新课标人教A版高中数学：三角函数课件 必修1.2.2 同角的三角函数基本关系式.pdf

J.com if学习本节的目的要求:(1)能根据三角函数的定义导出同角三角 函数基本关系式.(2)正确运用基本关系式进行三角函数式 的求值运算.重点:公式：sin2 a+cos2 a=1sin acos a=tan%tan a-cot a=1的推导及应用难点：根据角a终边所在象限求出三角函数值.复习与回顾1.任意角的三角函数的定义设。是一个任意角，。的终边上任意点P(x,y)(除端点外),它与原点、的距离是r(r=J|x+|y-卜2+了2 0),那么:y_Xsin1=r;(2)cos er=r；(3)tan=;(4)cot o=y_;r r(5)seccr=x;(6)csca=_y_.2.三角函数的定义域三角函教定义域sinaRcos aRtana71aa e A且cr w be Z _2_cot aaa e KjLa w k 兀,k e Zseca71aa e RJLa w bkjik e Z _2_ _cscaaa e A且 a w k 兀）k e Z3.三角函数值的符号y+dyy+十XXXsinacscacos asecatanacot ay sin。csca记忆全正tan/cos a”4.特殊角的三角函数值角。的度数0 300 45角a的弧度数071 兀7 4sina 0180 270360713%21710-10-1010不 存在0不 存在啾不 存在问题探究（一）l.sin2 90+cos2 90;2.sin2 30+cos2 30;3.tan 45 cot 45;,5兀 5乃4.tan cot.6 6问题：如果把上面具体的数据攵为一般角总有同样的结果噪sin2 a+cos2 a=1 称为平方关系tan a cot a=l.称为倒数关系问题探究(二)请同学们继续退里三蒯数的定义探索：山见阳口心口三者之间是否有什么?sincr y x y r y-=一+=2*一=一=tan acos a r r r x x角渥否可以是任意角时上式都成立呢？当 er w k兀+(k e Z)时,疝=tancr成立.2 cos a称为商数关系sincr=tana同角三角函数基本关系式:称为平方关系称为倒数关系称为商数关系1.“同角”的概念与角的表达形式无关.如:s-3 os2 3a=l;ta喙 co.=.3asin。2 4 3a-二 tan 1 3a 25 cos22.三种关系式（公式）都必须左定义臧允许的范囹内成立.3.对于同一个角。的sin戊、cos。、tana、cot。可以利用上三种基本、关系式知一求三八小基本训练题分析：找与题设条件最接近关式：sin2 cif+cos2 cr=1,故cos。的值最余易求彳号在 求cos。时需要开方运算因此 应根据角戊的所在象F艮确定cos。的符号.对于tano=-的负号，是根据商教关系直接睁后的结果不需要根据的二是第二象F艮角来事先唳.思路：我最接近题设的基本彩;只有应用平方关系才才酶 鱼的象F艮来确定开方蟠号;应用商教关冢 倒教关系时不 需要确定符号由运算自然得到符号基本训练题分析：根据已知的三角函数信来确定角所在的象限 再分象F艮来求值C0S6Z cos2 a(l+tan2 a)=l从解决例3的过程中发现:基本关系式的等价形 如把sin?a+cos2 a=1等价变形为 sin2 a=1-cos2 夕或cos,a=1-sin2 a.,sincif/,/4巴-二tan a变 形 为sin a=cos a tan a.cos a才巴 tan a cot a=1 变 形 为 tan a=等.cot a它们的应用也极为广泛因此,对于同角基本关系式有三用:从解决例3的过程中发现:如sec2 a=1+tan2 cr;csc2 a=1+cot2 a.4=sino-csca=l;cos6z-s&ca=1;同角基本关系式的推广cos a sincr=cot a.平方关系sin2 cr+tan2 a-sec2 er-tan2 a=1 esc2 cot2 a=1倒数关系tan a cot a=1sin or csca=1cossec。=1商数关系 sin。-=tan aCOSdfCOSdf-=cot a sincr小结同角“同角”的概念与角的表达形式无关.(2)三种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立.解题的步骤:先确定角的终边住置，再根据基本关系式 求值.若已知正弦或余弦，则先用平方关心再用其他关系 求值;若已知正切或余切，则可构造方程组求值.(2)在求值时，要注意这个角的终边所在住置，从而出现一 组或二组或团组(以两组的形式给出)结果.同角三角函数基本关 系式的记忆方法sina cos a1.倒三角形上两角数的平 方等于下角数的平方.2.实线的端点数的乘积等tanasecacscacot a于中间数3.虚线的端点数的乘积等于中间数WWW/COE学习本节的目的要求：(1)正确运用基本关系式进行三角函数式的 求值、化简.(2)了解一些三角变形的基本技巧.重点：同角三角函数的关系式及其变式的应用.难点：如何灵活的正用、逆用、变用、活用公式.复习与回顾1.说出同角三角函数有哪些基本关系？2.请同学们快速写出平方关系、商数关系、倒数 关系？3.这些同角三角函数基本关系中，公式中的a角 是不是取任意角？4.4.已知sin。=，求cos海口 tan。的值.5.已知tan。=m(m w 0求畿的其他三角函数值同角三角函数基本关 系式的记忆方法sina cos a1.倒三角形上两角数的平 方等于下角数的平方.2.实线的端点数的乘积等tanasecacscacot a于中间数3.虚线的端点数的乘积等于中间数.、一例 1.化简:VI-sin2 440练习：71-sin2 4例2.化简：csca-1练习:教材尸286-sin acsca+1分析：“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成 为完全平方式,注意到同角三角函数的平方关系式,利用分 式的性质可以达到目标.1+sina1-sincrcsca-1 csca+12 sin a|cos a|2 tan a（戊在第一、第四象则）在第二、第三象限时）能力训练(化简)例3.化简：正痴sinlO-Vl-sin210即10。I 2 叫 10。苣 二-f I-WWIOSIO。2PJJ0。CO2J0。zpjjo。CO2J0。【（2910。CO2I0）-Rpho。CO2I0。）L如可用sin,a+COs2 a,sec2 a-tan2 oc）a,sin a-csca,cosa-seca,tena-cot。等关于化简化简后的简单三角的教式应尽量满足以下几点：所含的三角函数种类最少;(2)能求值的尽量求值;(3)结果的嘱藏睥FT题4.古屋5题 产能力训练(求值)例4.已知sin。=2cos%求:/八 sino 4cos。(1)-;-；5sma+2 cos a(2)sin2 a+2sina cos a;(3)sin a-cos。的值.5回W赳黑叟小?田口 篁2卬 H+CO2 X 2pi H-CO2 CT 2卬 H CO?H三型(8IU D-CO2 Ck)3=I-3 冲 H CO2能力训练(求值)但6.已知sin 0+cos 0=(0 0%),求(1)tan a(2)sin3 0-cos3 9的值.2卬6+C023=。2 3）（1+2卬382 3）W3CO23 不也”还由营反雷塞3 七音co23 o=构造方程段可求出dn毋口cos8.一 毛2!口 C020 q-(2!2小 一 co2H)s=I I n2!u=?丽3=-加寸2WS+C。为=：J(2IU H-CO2 H)(l+2pj H C02 H)自、坦孝翻*6 co%呻m芈5芋(e2OO0nia I)(eaoo+Bni2)=0 6203+0 eni(I)-V=（V-r）-rdV-r）=.V-I=由亩？=0200+Sfiial网去舍Si+i=ft）V-I=口eO=1-口，一.e02（n 0fiia+I=（0a（n+0flia），4 二 02oo+0nia 一 口、心.卜且法 口侨末0 由4=020。弋由2 J至林某西琳二束谿巡回期实呈点穴二云一港茶实以也：而代 里壬瑟I丰赛琳干齐勒关疆本土职需及里壬宝丝羊呗囿由大合.来飕突出荥搦二关媛函由三一同禾基）/，+夕口再（乙）W SOC+e 1!（1）芈（y嘀取阅o=+，一乙阳旦即旺韶。3，叱3zh6（同举）物鹏“翡能力训练（求值）伊|8已 矢口 sing=9m+5 m+56是第四象限角求tan，的值.坦中曼黑矢当附回学 J里：甲2叫S+CO%0sin2 3+cos2 0=1.化简，整理得：皿小-当所=0时,sin夕=49co51.化“切”为弦，化弦 为“切吴，回w赳忠堂，生浏狂篁2卬H+C02 QC 2卬H（咿小 一 co2H）s=i 32pm-co2h02 H三32呈出弓曲：（2卬co4.化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点:之角函数种类最少；（4comn能力检测例：已知方程2x?(V3+l)x+m=0 的两个根分别是sin。、cos 0m e R).-sin。cosd aj i上求-+-的值1-cot 3 1-tan 0答案:苧I 累累J.comn学习本节的目的要求：(1)正确运用基本关系式进行三角函数式的 证明.(2)了解一些三角变形的基本技巧.重点：同角三角函数的关系式及其变式的应用.难点：如何灵活的正用、逆用、变用、活用公式.4.4同角三角胸剧的基冷关系式（3）能力训练教材P265（自学）邮:也证法一：依据相等关系的传递性从等式的一边开始 证明它等于另一边证明时一般遵循由繁至简的原则 本证法还运用了分式白露本性质.证法二（综合法）、证法三（分析法）：依据价转化思想 证明与原式等价的另 T 子成立从而推出原式成立 证法二运用算式的基潮生质.证法三运用了基本性质=0今。=这一性质在以后的证脚会经常用到.nl-sinx w依据相等关系的传递性从等式的一边开始证明 它等于另一边证明时一般遵循由繁至简的原则(2)依据“等于同量的两个量相等，证明左、右两边等 于同一个式子(3)依据价转化思想证明与原式等价的另 F 子成立 从而推出原式成立这种方法对应着两具体勺方法：综合法：先证c=成立，再证c=d与a=力等价，由此可 知a=力成立.分析法：要证=8只要证c=血，因为c=成立，可成立.能力训练例2.求证：sin之 tan+cos2 Ocot0+Isincos=tan 0+cot 0cos 0 e证月：一边=sin 0-+cos 0-+2sincos6cos 6 sin。_ sin4 0+cos4 0+2sin2 6cos2 0sin cos_(sin2 0+cos2 6)2 _ 1sin 0 cos 0 sin 0 cos 0cin Q Q in2 Q-k rnc2 Q 1力训例 3 已知：sino+力 cos。=朋,tano+seco=a.2.2求证a sin a+b cos a=m(1)b sin a-a cos a=n(2)+/、/、/日 am+bn mb-an由(1)(2)传 sma=-,cos a=-,代入到sin2 a+cos2 a 得(字以十洲二年a2+b2 a2+b2)2=1整理，得/+62 m1+n2.*W W W杓是一种通法,而证法二则;题还有vr能力训练-cB+tan B+seep-tanp=see.+tan.分析二：先切割化弦再由cos?0=l-sin26出发来证分析四：利用基本性质-A=0 o =b”.拓展题_ x=sm0+cos3?阳x表不八 八.=tan，+cot，2.二 C sin or=2sin/3na=3 tan,求 cos a.3.已知Jl+sfam _ lcsca-1=_2tan%试确定等 v 1-sina v csccr+1式成立的角戊的集合.J.com n心给依据相等关系的传递性从等式的一边开始证明 它等于另一边证明时一般遵循由繁至简的原则(2)依据“等于同量的两个量相等，证明左、右两边等 于同一个式子(3)依据价转化思想证明与原式等价的另 F 子成立 从而推出原式成立这种方法对应着两具体勺方法：综合法：先证C=成立，再证C=与(知a=力成立.分析法:要证=只要证c=心U j 知a=成立.，0=力等价,由此可为。/成U,可