数学课件 第九章 解析几何 9.1 直线的方程.pdf

第九章解析几何 9.1 直线的方程基础知识自主学习要点梳理1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线1与X轴相 交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与百 线/负向方向之间所成的角a叫做直线I的倾 斜角.当直线/与x轴平行或重合时，规定 它的倾斜角为倾斜角的范围为18年直线的斜率定义：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这 条直线的斜率，斜率常用小写字母左表示，即 k=小,倾斜角是90。的直线斜率不存在.过两点的直线的斜率公式经过两点尸1（X1，%）,尸2但，歹2）（修力切）的直线 人2 f的斜率公式为一应一片.2.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y)/1=恤一看)不含垂直于X轴 的直线斜截式y=Ax+b不含垂直于X轴 的直线两点式,一乃 _X Xi不含直线X=X1(%1 W、2)和直线 y=yi(yiy2)及一乃历Xl截距式-+1=1 a b_不含垂直于 坐标轴和过 原点的直线一式-x+5y+C=0(f+two)平面直角坐 标系内的直 线都适用3.过尸i(Xi，刃)，尸2(%2,歹2)的直线方程(1)若1=%2，且%壬P2时，直线垂直于X轴,方程为X=刘;(2)若的力%2，且为=为时，直线垂直于y轴,方程为y=X；(3)若X1=%2=0且y 1 w”日寸，直线即为歹轴,方程为产0;(4)若XWx2，且y=竺=0日寸，直线即为x 轴，方程为产.4.线段的中点坐标公式若点尸1尸2的坐标分别为（%1，乃）、（、2，2），且线段PR的中点的坐标为（X,）,则 BP 2x-3y=0.若20,则设/的方程为I,3 2/过点(3,2),工+厂1,：.a=5，/的方程为x+y-5=0,综上可知，直线/的方程为2x-3歹=0或x+y-5=0.方法二 由题意，所求直线的斜率k存在且 20,设直线方程为y-2=k(x-3),2令 y=0,得 x=3-7,令 x=0，得y=2-3k,2 2由已知3-广2-3左，解得k=-1或左=,直线/的方程为：y-2=-(x-3)或-2=|(x-3),即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.设所求直线的斜率为k，依题意k=-1o),点尸(3,2)代入得+1 1,解得公总;a u -3e 1 a 9(Q3),贝!SAOB=ab=；=(6Z-3)+;乙 q-3 a-39+6N12，当且仅当a-3=即q=6时等 a-3号成立，这时b=4,从而所求直线方程为方+4=1,BP 2x+3y-12=0.探究提高求直线方程最常用的方法是待定 系数法，本题所要求的直线过定点，设直线方 程的点斜式，由另一条件确定斜率，思路顺理 成章，而方法一和方法二联系已知条件与相关 知识，新颖独特，需要较高的逻辑思维能力和 分析问题、解决问题的能力.变式训练3已知直线/经过点尸（一5,-4）,且 与两坐标轴围成的三角形面积为5,求直线 I的方程.解 由题意知直线不过原点，且与两坐标轴都相交,可设直线I的方程为?1,wT CZ,直线/过点尸（一5,-4）,-5-4+r=L 艮J7 4。+5b=-ab.a b又由已知有3间创=5,即|丽=10,八 4a+5b=-ab,/a=一 不 解方程组心S 得 2 或M=10 b=4r4=5,b=-2.故所求直线I的方程为+1或11.2 4 J Z2即 8x-5y+20=0 或 2x-5y-10=0.思想与方法13.求直线方程时，要根据斜率存在与否进行 分类讨论试题：（12分）在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD 边分别在 工 轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合.将 矩形折叠，使4点落在线。上.若折痕所在 直线的斜率为左，试写出折痕所在直线的方程.审题视角（1）题目已告诉直线斜率为k,即斜 率存在.（2）从题意上看，斜率A可以为0,也 可以不为3所以要分类讨论.规范解答解(1)当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y=：2 乙分当kWO时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1),4分所以A与G关于折痕所在的直线对称，有 1ag k=-1,-k=-1 0a=-k.6 分a故G点坐标为G(-k,1),从而折痕所在的直线与AG的交点坐标(线段AG的中点)为M 1.8分I 2,2J折痕所在的直线方程为y-1=kx+_,k2 1 I 少y=kx+10 分乙 乙1 k2 1，k=0 时,y=-;kWO 时，y=kx+12 分批阅笔记(1)求直线方程时，要考虑对斜率 是否存在、截距相等时是否为零以及相关位 置关系进行分类讨论.(2)本题是对斜率k为0和不为0进行分类讨 论.易错点是忽略左=0的情况.思想方法感悟提高方法与技巧1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率 y2yi公式：k=,该公式与两点顺序无关，已知两点坐标（x】Wx2）x2 X1时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当X1=X2,内2 时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90。.2.求斜率可用k=tana（a 790。）,其中a为倾斜角，由此可 见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段,90是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”.3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方 程中的系数，这种方法叫待定系数法.失误与防范1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存 在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条 直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的 范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.利用一般式方程Ax+By+C-0求它的方向 向量为（-B,/）不可记错，但同时注意方向 向量是不唯一的.返回