2024年山东省威海市中考数学真题试卷（含答案）.docx

威海市2024年初中学业考试
数 学
注意事项：
1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效．
4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、作图题用2B铅笔（加黑加粗，描写清楚）或0.5毫米的黑色签字笔作答．其它题目用0.5毫米的黑色签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1. 一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A. B. C. D.
2. 据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）

A. B.
C. D.
5. 下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）

A B. C. D.
7. 定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8. 《九章算术》是我国古老数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ）
A. B.

C. D.
9. 如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（ ）

A 若，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
10. 同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ）

A. 甲车行驶与乙车相遇 B. ，两地相距
C. 甲车的速度是 D. 乙车中途休息分钟
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11. 计算：________．
12. 因式分解：________．
13. 如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则

________．

14. 计算：________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______．

16. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则________．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
18. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．

2月份测试成绩统计表
个数

人数

表1
本学期测试成绩统计表
1
平均数/个
众数/个
中位数/个
合格率
2月

3月

4月

5月

6月

表2

请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；
（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．
19. 某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
课题
测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员
组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具
竹竿，米尺
测量示意图

说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角．
测量数据

……
……

（1）设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．

（2）根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________．

20. 感悟
如图1，中，点，在边上，，．求证：．

应用
（1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）．

21. 定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的

点与原点的距离等于．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．

（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
22. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
23. 如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒．

（1）求证：；
（2）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）求为何值时，线段的长度最短．
24. 已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．
（1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断

下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
（2）若，，求b的取值范围；
（3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值．

威海市2024年初中学业考试
数 学
注意事项：
1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效．
4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、作图题用2B铅笔（加黑加粗，描写清楚）或0.5毫米的黑色签字笔作答．其它题目用0.5毫米的黑色签字笔作答．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．
5．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）
1. 一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得最接近标准是哪一袋．
【详解】解：∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．
∴
∴最接近标准质量的是
故选：C．
2. 据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光

量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：百万分之一．
故选：B．
3. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解．
【详解】解：，
∵
∴最小的数是
故选：A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方，根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则计算即可．
【详解】A、，运算错误，该选项不符合题意；

B、，运算错误，该选项不符合题意；
C、，运算正确，该选项符合题意；
D、，运算错误，该选项不符合题意．
故选：C
5. 下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的．其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三视图；分别画出四个选项中几何体的左视图与俯视图，通过比较即可得出答案．
【详解】解：A、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
B、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
C、主视图为，左视图为，主视图与左视图不同，故该选项不符合题意；
D、主视图为，左视图为，主视图与左视图相同，故该选项符合题意；
故选：D．
6. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】

【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵点是的中点
∴
∴
∴
∴，，
点落在阴影部分的概率是
故选：B．
7. 定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则下列结论正确的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解．

【详解】解：∵，
∴
解得：，
故选：B．
8. 《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键．
【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，
依题意，得：．
故选C．
9. 如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论错误的是（ ）

A. 若，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形是的角平分线，进而判断四边形是菱形，证明可得则垂直平分，即可判断B选项，证明四边形是菱形，即可判断C选项，D选项给的条件，若加上，则成立，据此，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴
A. 若，即，又，

∴
∴
∴，故A选项正确，
B. 若，，，
∴是的角平分线，
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是菱形，
∴
在中，

∴
∴
又∵
∴
∴，故B选项正确，
C. ∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴四边形是菱形，
又∵
∴，则
∴
∴
∴，故C选项正确；
D. 若，则四边形是菱形，
由，且时，
可得垂直平分，
∵
∴，故D选项不正确
故选：D．
10. 同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ）

A. 甲车行驶与乙车相遇 B. ，两地相距
C. 甲车的速度是 D. 乙车中途休息分钟
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为（）
两车行驶了小时，同时到达地，
如图所示，在小时时，两侧同向运动，在第2小时，即点时，两者距离发生改变，此时乙车休息，
点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发，

∴乙车休息了1小时，故D不正确，
设甲车的速度为，乙车的速度为，
根据题意，乙车休息后两者同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢，
∵
即
在时，乙车不动，则甲车的速度是，
∴乙车速度为，故C不正确，
∴的距离为千米，故B不正确，
设小时两辆车相遇，依题意得，

解得：即小时时，两车相遇，故A正确
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
12. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：

故答案为：．
13. 如图，在正六边形中，，，垂足为点I．若，则________．

【答案】##50度

【解析】
【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角为，即，则可求得的度数，根据平行线的性质可求得的度数，进而可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵正六边形的内角和，
每个内角为：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14. 计算：___．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法则解题即可．
【详解】

．
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______．

【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，当或时，，
∴满足的的取值范围为或，
故答案为：或．
16. 将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则__．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可．
【详解】解：在中，，

由折叠可得，，
又∵是矩形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
设，则，
在中，，即，
解得：，
故答案为．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. 某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
【答案】千瓦·时，过程见详解
【解析】
【分析】本题考查分式方程，根据题意列方程是关键，并注意检验．
根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可．
【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时，
则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时

整理得
解得
经检验：是原分式方程的解．

答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时
18. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）．

2月份测试成绩统计表
个数

人数

表1
本学期测试成绩统计表
1
平均数/个
众数/个
中位数/个
合格率
2月

3月

4月

5月

6月

表2

请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）从多角度分析本次引体向上训练活动的效果；
（3）若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据总人数减去引体向上为其他个数人数，进而补充条形统计图，根据题意求得合格率，补充折线统计图，根据平均数，众数的定义，即可得出的值；
（2）根据平均数，众数，中位数，合格率，分析；
（3）根据样本估计总体即可求解．
【小问1详解】
解：月测试成绩中，引体向上个的人数为

根据表2可得，
；
【小问2详解】
解：本次引体向上训练活动的效果明显，
从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加，
从中位数看，引体向上个数逐月增加，
从众数看，引体向上的个数越来越大，（答案不唯一，合理即可）
【小问3详解】
解：（人）
答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数为人
【点睛】本题考查了条形统计图，折线统计图，统计表，样本估计总体，以及求平均数，众数 ，中位数的意义；掌握相关的统计量的意义是解题的关键．
19. 某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
课题
测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员
组长：××× 组员：××××××，×××
测量工具
竹竿，米尺
测量示意图

说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角．

测量数据

……
……

（1）设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________．

【答案】（1），，，；
（2），推导见解析；
（3）．
【解析】
分析】（）根据题意选择需要的数据即可；
（）过点作于点，可得，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解；
（）根据（）的结果即可求解；
本题考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：需要的数据为：，，，；
【小问2详解】

解：过点作于点，则，
∵，
∴，
∴
∴，
即
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴按键顺序为，
故答案为：．
20. 感悟
如图1，在中，点，在边上，，．求证：．

应用
（1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图：
证明，即可求得；
应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，连接，；
应用（2）：以点为圆心，以长为半径作圆，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，连接．
【详解】∵，
∴．
在和中

∴．
∴．
应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示．

应用（2）：以点为圆心，以长为半径作圆，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作圆，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示．

21. 定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．

（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
【答案】（1）过4秒或6秒
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：
（1）设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可；
（2）先求出点A，B到原点距离之和为，然后分，，三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，
根据题意，得，

解得或6，
答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
【小问2详解】
解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为，
当时，，
∵，
∴，即，
当时，，
∵，
∴，即，
当时，，
∵，
∴，即，
综上，，
∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．
22. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，．

（1）求证：是切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键．

（1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线；
（2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果．
【小问1详解】
证明：连接，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：设的半径为，则，
∵，即，
解得，
∴，，

又∵
∴，
∴，即，解得．
23. 如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒．

（1）求证：；
（2）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）求为何值时，线段长度最短．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）设与相交于点，证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证；
（）过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由，可得自变量的取值范围；
（）证明为等边三角形，可得，可知线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，又由菱形的性质可得为等边三角形，利用三线合一求出即可求解；
本题考查了菱形的性质全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直角三角形，求二次函数解析

式，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握菱形的性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：设与相交于点，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点作于，则，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴，，
即，
∵，

∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，

∴，
∴，
∴线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，线段的长度最短．

24. 已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．
（1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
（2）若，，求b的取值范围；
（3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值．
【答案】（1）；；；
（2）
（3）b的值为或或或．
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质．
（1）根据根与系数关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③．
（2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题；
（3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
【小问1详解】
解： 与x轴交点的坐标分别为，，且，
，且抛物线开口向上，

与x轴交点的坐标分别为，，且．
即向上平移1个单位，
，且，
①；
，
，即②；
，即③．
故答案为；；；；
【小问2详解】
解：，，
，
，
；
【小问3详解】
解：抛物线顶点坐标为，
对称轴为；
当时，，
当时，，
①当在取得最大值，在取得最小值时，
有 ，解得；
②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，解得（舍去）或，
③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，解得或；

综上所述，b值为或或或．