常微分方程22解的存在唯一性定理.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2,解存在唯一性定理和逐步迫近法,/Existence&Uniqueness Theorem&Progressive Method/,1/37,概念和定义,存在唯一性定理,内容提要,/Constant Abstract/,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,2/37,本节要求,/Requirements/,掌握,逐步迫近,方法本思想,深刻了解解存在唯一性定理条件与结论,2.2 E,xistence&Uniqueness TheoremProgressive Method,3/37,一 、概念与定义,/Concept and Definition/,1.,一阶方程初值问题,(Cauchy problem),表示,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,4/37,2.,利普希兹条件,函数,称为在矩形域,:,(3.1.5),关于,y,满足,利普希兹,(Lipschitz),条件,，假如存在常数,L,0,使得不等式,对全部,都成立。,L,称为利普希兹常数。,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,5/37,二 、存在唯一性定理,定理,1,假如,f,(,x,y,),在,R,上连续且,关于,y,满足利普希兹条件,则方程,(3.1.1),存在唯一连续解,定义在区间,且满足初始条件,这里,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,6/37,定理,1,证实,需要证实五个命题,：,命题,1,求解微分方程初值问题等价于,求解一个积分方程,命题,2,结构一个连续逐步迫近序列,命题,3,证实此逐步迫近序列一致收敛,命题,4,证实此收敛极限函数为所求,初值问题解,命题,5,证实唯一性,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,7/37,定理,1,证实,命题,1,设,是初值问题,解充要条件是,是积分方程,(3.1.6),定义于,上连续解。,证实,:,微分方程初值问题解满足积分方程（,3.1.6,）。,积分方程（,3.1.6,）连续解是微分方程初值问题解。,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,8/37,证 明,因为,是方程,(3.1.1),解，故有,:,两边从,积分得到,:,把,(3.1.2),代入上式,即有,:,所以,是积分方程在,上连续解,.,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,9/37,反之，假如,是,(3.1.6),连续解，则有：,(3.1.8),微分之，得到,:,又把,代入,(3.1.8),，得到,:,所以，,是方程,(3.1.1),定义于,上，且满足初始条件,(3.1.2),解。,命题,1,证毕,.,同理，可证在,也成立。,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,10/37,现在取,，结构皮卡逐步迫近函数序列以下,:,2.2E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,11/37,x,y,o,x,0,x,0,+a,x,0,-a,y,0,y,0,-b,y,0,+b,x,0,-h,x,0,+h,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,12/37,命题,2,对于全部,(3.1.9),中函数,在,上有定义、连续，即满足不等式,:,证 明,:,（只在正半区间来证实，另半区间证实类似）,当,n,=1,时,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,13/37,即命题,2,当,n,=1,时成立。,现在用数学归纳法证实对于任何正整数,n,，命题,2,都成立。,即 当,n=k,时，,在,也就是满足不等式,在,上有定义,连续,上有定义，连续，,而当,n=k+,1,时，,上有定义，连续。,在,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,14/37,即命题在,n=k,时,也成立。,由数学归纳法得知命题对于,全部,n,均成立。,命题,在,上是一致收敛。,命题证毕,函数序列,考虑级数,:,它部分和为：,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,15/37,为此，进行以下预计，由逐步迫近序列,(3.1.9),有,:,2.2E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,16/37,设对于正整数,n,不等式,成立，,于是，由数学归纳法得到：对于全部正整数,k,，有以下预计,:,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,17/37,由此可知，当,时,(3.1.14),右端是正项收敛级数,普通项，,由维尔斯特拉斯,(Weierstrass),判别法,(,简称维氏判别法,),级数,(3.1.11),在,上一致收敛,因而序列,也在,上一致收敛。,命题,3,证毕,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,18/37,则,也在,又可知,现设,上连续，且由,(3.1.10),命题,4,是积分方程,(3.1.6),定义于,证 明,:,由利普希兹条件,以及,在,上一致收敛于,上连续解。,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,19/37,因而，对,(3.1.9),两边取极限,得到,:,即,即知序列,在,一致收敛,这就是说,是积分方程,(3.1.16),定义于,上连续解。,命题,4,证毕,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,20/37,命题,5也是积分方程,(3.1.6),定义于,上一个连续解,则,证实,若,首先证实,也是序列,一致收敛极限函数。,为此，从,进行以下预计,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,21/37,现设,则有,2.2E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,22/37,有,故由数学归纳法得知对于全部正整数,n,，有下面预计式,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,23/37,所以，在,上有,:,是收敛级数公项,故,时,因而,在,上一致收敛于,依据极限唯一性，,即得,:,命题,5,证毕,综合命题,1-5,，即得到存在唯一性定理证实。,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,24/37,例,求初值问题 第三次近似解。,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,25/37,附 注,/Remark/,1,）假如在,R,上,存在且连续,则,f,(,x,y,),在,R,上关于,y,满足利普希兹条件，反之不成立。,证,在,R,上连续，则在,R,上有界，记为,L,由中值定理,故,f(x,y),在,R,上关于,y,满足利普希兹条件。,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,26/37,这条件是充分条件，而非必要条件。,例,1,R,为中心在原点矩形域,但,故,f,(,x,y,),在,R,上关于,y,满足利普希兹条件。,在,R,上,存在且有界,f(x,y),在,R,上关于,y,满足利普希兹条件。,在,R,上,存在且无界,f(x,y),在,R,上关于,y,不满足利普希兹条件。,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,27/37,2),定理,1,中两个条件是确保,Cauchy P,存在,唯一充分条件，而非必要条件。,例,2,当连续条件不满足时，解也可能存在唯一。,f(x,y),在以原点为中心矩形域中不连续，但解存在唯一,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,28/37,例,3,当,Lipscitz,条件不满足时，解也可能存在唯一。,f(x,y),在,(,x,0,),任何邻域内不满足,Lipscitz,条件，但解存在唯一,不可能有界,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,29/37,x,y,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,30/37,例,4,设方程,(3.1),为线性方程,则当,P,(,x,),Q,(,x,),在区间 上连续，则,由任一初值,所确定解在整个区间,上都存在。,3,）,若,f,(,x,y,),在带域 中连续，,且对,y,满足,Lipschitz,条件，则在整个区间,中存在唯一满足条件 方程,解 。记,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,31/37,4),一阶隐式方程解存在唯一性,定理,2,假如在点 某一邻域中，,对全部变元 连续，且,存在连续偏导数；,则上述初值问题解在 某一邻域存在。,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,32/37,实际上，由条件知 所确定隐函数,在 邻域内存在且连续，且,在 邻域内连续，在以,为中心某一闭矩形区域,D,中有界，所以,f(x,y),在,D,中关于,y,满足,Lipschitz,条件。,由解存在唯一性定理，,解,y(x),存在唯一，,存在区间中,h,可足够小。同时，有,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,33/37,三、近似计算和误差预计,第,n,次近似解,第,n,次近似解误差公式,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,34/37,例,4,方程 定义在矩形域,试确定经过点,(0,0),解存在区间，并求在此区间上与真,正解误差不超出,0.05,近似解表示式。,解,满足解存在唯一性定理条件,Lipschitz,常数取为,L=2,，,因为,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,35/37,2.2 E,xistence&Uniqueness Theorem&Progressive Method,36/37,思索：,1,、求方程 ，满足条件,解最大存在区间，即,h,最大值。,2,、证实以下初值问题解在指定区间上存在且唯一：,作业,P.90,第,1(1),5,题,37/37,