概率的加法公式.pptx

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 概率加法公式与事件独立性,一 概率加法公式,1 互不相容情形,1/34,定义 事件“A与B最少有一个发生”称为事件A与B和，记作A+B或 。,事件“最少有一个发生”,称为事件 和，记作,或 或,事件“最少有一个发生”称为事件 和，记作,或,2/34,比如，掷两枚匀称硬币，设A=“恰好一个正面朝上”，B=“两个都是正面朝上”，C=“最少一个正面朝上”，则,C=A+B,又如，向一目标连续射击30次，设,A,i,=“第i次击中目标”,A=“最少有一次击中目标”,则,3/34,再如，一射手向某一目标连续射击，决心射中为止，设A,1,=“第一次射中”，,，A,k,=“前 次都没射中，而第k,次射中”，；B=“终于命中”，则,事件“和”概念相当于集合“并集”概念。,4/34,定义,若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容。,若事件 两两互不相容，则,称事件 互不相容。,若事件 两两互不相容，,则称事件 互不相容。,5/34,比如，掷两枚匀称硬币，A=“两枚都是正面朝上”，B=“两枚都是反面朝上”，则A与B互不相容。再设C=“恰好一个正面朝上”，则A，B，C互不相容。,事件互不相容性相当于集合互不相交性。,6/34,概率可加性：,若事件A与B互不相容，则,P(A+B)=P(A)+P(B),直观上，概率可加性可由概率统计定义推得。,7/34,概率有限可加性：,设事件 互不相容，则,8/34,概率完全可加性：,设 为一列两两互不相,容事件，则,9/34,2 对立事件技巧,定义 事件“A不发生”称为事件A对立事件，记作,比如，掷一颗均匀骰子，设A=“出现,点数小于3”，则 =“出现点数 3”,又如，掷两枚匀称硬币，设A=“最少,一个正面朝上”，则 =“两个都是反面朝上”,对立事件概念相当于集合论中余集概念。,10/34,对立事件技巧公式：,11/34,例1 设有一批产品100件，其中有5件次品，现从中任取50件。问：取到最少有一件次品概率是多少？,12/34,三 普通情形,定义 事件“A与B同时发生”称为事件,A与B积，记作 或AB或 。,事件“同时发生”称为事件,积，记作 。,事件“同时发生”称,为事件 积，记作,13/34,比如，掷两枚匀称硬币，设A=“至多一个正面朝上”，B=“最少一个正面朝上”，C=“恰好一个正面朝上”，则C=AB,又如，向一目标连续射击30次，设A,i,=“第i次击中目标”，A=“每次都击中目标”，则,事件积概念相当于集合论中交集概念。,14/34,概率加法公式：,15/34,例2 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地取4次，求取到四球里没有红球或没有黄球概率。,16/34,例3 某地有甲、乙两种报纸，据统计，该地成年人中有20%读甲报，16%读乙报，其中有8%兼读甲、乙报。求该地成年人最少读一个报纸概率。,17/34,二 事件独立性,1 条件概率,定义 对事件A,B,称在事件B发生前提下事件A发生概率为条件概率，记作 P(A|B).,18/34,古典概型中条件概率计算公式：,19/34,例4 盒中装有16个球，其中6个玻璃球，另外10个是木质球。而玻璃球中有2个是红色，4个是蓝色；木质球中有3个是红色，7个是蓝色。现从中任取一个。已知取到是蓝色球，求取到是玻璃球概率。,20/34,在古典概型中，显然还有,由此，我们不难总结出普通情形下条件概率计算公式：,21/34,例5 设某种灯泡能使用1000小时以上概率为0.6，能使用1100小时以上概率为0.5。求已使用了1000小时以上这种灯泡能使用到1100小时以上概率。,22/34,2 乘法公式,由条件概率计算公式马上得,乘法公式：,P(AB)=P(A|B)P(B),P(AB)=P(B|A)P(A),例6 某厂生产产品中有4%废品，而在100件合格品中有75件一等品。求任取一件产品是一等品概率。,23/34,3 独立性,在例4中，已算出P(A|B)=4/11。不难知P(A)=6/16。,这表明：普通说来，条件概率P(A|B)与概率P(A)并不一定相等。即：事件B发生往往要影响事件A发生概率。,但也存在着P(A|B)=P(A)大量实际例子。,24/34,例7 从10件产品7件正品，3件次品）中每次取一件，有放回地取两次。设B=,“,第一次取到正品”，A=,“,第二次取到正品”。问：P(A|B)=P(A)成立吗？,25/34,当P(A|B)=P(A)时，表明事件B发生并不影响事件A发生概率。,而当P(B|A)=P(B)成立时，表明事件A发生并不影响事件B发生概率。,这就是事件A与B所谓独立性。,26/34,由条件概率计算公式不难知，,P(A|B)=P(A),P(B|A)=P(B),P(AB)=P(A)P(B),这三个等式是相互等价。,于是我们引入,定义 假如P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与B相互独立（简称独立）。,27/34,两事件独立直观意义：两事件发生互不影响。,通常所谓互不干扰、彼此无关等都是指独立性。实际中正是依据这些来判断独立性，并不需要复杂计算。,28/34,例8 甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机概率为0.6，乙击中敌机概率为0.5。求敌机被击中概率及恰有一人击中敌机概率。,29/34,独立性概念可由两个事件情形推广到多个事件情形。,定义 设 为n个事件。若,对任意 ，其中任意k个事件,乘积概率均等于这k个事件概率乘,积，即对任意,都有,则称事件 相互独立（简称独立）。,30/34,显然，若事件 相互独立，则,n个事件独立直观意义：这n个事件发生是否互不影响（互不干扰、彼此无关）。,31/34,对偶律：,对偶律推广形式：,32/34,例9 某一个型号元件，每个元件不停电概率都是0.6，现若干个元件并联起来。问：欲以99%以上把握确保总电路不停电，最少需要几个元件？,33/34,P148:16,布置作业：,34/34,