭,所以sinNVNG=g,故MN与平面79GEF所成的角的正弦值为与 解法二:设正方形/8C。，ACEF的边长为2,以。为坐标原点，分别以射线C DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则 M(l,0,2),N(0,1,0),可得MV=(1,L2),又94=(0,0,2)为平面ACM的法向量，一，曰“入1 MN DA 面可得 cos=-=-，MNDA 3所以MN与平面。所所成的角的正弦值为逅.假设直线上应与AV共面,则/8u平面儿om,且平面儿。m与平面 ache交于由已知，两正方形不共面，故/ax平面。CEF.又ABII C。,所以/8/平面DCEF,而石改为平面儿匹V与平面。石户的交线，所以ABH EN,ABH CDH EF.柝以ENII EF,这与EVA石尸二石矛盾，故假 设不成立.所以儿应与8N不共面，它们是异面直线.20.证明：(I)如图，连结OP,以。为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直 线为x轴，y轴，2轴，建立空间直角坐标系。-xyz,则 0(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(05-453),F(4,0,3),由题意 得，G(0,4,因08=(8,0,0),OE=(0,T,3),因此平面BOE的法向量为 71=(0,3,S方G=(T,4,3得72尸G=0,又直线尸G不在平面6。内，因此有 尸G/平面30E(