2025年卓越提升二次根式化简与估值技巧解析及答案集锦.doc

ﻩ专题01 二次根式的化简与求值ﻩ

阅读与思索
二次根式的化简与求值问题常波及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.
有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点,此类问题包括了整式、分式、二次根式等众多知识,又联络着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想措施，解题的基本思绪是：
1、直接代入
直接将已知条件代入待化简求值的式子.
２、变形代入
合适地变条件、合适地变结论,同步变条件与结论，再代入求值.

数学思想：
数学中充斥了矛盾，如正与负,加与减,乘与除,数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式,相等与不等，正面与背面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般,存在与不存在等,数学就是在矛盾中产生,又在矛盾中发展．
想一想：若(其中x， ｙ， n都是正整数)，则都是同类二次根式，为何？

例题与求解
【例1】　当时，代数式的值是（ 　）
　 　 A、0 　B、-1 　　 Ｃ、1 　　 D、
（绍兴市竞赛试题)

【例２】　化简
（1）
(黄冈市中考试题)

（2）
(五都市联赛试题)

（３）
(北京市竞赛试题）

（4)
（陕西省竞赛试题)

解题思绪：若一开始把分母有理化,则计算必然繁难，仔细观测每题中分子与分母的数字特点，通过度解、分析等措施寻找它们的联络,问题便迎刃而解.
思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式,分母中应用非常广泛，不过因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中,恰当地作类似于因式分解的变形，可减少某些二次根式问题的难度．

【例3】 比大的最小整数是多少？
(西安交大少年班入学试题）

解题思绪：直接展开，计算较繁,可引入有理化因式辅助解题，即设
想一想：设求的值． (“祖冲之杯”邀请赛试题）
形如:的根式为复合二次根式,常用配方,引入参数等措施来化简复合二次根式.

【例4】　设实数x,y满足求x+y的值.
(“宗泸杯”竞赛试题）
解题思绪:从化简条件等式入手，而化简的基本措施是有理化.

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【例5】 （1）代数式的最小值.
　 　 　 （２）求代数式的最小值.
（“但愿杯”邀请赛试题)

解题思绪:对于（1),目前运用代数的措施很难求此式的最小值,的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长,从构造几何图形入手,对于（2)，
设，设A（x,0）,Ｂ(４，5),C(2,3)相称于求AB+ＡＣ的最小值，如下可用对称分析法处理.
措施精髓:
处理根式问题的基本思绪是有理化，有理化的重要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式．
【例6】　设,求的值.
解题思绪：配措施是化简复合二次根式的常用措施,配方后再考虑用换元法求对应式子的值．

能力训练
A级
1.化简:（“但愿杯”邀请赛试题)

2.若,则＝＿____(北京市竞赛试题）

3. 计算：
　　　 　 　　　 　 　 　 　 　 　 　　　 　　　(“但愿杯”邀请赛试题)

4．若满足0＜x

８、有下列三个命题
甲：若α,β是不相等的无理数，则是无理数；
乙:若α，β是不相等的无理数，则是无理数;
丙：若α,β是不相等的无理数,则是无理数;
其中对的命题的个数是（ 　）
Ａ.0个　　 　 　B.１个 　　 C．2个 　 　D.3个
（全国初中数学联赛试题）

９、化简：
(1） 　 　 　　 　 　 (2)

(３)

(４） (天津市竞赛试题）

（5）　　 （“但愿杯”邀请赛试题）

10、设,求代数式的值．
(“但愿杯”邀请赛试题）

１１、已知，求x的值．

12、 设(ｎ为自然数),当ｎ为何值,代数式的
　 值为1９８5？

B 级
１.已知. 　 (四川省竞赛试题)
2.已知实数x，ｙ满足,则=＿＿_＿（全国初中数学联赛试题)
3.已知. 　 　 　 　 　　 　 (重庆市竞赛试题）
4.那么=___＿_． 　 　（全国初中数学联赛试题)
5． a，b为有理数,且满足等式则a＋b＝（　 )
A.2　 B.　4　　 C. 6 　 　 Ｄ. 8
（全国初中数学联赛试题)
6． 已知，那么a,b,c的大小关系是( )
　Ｂ． b 　 　 　 (“但愿杯”邀请赛试题）
（2）　 　 　 （新加坡中学生竞赛试题)
（3）　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　（山东省竞赛试题）
(4）　　 　 　　　 　 　 　 　 （太原市竞赛试题）

１1、设 求证.
（“五羊杯”竞赛试题)

1２、求的最大值．

13、 已知a， b， c为正整数，且为有理数，证明：为整数.

专题０1 　 二次根式的化简与求值
例1 A 提醒:由条件得4x2－4ｘ－2 ０01=0.　　
例2　 (1)原式＝·＝２
(２)原式＝＝2－５.
(3)原式=＝＝;
（4） 原式＝＝．
例３ x+ｙ=2,xy=１，于是x2＋y2＝(ｘ＋y)2-2xy=22，x3+y3=(x+y)(x２－xｙ+y２）＝42，x6+y6＝(x3+y3)2－2ｘ3ｙ3=１05８2 .∵０＜＜1,从而0<<1,故1０　５81<＜１0 582. 例4　　x+==－ｙ…①；同理，ｙ＋==-x…②．由①+②得2x=-2y，x＋y=０．　 例5　　(1）构造如图所示图形,PA=，ＰB=．作A有关ｌ的对称点A',连A'B交l于P，则A'Ｂ=＝1３为所求代数式的最小值．　 (2)设y=+,设A(ｘ，０)，B（4,5),C（2，3).作C有关x轴对称点C１,连结BC1交x轴于Ａ点.A即为所求，过B作BＤ⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1Ｂ==2． 　 例６　　 m＝＋＝＋．∵1≤a≤2,∴0≤≤１,∴-1≤-1≤0,∴m＝２．设S＝m10＋ｍ9+m8＋…＋m-47=２10＋2９+28+…＋2-47　①，2S＝211+210＋29+…+22-94　②,由②-①，得S=211－2-９4＋4７=1　999.
A级　 １.１ 2． 3．0 提醒:令=a，＝b,=c. 4. (17,８33),(６8，612），(　１53，４20） 　５.B　 6.C　 7.B　 8.A　 9．(1） (２)原式=＝＝．（3）　　（4) (5) 10.48提醒：由已知得x2　＋5x=２，原式=(x2+　５x+４)(ｘ2＋5x＋6)． 1１.由题设知ｘ＞０，（＋)(-)＝14x．∴－=２，∴2=７ｘ＋2，∴2１x2-8ｘ-４8＝0.其正根为ｘ＝.　 　 1２.ｎ=２ 提醒:xy＝1,ｘ＋y＝４ｎ＋2.
B级 1. ６4 2.1 提醒:仿例4，由条件得x=ｙ,∴(x－)2＝２ ００8,∴x2－－x=0，∴(-ｘ)＝0，解得ｘ2=２ 0０８.∴原式=x2－2　007＝1.　 3. 　 ４．1 提醒：∵（-1)a=２－1，即=－1.　5.B　提醒：由条件得a+ｂ＝3＋，∴ａ＝3,b＝1,∴ａ+ｂ=4.　　６．Ｂ　提醒:a-ｂ=－1-＞-１-=0．同理ｃ－a>0 　　7．B 8.B 　 9．D 提醒：注意隐含条件a-１＜0． 　 1０.(1）1　998　 999.5 提醒：设k=2 ０0０,原式＝． 　(2) 提醒：考虑一般情形＝－ 　 （3)原式=＝＝．(4)2－ 　1１．构造如图所示边长为１的正方形ＡNＭD，BＣMN．设MP＝x，则CＰ＝，AP＝,AC=，AM=,∴AC≤ＰC＋PＡ