2024年江苏省苏州市中考数学真题试卷（含答案）.docx

2024年苏州市初中学业水平考试试卷
数学
注意事项：
1．本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟；
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；
3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；
4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．
1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
6. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）

A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊
7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）

A. B. C. 2 D. 1
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9. 计算：___________．
10. 若，则______．
11. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______．

12. 如图，是的内接三角形，若，则__．

13. 直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______．
14. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留）

15. 二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______．
16. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______．

三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17. 计算：．
18. 解方程组：．
19. 先化简，再求值：．其中．
20. 如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．

（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______；
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
22. 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：

根据以上信息，解决下列问题：
（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为___°；
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）人数．
23. 图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．

（1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
24. 如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．

（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
25. 如图，中，，D为中点，，，是的外接圆．

（1）求的长；
（2）求的半径．
26. 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次
A站
B站
C站
发车时刻
到站时刻
发车时刻
到站时刻
D1001
8：00
9：30
9：50
10：50
G1002
8：25
途经B站，不停车
10：30
请根据表格中信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为．
①______；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值．
27. 如图①，二次函数图象与开口向下的二次函数图象均过点，．

（1）求图象对应函数表达式；
（2）若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标；
（3）如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接AD，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式．

2024年苏州市初中学业水平考试试卷
数学
注意事项：
1．本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟；
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号姓名是否与本人的相符；
3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题；
4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上．
1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最远的点，即绝对值最大的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．
【详解】解：∵，，，，，
∴与原点距离最近的是1，
故选：B．
2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形故此选项正确；
B、不轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：A．
3. 苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是科学记数法-表示较大的数，把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．根据科学记数法-表示较大的数的方法解答．
详解】解：，
故选：C．
4. 若，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
直接利用不等式的性质逐一判断即可．
【详解】解：，
A、，故错误，该选项不合题意；
B、，故错误，该选项不合题意；
C、无法得出，故错误，该选项不合题意；
D、，故正确，该选项符合题意；
故选：D．
5. 如图，，若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】题目主要考查平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B
6. 某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（ ）

A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了用中位数做决策，由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，则需要选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，根据选项即可得出正确的答案．
【详解】解：由图像可知，要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，
则需要从第6号盲盒和第7号盲盒里选择100克以上的一个盲盒和100克以下的盲盒一个，
因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊
故选：C．
7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，

∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
故选：A．
8. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）

A. B. C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值．
【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：

∵四边形是矩形，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∵，
，
在与中，

，
，
，，共线，
，是中点，
∴在中，，
的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．
∴的最大值为的长，即．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．
9. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法解题即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是解题的关键．
10. 若，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，把整体代入化简计算即可．
【详解】解：∵，
∴

，
故答案：4．
11. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______．

【答案】
【解析】
【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份，
∴指针落在阴影区域的概率为，
故答案为：．
12. 如图，是的内接三角形，若，则______．

【答案】##62度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可．
详解】解：连接，

∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即有点C，利用待定系数法即可求得直线的解析式．
【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶

设与y轴的交点为点B，
令，得；令，即，
∴， ，
∴，，
即
∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线，
∴，，
∴，
则点，
设直线的解析式为，则
，解得，
那么，直线的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长，即可利用待定系数法求得解析式．
14. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心C恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）______．（结果保留）

【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：如图所示：过点C作，

∵六条弧所对应弦构成一个正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∵圆心C恰好是的内心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为：，
∴花窗的周长为：，
故答案为：．
15. 二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【详解】解：把，，代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．
【详解】解：∵，
∴设，，
∵沿翻折，得到，
∴，，
过E作于H，设与相交于M，

则，又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，则，
解得，（舍去），
即，
故答案为：．
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可．
【详解】解：原式
．
18. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法求解．根据加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：
得，，解得，．
将代入①得．
方程组的解是
19. 先化简，再求值：．其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式

．
当时，原式．
20. 如图，中，，分别以BC为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是：
（1）直接利用证明即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：由作图知：．
在和中，

．
【小问2详解】
解：，，
．
又，
，．
，
，
．
21. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．

（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______；
（2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是：
（1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果；
（2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可．

【小问1详解】
解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，
∴恰好抽到“夏”的概率为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：用树状图列出所有等可的结果：

等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）．
在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次，
P（抽取的书签价好1张为“春”，张为“秋”）．
22. 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球）E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：

根据以上信息，解决下列问题：
（1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；
（2）图②中项目E对应的圆心角的度数为______°；
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数．
【答案】（1）见解析 （2）72
（3）本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）利用C组的人数除以所占百分比求出总人数，然后用总人数减去A、B、C、E组的人数，最后补图即可；
（2）用乘以E组所占百分比即可；
（3）用800乘以B组所占百分比即可．
【小问1详解】
解：总人数为，
D组人数为，
补图如下：
【小问2详解】
解：，
故答案为：72；
【小问3详解】
解：（人）．
答：本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人．
23. 图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，．

（1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，，然后在在中，根据勾股定理求出即可；
（2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解：如图，过点C作，垂足为E，

由题意可知，，
又，
四边形为矩形．
，，
，．
，
．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为；
【小问2详解】
解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G．

由题意可知，四边形为矩形，
．
在中，，
．
，
，
，．
，，
，．
在中，．
即可伸缩支撑杆的长度为．
24. 如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．

（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1），
（2）有最大值，此时
【解析】
【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；
（2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解： ，，
．
又，
．
，
点．
设直线的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将点代入，得．
．
将代入，得．
【小问2详解】
解：延长交y轴于点Q，交于点L．

，，
．
轴，
，．
，
，
，
．
设点P的坐标为，，则，．
．
．
当时，有最大值，此时．
25. 如图，中，，D为中点，，，是的外接圆．

（1）求的长；
（2）求的半径．
【答案】（1）
（2）的半径为
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理．
（1）易证，得到，即可解答；
（2）过点A作，垂足为E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，在中，通过解直角三角形得到，，由得到．设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求得，，由得到，根据正弦的定义即可求解．
【小问1详解】
解：，，
．
，即
，D为AB中点，
，
∴
．
【小问2详解】
解：过点A作，垂足为E，连接CO，并延长交⊙O于F，连接AF，

在中，．
又，
．
∴在中，．
，
．
设，则，．
∵在中，，
，即，
解得，（舍去）．
，．
∵，
．
CF为⊙O的直径，
．
．
，即⊙O的半径为．
26. 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次
A站
B站
C站
发车时刻
到站时刻
发车时刻
到站时刻
D1001
8：00
9：30
9：50
10：50
G1002
8：25
途经B站，不停车
10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为，离A站的路程为；G1002次列车的行驶速度为，离A站的路程为．
①______；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求t的值．
【答案】（1）90，60
（2）①；②或125
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
（1）直接根据表中数据解答即可；
（2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；
②先求出， A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当时，D1001次列车在B站停车． G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可．
【小问1详解】
解：D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
【小问2详解】
解：①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需分钟，
G1002次列车从A站到C站共需分钟，
∴，
∴，
故答案为：；
②（千米/分钟），，
（千米/分钟）．
，
A与B站之间的路程为360．
，
当时，G1002次列车经过B站．
由题意可如，当时，D1001次列车在B站停车．
G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车．
ⅰ．当时，，
，，（分钟）；
ⅱ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅲ．当时，，
，，（分钟），不合题意，舍去；
ⅳ．当时，，
，，（分钟）．
综上所述，当或125时，．
27. 如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，．

（1）求图象对应的函数表达式；
（2）若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标；
（3）如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接AD，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式．
【答案】（1）
（2）点P的坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）可求对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．作直线，交直线l于点H．（如答图①）由二次函数的对称性得，， ，由，得到，设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为，，，故有，解得，（舍去），故点P的坐标为；
（3）连接DE，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J，（如答图②），则四边形IGJF为矩形，设对应的函数表达式为，可求，，则，，，而，则．设，则，，，即，可得，故，则，则①，由点F在上，得到，化简得②，由①，②可得，解得，因此，故的函数表达式为．
【小问1详解】
解：（1）将，代入，得，
，
解得：
对应的函数表达式为：；
【小问2详解】
解：设对应的函数表达式为，将点代入
得：，
解得：．
对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．
又图象的对称轴也为直线，
作直线，交直线l于点H（如答图①）

由二次函数的对称性得，，
∴．
又，而
．
设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为．
将代入，得，
将代入，得．
，，
即，解得，（舍去）．
点P的坐标为；
【小问3详解】
解：连接DE，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J．（如答图②）

，轴，轴，
四边形IGJF为矩形，
，．
设对应的函数表达式为，
点D，E分别为二次函数图象，的顶点，
将分别代入，
得，
∴，，
，，．
在中，．
，
．
又，
．
．
设，则，．
，
．
，
．
，
．
又，
，
①
点F在上，
，
即．
，
②
由①，②可得．
解得（舍去），，
．
的函数表达式为．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，矩形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．