1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.1,直线方向向量,与平面法向量,1/26,研究,从今天开始,我们将深入来体会向量这一工具在立体几何中应用,.,2/26,为了用向量来研究空间线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面,“,方向,”,。那么怎样用向量来刻画直线和平面,“,方向,”,呢？,一、直线方向向量,A,B,直线,l,上向量 以及与 共线向量叫做直线,l,方向向量,。,3/26,P,O,4/26,假如表示向量,有向线段所在直线垂,直于平面,，则称这个向量垂直于平面,记,作,，假如,，那么向量 叫做平面,法向量,.,二、平面法向
2、量,(1),定义,因为垂直于同一平面直线是相互平行,所以，能够用垂直于平面直线方向向量来刻画平面“方向”。,5/26,(2),了解,1.,平面法向量是,非零向量,;,2.,一个平面法向量,不是唯一,，其所,有法向量都相互平行,;,二、平面法向量,3.,向量 是平面 法向量，,若,，则有,6/26,A,给定一点,A,和一个向量,那,么过点,A,以向量 为法向量平面,是完全确定,.,二、平面法向量,(3),法向量确定平面位置,7/26,二、平面法向量,(4),求法,步骤：,8/26,由两个三元一次方程组成方程组解是不惟一，为方便起见，取,z=1,较合理。其实平面法向量不是惟一。,9/26,10/2
3、6,例,2.,在空间直角坐标系内，设平面 经过,点 ，平面 法向量为 ，,为平面 内任意一点，求,满足关系式。,解：由题意可得,11/26,因为方向向量与法向量能够确定直线和平面位置，所以我们应该能够利用直线方向向量与平面法向量表示空间直线、平面间,平行、垂直、夹角,等位置关系,.,那么怎样用直线方向向量表示空间两直线平行、垂直位置关系以及它们之间夹角呢？怎样用平面法向量表示空间两平面平行、垂直位置关系以及它们二面角大小呢？,12/26,三、用方向向量和法向量判定位置关系,13/26,l,1,教材未提,14/26,l,教材未提,15/26,16/26,17/26,例,4,如图，已知矩形,和矩形
4、所在平面相互垂直，点,分别在对角线,上，且,求证：,A,B,C,D,E,F,x,y,z,M,N,简证：因为矩形,ABCD,和矩形,ADEF,所在平面相互垂直，所以,AB,，,AD,，,AF,相互垂直。以 为正交基底，建立如图所表示空间坐标系，,设,AB,AD,AF,长分别为,3,a,，,3,b,，,3,c,，,则可得各点坐标，从而有,又平面,CDE,一个法向量是,因为,MN,不在平面,CDE,内,所以,MN,/,平面,CDE,18/26,练习：如图,在正方形,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N,分别是,C,1,C,、,B,1,C,1,中点,求证,:MN,平面,A,1,BD,
5、D,N,M,A,B,C,D,!,B,!,C,!,A,!,法,3:,建立如图所表示空间直角坐标系,.,x,z,y,设正方体棱长为,1,则可求得,M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A,1,(1,0,1),B(1,1,0).,于是,设平面,A,1,BD,法向量是,则 得,取,x=1,得,y=-1,z=-1,19/26,三、用方向向量和法向量判定位置关系,20/26,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,CD,中点，求证：,D,1,F,例,5.,在正方体,中，,E,、,F,分别是,BB,1,，,平面,ADE,证实：设正方体棱长为,1,，为单位正
6、交,基底，建立如图所表示坐标系,D,-,xyz,，,则可得：,所以,21/26,练习一,1.,设 分别是直线,l,1,l,2,方向向量,依据下,列条件,判断,l,1,l,2,位置关系,.,平行,垂直,平行,22/26,练习二,1.,设 分别是平面,法向量,依据,以下条件,判断,位置关系,.,垂直,平行,相交,23/26,练习三,1,、设平面 法向量为,(1,2,-2),平面 法向量为,(-2,-4,k),若 ，则,k=,；若 则,k=,。,2,、已知 ，且 方向向量为,(2,m,1),，平面法向量为,(1,1/2,2),则,m=,.,3,、若 方向向量为,(2,1,m),平面 法向量为,(1,1/2,2),且 ，则,m=,.,4,-5,-8,4,24/26,一、平行关系：,课时小结,25/26,二、垂直关系：,26/26,
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