广东省广州大学附中大学城校区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷（含答案）.docx

2024-2025 学年广东省广州大学附中大学城校区八年级（上） 期中数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
1. 如图，某学校大门口的伸缩门，这种设计利用的是（ ）
A. 三角形的稳定性

B. 四边形的不稳定性

C. 两点之间线段最短

D. 长方形的四个角都是直角

2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

3. 下列计算正确的是（ ）

第 4页，共 5页

A. 4a2 + 2a2 = 6a4

C. a6 ¸ a2 = a3
B. 5a × 2a = 10a
D. (-a2 )2 = a4

4. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 且与 BC 相交于点 D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C 的度数是

（ ）

A. 70°

B. 80°

C. 100°

D. 110°

5. 一个不等边三角形的两边长分别为 3 和 5，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（ ）

A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
6. 如图，已知V ABC 与 VDEF ， B，E，C，D 四点在同一条直线上，其中 AB = DF BC = EF ，
AC = DE ，则ÐACB 等于（ ）

A. ÐEFD
B. ÐABC
C. 2ÐD
D. 1 ÐAFE
2

7. 如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则Ð1为( )

A. 32o B. 36o C. 40o D. 42o
8. 在平面直角坐标系中，已知点 A(a + 1, -1) 和点 B (2, a -1) 且直线 AB ∥ x 轴，则点(-a + 2, a -1) 位于
（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 如图，直线 AP 平分ÐBAD CP 平分ÐBCD 的外角ÐBCE ，则ÐP 与ÐB 、ÐD 的数量关系是（ ）

A. 2ÐP - ÐB + ÐD = 180° B. 2ÐP - ÐB - ÐD = 180°
C. 2ÐP + ÐB - ÐD = 180° D. 2ÐP + ÐB + ÐD = 360°
10. 如图，在V ABC 中，ÐBAC 和ÐABC 的平分线 AE ， BF 相交于点 O， AE 交 BC 于 E， BF 交 AC

于 F，过点 O 作OD ^
BC 于 D，下列三个结论：① ÐAOB = 90° + 1 ÐC ；②当ÐC = 60°时，
2

AF +BE =AB ；③若OD =a ， AB +BC +CA =2b ，则 S ABC =ab ．其中正确的个数是（ ）
V

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 0 个
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 如图，把图中Ð1 、Ð2 、Ð3 按由小到大的顺序排列为 ．

12. 某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素 笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本 3 元，碳素笔每支 2 元，共花费 28 元，则共有 种购买方案．
13. 已知点 M(﹣6，2)，则 M 点关于 x 轴对称点的坐标是
14. 已知V ABC 三边长均为整数，且周长为偶数，若 AC - BC = 5 ．则边长 AB 的最小值是 ．
15. 已知等腰V ABC 中． AB = AC ，两腰的垂直平分线交于点 P ，已知ÐBPC = 100° ，则等腰三角形的顶角为 ．
16. 如图，BD 是等腰V ABC 的角平分线， AB = AC = 6 ，BC = 8 ，E 为线段 BD（端点除外）上的动点，
连接 AE ，作ÐEAF = ÐBAC ，且 AE = AF ，连接 DF ，当△ADF 的周长最小时，则 AF 的值是 ．

DF
三、解答题（本大题共 7 小题，满分 0 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

ï
ì5x + 2 > 3( x -1)①
ï
17. 解不等式组í 1 x -1 £ 7 - 3 x② ，并把解集在数轴上表示出来．
î 2 2
18. 已知：如图，点 B ， E ， C ， F 在同一条直线上， AB = DE ， AC = DF ， BE = CF ．

（1）求证： ÐA = ÐD ；
（2）若 BF = 13 ， EC = 7 ，则 BC 的长为 ．
b - 5
19. 已知 a、b、c 为V ABC 的三边长，且 b、c 满足


+ (c - 7)2 = 0 ，a 为方程 a - 3 = 2 的解，求V ABC

的周长．

20. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为 1.格点三角形 ABC (顶点是网格线交点的三角形)的顶点 A ，C 的坐标分别是(-4 ，6) ，(-1，4) ．
(1) 请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
(2) 请画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 ；并直接写出 A1B1C1 的坐标. (3)请在 y 轴上求作一点 P ，使△PB1C 的周长最小，
21. （1）如图 1，已知，在类似“伞形图”中． AM = AN ， DM = DN ．求证： ÐAMD = ÐAND ．
（2）如图 2，在VAMC 中，ÐMAC 的平分线 AD 交 MC 于点 D ．请你从以下两个条件：①ÐAMD = 2ÐC ；
② AC = AM + MD 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）

22. 在数轴上互不重合的四个点 A，B，M，N，如果 MA = 2NB 或 MB = 2NA，那么点 M，N 叫做 A，B
两点的“2 伴点”．

已知点 A，B 在数轴上表示的数分别为 a，b，且满足| a + b | + | b - 4 |= 0 ．
（1）填空： a = ， b = ；
（2） 若点 M 表示的数为 2，点 N 在原点右侧，且点 M，N 为点 A，B 的“2 伴点”，求点 N 表示的数；

（3） 如图，已知点 O 表示的数是 0，把一根长为 3 个单位长度的木条 PQ 放在数轴上（点 Q 在点 P 的左侧 ），使得点 P 与点 O 重合，木条 PQ 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，当木条全部驶出线段OB时，速度变为原来的一半，设木条运动时间为 t．当点 P，Q 为点 A，B 的“2 伴点”时，求满足条件的所有 t 的值．

23. 在平面直角坐标系中，已知点 A（8，0），B（0，-8），连接 AB

（1） 如图①，动点 C 在 x 轴负半轴上，且 AH⊥BC 交 BC 于点 H、交 OB 于点 P，求证：△AOP≌△BOC；

（2） 如图②，在（1）的条件下，连接 OH，求证：2∠OHP=∠AHB：

（3） 如图③，E 为 AB的中点，动点 G 在 y 轴上，连接 GE，作 EF⊥GE 交 x 轴于 F，猜想 GB、OB、AF

三条线段之间的数量关系，并说明理由．

2024-2025 学年广东省广州大学附中大学城校区八年级（上） 期中数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
1. 如图，某学校大门口的伸缩门，这种设计利用的是（ ）
A. 三角形的稳定性

B. 四边形的不稳定性

C. 两点之间线段最短

D. 长方形的四个角都是直角

【答案】B

【解析】

【分析】利用四边形的不稳定性特点进行解答即可．

【详解】解：学校大门口的电动伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性． 故选：B．
【点睛】此题考查的是四边形的特点，掌握四边形具有不稳定性这一特点是解决此题关键．

2. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．

【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：

A、 不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3. 下列计算正确的是（ ）

第 14页，共 25页

A. 4a2 + 2a2 = 6a4

C. a6 ¸ a2 = a3
B. 5a × 2a = 10a
D. (-a2 )2 = a4

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘、除，根据运算法则逐项分析，即可作答．

【详解】解：A、 4a2 + 2a2 = 6a2 ¹ 6a4 ，故该选项不符合题意；

B、5a × 2a = 10a2 ¹ 10a ，故该选项不符合题意；

C、 a6 ¸ a2 = a4 ¹ a3 ，故该选项不符合题意；
D、(-a2 )2 = a4 ，故该选项符合题意；故选：D
4. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 且与 BC 相交于点 D，∠B=40°，∠BAD=30°，则∠C 的度数是

（ ）

A. 70°

B. 80°

C. 100°

D. 110°

【答案】B

解析】

【分析】利用三角形角平分线的性质和内角和是 180 度的性质可知．

【详解】解：AD 平分∠BAC，∠BAD=30°，

∴∠BAC=60°，

∴∠C=180°﹣60°﹣40°=80°．

故选 B．

5. 一个不等边三角形的两边长分别为 3 和 5，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（ ）

A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个

【答案】A

【解析】
【分析】本题考查了三角形三边的关系．设第三边长为 x ，根据三角形三边的关系得 2 < x < 8 ，据此求解即可．
【详解】解：设第三边长为 x ，
根据题意得5 - 3 < x < 5 + 3 ，即 2 < x < 8 ，
又Q三角形为不等边三角形，且第三边长为偶数，
\ x 为 4、6，符合条件的三角形有 2 个． 故选：A．
6. 如图，已知V ABC 与 VDEF ， B，E，C，D 四点在同一条直线上，其中 AB = DF ， BC = EF ，
AC = DE ，则ÐACB 等于（ ）

A. ÐEFD
B. ÐABC
C. 2ÐD
D. 1 ÐAFE
2

【答案】D

【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明△ABC≌△DFE (SSS)可得
ÐACB = ÐDEF ，进而由三角形外角性质ÐAFE = ÐACB + ÐDEF 可得ÐACB = 1 ÐAFE ，即可求解，
2
掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：在V ABC 和△DFE 中，

ì AB = DF
í
ïBC = FE ，
î
ï AC = DE
∴△ABC≌△DFE (SSS)，
∴ ÐACB = ÐDEF ，
∵ ÐAFE = ÐACB + ÐDEF ，
∴ ÐACB = 1 ÐAFE ，
2
故选： D ．

7. 如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则Ð1为( )

A. 32o B. 36o C. 40o D. 42o

【答案】D

【解析】

【详解】试题解析：正方形的内角为90o

(5 - 2)´180o

正五边形的内角为

正六边形的内角为
5

(6 - 2)´180o 6
= 108o

= 120o

Ð1 = 360o - 90o -108o -120o = 42o

故选 D.

点睛：多边形的内角和公式： (n - 2)´180o.
8. 在平面直角坐标系中，已知点 A(a + 1, -1) 和点 B (2, a -1) 且直线 AB ∥ x 轴，则点(-a + 2, a -1) 位于
（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查坐标与图形的性质，各象限内点的坐标特点，解答本题的关键是明确平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标都相等．根据点 A(a + 1, -1) 和点 B (2, a -1) 且直线 AB ∥ x 轴，可知点A 和点 B 的纵坐标相等，从而可以得到 a -1 = -1，然后求出 a 的值即可得出答案．
【详解】解：Q点 A(a + 1, -1) 和点 B (2, a -1) 且直线 AB ∥ x 轴，
\ a -1 = -1 ， 解得 a = 0 ，
\-a + 2 = 2 a -1 = -1，
\点(2, -1) 位于第四象限． 故选：D．
9. 如图，直线 AP 平分ÐBAD ，CP 平分ÐBCD 的外角ÐBCE ，则ÐP 与ÐB 、ÐD 的数量关系是（ ）

A. 2ÐP - ÐB + ÐD = 180°
C. 2ÐP + ÐB - ÐD = 180°
B.

D.
2ÐP - ÐB - ÐD = 180°
2ÐP + ÐB + ÐD = 360°
【答案】B

【解析】

【分析】设ÐPAB = ÐOAP = x ，ÐECP = ÐPCB = y ，利用三角形内角和定理构建方程组解决问题即可．
【详解】如图，

解：设ÐPAB = ÐOAP = x ， ÐECP = ÐPCB = y ，
∵ ÐAOB = ÐCOD ， ÐAGP = ÐCGD ，
∴ ÐB + ÐBAO = ÐD + ÐOCD ， ÐP + ÐPAG = ÐD + ÐGCD ，

ìÐB + 2x = ÐD +180° - 2 y①
∴ í ，
îÐP + x = ÐD +180° - y②
① -2´ ②，可得ÐB - 2ÐP = -ÐD -180°， 则 2ÐP - ÐB - ÐD = 180° ．
故选：B．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决 问题．
10. 如图，在V ABC 中，ÐBAC 和ÐABC 的平分线 AE ， BF 相交于点 O， AE 交 BC 于 E， BF 交 AC

于 F，过点 O 作OD ^
BC 于 D，下列三个结论：① ÐAOB = 90° + 1 ÐC ；②当ÐC = 60°时，
2

AF + BE = AB ；③若OD = a ， AB + BC + CA = 2b ，则 SV ABC = ab ．其中正确的个数是（ ）

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 0 个

【答案】C

【解析】
【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解ÐAOB 和ÐC 的关系，进而判定①；根据ÐC = 60° 得ÐBAC + ÐBCA = 120° ，根据角平分线和三角形内角和定理得ÐBOE = 60°，在 AB 上取一点 H，使BH = BE ，利用 SAS 证明△HBO≌△EBO 可得ÐAOH = ÐAOF = 60° ，利用 ASA 可证明△HAO≌△FAO 得 AF = AH ，进而可判定②；作OH ^ AC 于 H， OM ^ AB 于 M，根据题意得OH = OM = OD = a ， 根据 AB + BC + CA = 2b ，利用三角形面积即可判段③，即可得．
【详解】解：∵ÐBAC 和ÐABC 的平分线 AE ， BF 相交于点 O，
∴ ÐOBA = 1 ÐCBA ， ÐOAB = 1 ÐCAB ，
2 2
∴ ÐAOB = 180° - ÐOBA - ÐOAB
=180° - 1 ÐCBA - 1 ÐCAB
2 2

=180° - 1 (180° - ÐC)
2
= 90° - 1 ÐC ，
2
故①正确；
∵ ÐC = 60° ，
∴ ÐBAC + ÐBCA = 120° ，
∵ AE ， BF 分别是ÐBAC 和ÐABC 的平分线，
∴ ÐOAB + ÐOBA = 1 (ÐBAC + ÐABC) = 60° ，
2

∴ ÐAOB = 120° ，
∴ ÐAOF = 60° ，
∴ ÐBOE = 60°，
如图所示，在 AB 上取一点 H，使 BH = BE ，

∵ BF 是ÐABC 的角平分线，
∴ ÐHBO = ÐEBO ， 在△HBO 和VEBO 中，
ì BH = BE
í
ïÐHBO = ÐEBO
î
ï BO = BO

∴△HBO≌△EBO （SAS），
∴ ÐBOH = ÐBOE = 60°，
∴ ÐAOH = 60°，
∴ ÐAOH = ÐAOF = 60°， 在VHAO 和VFAO 中，

ì ÐHOA = ÐFAO
í
ï AO = AO
î
ïÐAOH = ÐAOF
∴△HAO≌△FAO （ASA），
∴ AF = AH ，
∴ AB = BH +AH = BE+AF ，
故②正确；
如图所示，作OH ^ AC 于 H， OM ^ AB 于 M，

∵ÐBAC 和ÐABC 的平分线相交于点 O，
∴点 O 在ÐC 的平分线上，
∴ OH = OM = OD = a ，
∵ AB + BC + CA = 2b ，

∴ S△ ABC
= 1 ABgOM + 1 AC gOH + 1 BC gOD
2 2 2

= 1 ( AB + AC + BC)ga
2
= ab ，
故③正确；

综上，①②③正确，正确的个数是 3 个， 故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌 握这些知识点，添加辅助线．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 如图，把图中Ð1 、Ð2 、Ð3 按由小到大的顺序排列为 ．

【答案】Ð1 < Ð2 < Ð3

【解析】

【分析】本题考查了三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 是解题的关键．根据三角形外角性质得出Ð3 > Ð2 ， Ð2 > Ð1 ，即可得出答案．
【详解】解：在V BDE 中， Ð3 > Ð2 ，
在V ABC 中 Ð2 > Ð1 ，
\Ð1 < Ð2 < Ð3 ，
故答案为： Ð1 < Ð2 < Ð3 ．
12. 某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素 笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本 3 元，碳素笔每支 2 元，共花费 28 元，则共有 种购买方案．
【答案】4

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设购买 x 支笔记本， y 个碳素笔，利用总价= 单价´数量，即可得出关于 x ， y 的二元一次方程，再结合 x ，
y 均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：设购买 x 支笔记本， y 个碳素笔， 依题意得： 3x + 2 y = 28 ，
\ y = 14 - 3 x ．
2
又Q x ， y 均为正整数，

\ ìx = 2
ìx = 4 ìx = 6 ìx = 8
或 或 或 ，

î
î
î
î
í y = 11
í y = 8 í y = 5 í y = 2

\共有 4 种不同的购买方案． 故答案为：4．
13. 已知点 M(﹣6，2)，则 M 点关于 x 轴对称点的坐标是 .

【答案】(－6，－2)

【解析】

【分析】直接利用关于 x 轴对称点的性质得出横坐标相等，纵坐标互为相反数进而得出答案．

【详解】解：∵点 M（－6，2），

∴点 M 关于 x 轴的对称点的坐标是(－6，－2)． 故答案为：(－6，－2)．
【点睛】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
14. 已知V ABC 三边长均为整数，且周长为偶数，若 AC - BC = 5 ．则边长 AB 的最小值是 ．
【答案】7
【解析】

【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边
之差小于第三边．根据 AC - BC = 5 ，可知 AC、BC 中一个奇数、一个偶数，再由VABC 的周长为偶数， 可知 AB 为奇数，再根据 AB > AC - BC 即可得出 AB 的最小值．
【详解】解：∵ AC - BC = 5 ，
∴ AC、BC 中一个奇数、一个偶数，
又∵ VABC 的周长为偶数，三边长均为整数，
∴ AB 为奇数，且为正整数，
∴ AB > AC - BC = 5 ，
∴ AB 的最小值为 7． 故答案为： 7 ．
15. 已知等腰V ABC 中． AB = AC ，两腰的垂直平分线交于点 P ，已知ÐBPC = 100° ，则等腰三角形的顶角为 ．
【答案】50° 或130°
【解析】

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情 况求解是解题的关键．分两种情况：（1）当 P 在V ABC 的内部时，连接 AP ，根据垂直平分线性质可得 AP = BP = CP ，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当 P 在V ABC
的外部，连接 AP ，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果．

【详解】解：分两种情况：
当 P 在V ABC 的内部，如图 1，连接 AP

第 30页，共 25页

Q两腰的垂直平分线交于点 P，
\ AP = BP = CP ，
\ÐBAP = ÐABP ÐCAP = ÐACP ，
QÐBPC = 100° ， ÐBAC = ÐBAP + ÐCAP ，
ÐBAP + ÐCAP + ÐACP + ÐABP = 2ÐBAC ，
QÐBPC = 100° ，
\ÐBPA + ÐCPA = 360° -100° = 260° ，
QÐBPA + ÐCPA + 2ÐBAC = 360° ，
\ÐBAC = 50° ；
当 P 在V ABC 的外部，如图 2，连接 AP ，

由题意得： AP = BP = CP ，
\ÐPBA = ÐPAB ， ÐPAC = ÐPCA ，
\ÐPBA + ÐPAB + ÐPCA + ÐPAC = 2ÐBAC ，
QÐPBA + ÐPAB + ÐPCA + ÐPAC + ÐBPC = 360° ，
QÐBPC = 100° ，
\2ÐBAC = 360° -100° = 260° ，
\ Ð BAC = 130° ，
则等腰三角形的顶角为50° 或130° ， 故答案为： 50° 或130° ．
16. 如图，BD 是等腰V ABC 的角平分线， AB = AC = 6 ，BC = 8 ，E 为线段 BD（端点除外）上的动点，

连接 AE ，作ÐEAF = ÐBAC ，且 AE = AF ，连接 DF ，当△ADF 的周长最小时，则 AF 的值是 ．

DF

7
【答案】 ．
4
【解析】
【分析】首先过点 D 作 DN ^ AB 、DM ^ BC ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得 DM = DN ，
从而可得 AD = AB = 3 ，连接CF ，证V ABE≌V ACF ，得ÐFCA = ÐEBA ，所以可得点 F 在射线CF
CD BC 4
上运动，作点A 关于射线CF 的对称点 A¢ ，当点 A¢ 、 F 、 D 三点共线时△AFD 的周长最小，此时可得
AF = A¢F = A¢C = AC = 7 ．
DF DF CD DC 4
【详解】解：如下图所示，过点 D 作 DN ^ AB 、 DM ^ BC ，连接CF ，

Q BD 平分ÐABC ，
\ DN = DM ， ÐEBA = 1 ÐABC ，
2

1 AB·DN
\ SV ABD = 2 =


AB = 6 = 3 ，

SVCBD
1 BC·DM
2
BC 8 4

QV ABD 和△CDB 分别看成以 AD 、CD 为底边，则对应边上的高相同，

\ AD = SV ABD
= AB = 3 ，

CD SVCBD
BC 4

\ AC = 3 + 4 = 7 ，
CD 4 4
QÐBAC = ÐEAF ，

\ÐBAE + ÐEAC = ÐEAD + ÐEAC ，
\ Ð BAE = Ð FAC ，
在V ABE 和△ACF 中
ì AB = AC
í
ïÐBAE = ÐCAF ，
î
ï AE = AF
\△ABE≌△ACF ，
\ÐFCA = ÐEBA = 1 ÐABC ，
2
∴点 F 在射线CF 上运动，
如图，作作点A 关于射线CF 的对称点 A¢ ，连接 A¢C ， A¢F ，则 A¢C = AC = AB = 6
Ð ACF = Ð A¢CF ，


A¢F =


AF ，

∴△ADF 的周长= AF + DF + AD = A¢F + DF + AD
由题意得 AD 为定值，
∴如下图所示，当点 A¢ 、 F 、 D 三点共线时， A¢F + DF 最小，即△AFD 的周长最小，
∵Ð ACF = Ð A¢CF ，

∴同 AD =
AB 的理由可得 A¢F = A¢C ，

CD BC DF CD

∵ A¢C = AC
A¢F =
AF ， AC = 7 ，

CD 4
\ AF = A¢F = A¢C = AC = 7 ．
DF DF CD DC 4
【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线的性质、三角形全等的判定与性质及两点之间线段最短，解 决本题的关键是根据对称性得到当点 A¢ 、 F 、 D 三点共线时△AFD 的周长最小．

三、解答题（本大题共 7 小题，满分 0 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
ï
ì5x + 2 > 3( x -1)①
ï
17. 解不等式组í 1 x -1 £ 7 - 3 x② ，并把解集在数轴上表示出来．
î 2 2
【答案】 - 5 < x £ 4 ，数轴表示见解析
2
【解析】

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

ï
ì5x + 2 > 3( x -1)①
ï
【详解】解： í 1 x -1 £ 7 - 3 x② ，
î 2 2
解不等式①，去括号得， 5x + 2 > 3x - 3
移项，合并同类项得， 2x > -5
系数化为 1 得， x > - 5 ；
2
解不等式②，去分母得， x - 2 £ 14 - 3x
移项，合并同类项得， 4x £ 16
系数化为 1 得， x £ 4 ；
故不等式组的解集为： - 5 < x £ 4 ．
2
数轴表示如下：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找 不到”的原则是解答此题的关键．
18. 已知：如图，点 B ， E ， C ， F 在同一条直线上， AB = DE ， AC = DF ， BE = CF ．
（1）求证： ÐA = ÐD ；
（2）若 BF = 13 ， EC = 7 ，则 BC 的长为 ．
【答案】（1）详见解析

（2）10
【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考
常考题型．（1）先证 BC = EF ，再证V ABC ≌VDEF (SSS ) ，即可得出结论；
（2）求出 BE = CF = 3 ，即可得出答案．
【小问 1 详解】
证明：Q BE = CF ，
\ BE + CE = CF + CE ， 即 BC = EF ，
在V ABC 和VDEF 中，
ì AB = DE
í
Qï AC = DF ，
î
ïBC = EF
\V ABC≌VDEF (SSS ) ，
\ÐA = ÐD ；
【小问 2 详解】
解：Q BE = CF ， BF = 13 ， EC = 7 ，
\ BE + CF = BF - EC = 6 ，
\ BE = CF = 3 ，
b - 5
\ BC = BE + EC = 3+ 7 = 10 ， 故答案为：10 ．

19. 已知 a、b、c 为V ABC 的三边长，且 b、c 满足
+ (c - 7)2 = 0 ，a 为方程 a - 3 = 2 的解，求V ABC

的周长．

【答案】17

【解析】

【分析】本题主要考查了非负数的性质，构成三角形的条件，解绝对值方程，依据非负数的性质，即可得
b - 5
b - 5
到 b 和 c 的值，再根据 a 为方程 a - 3 = 2 的解，即可得到 a = 5 或 1，依据三角形三边关系，即可得到 a = 5 ，进而得出V ABC 的周长．

【详解】解：∵
+ (c - 7)2 = 0 ，
³ 0，(c - 7)2 ³ 0 ，

b - 5
∴ = (c - 7)2 = 0
ìb - 5 = 0
î
∴ íc - 7 = 0

ìb = 5
î
解得íc = 7 ，
∵a 为方程 a - 3 = 2 的解，
∴ a = 5 或 1，
当 a = 1，b = 5，c = 7 时，1+ 5 < 7 ，此时不能组成三角形，故 a = 1 不合题意； 当a = 5，b = 5，c = 7 ， 5 + 5 > 7 ，此时能组成三角形，符合题意
∴V ABC 的周长= 5 + 5 + 7 = 17
20. 在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为 1.格点三角形 ABC (顶点是网格线交点的三角形)的顶点 A ，C 的坐标分别是(-4 ，6) ，(-1，4) ．
(1) 请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
(2) 请画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 ；并直接写出 A1B1C1 的坐标. (3)请在 y 轴上求作一点 P ，使△PB1C 的周长最小，
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析； A1(-4，-6)、B1(-2，-2)、C1 (-1，-4) ；

（3）作图见解析；P（0，2）．

【解析】

【分析】（1）根据 A 点坐标建立平面直角坐标系即可；

（2） 分别作出各点关于 x 轴的对称点，再顺次连接即可；

（3） 作出点 B 关于 y 轴的对称点 B2，连接 A、B2 交 y 轴于点 P，则 P 点即为所求．

【详解】解：（1）如图所示；

（2）如图所示：A1、B1、C1 的坐标是 A1(-4，-6)、B1(-2，-2)、C1 (-1，-4)

（3）作点 B1 关于 y 轴的对称点 B2（2，-2），连接 C、B2 交 y 轴于点 P，则点 P 即为所求．设直线 CB2 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
∵C（-1，4），B2（2，-2），

í2k + b = -2
\ì-k + b = 4 ，
î

ìk = -2
î
解得íb = 2

∴直线 CB2 的解析式为：y=-2x+2，

∴当 x=0 时，y=2，

∴P（0，2）．

【点睛本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质，熟知在直线上找一个点，使它到两个已知点 距离之和最小的作图方法是解答此题的关键．
21. （1）如图 1，已知，在类似“伞形图”中． AM = AN ， DM = DN ．求证： ÐAMD = ÐAND ．
（2）如图 2，在VAMC 中，ÐMAC 的平分线 AD 交 MC 于点 D ．请你从以下两个条件：①ÐAMD = 2ÐC ；
② AC = AM + MD 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等内容， 熟练掌握相关知识是解题关键．
（1） 根据SSS 证明△AMD≌△AND ，由全等三角形的性质可得结论；
（2） 选择②为条件，①为结论：在 AC 取点 N，使 AN = AM ，连接 DN ，证明△ADM ≌△ADN ，可得 DM = DN ， ÐAMD = ÐAND ，再由 AC = AM + MD 可得 DN = CN ，从而得到ÐC = ÐCDN 即可解答；
选择①为条件，②为结论：在 AC 取点 N，使 AN = AM ，连接 DN ，证明△ADM ≌△ADN ，可得 DM = DN ，
ÐAMD = ÐAND ，再由ÐAMD = 2ÐC ，可得ÐC = ÐCDN ，从而得到 DN = CN 即可解答；
【详解】解：（1）证明：在△ADM 和△ADN 中，
ì AM = AN
í
ïDM = DN ，
î
ï AD = AD
∴ V ADM ≌V ADN (SSS) ，
∴ ÐAMD = ÐAND ；
（2）解：选择②为条件，①为结论，
如图，在 AC 取点 N，使 AN = AM ，连接 DN ，

∵ AD 平分ÐMAC ，
∴ ÐDAM = ÐDAN ，
在△ADM 和△ADN 中，

∵ AM = AN，ÐDAM = ÐDAN，AD = AD ，
∴ VADM≌VADN (SAS) ，
∴ DM = DN，ÐAMD = ÐAND ，
∵ AC = AM + MD，AC = AN + NC ，
∴ DM = CN ，
∴ DN = CN ，
∴ ÐC = ÐCDN ，
∴ ÐAMD = ÐAND = ÐCDN + ÐC = 2ÐC ； 选择①为条件，②为结论，
如图，在 AC 取点 N，使 AN = AM ，连接 DN ，

同理得： VADM≌VADN (SAS) ，
∴ DM = DN，ÐAMD = ÐAND ，
∵ÐAMD = 2ÐC ，
∴ ÐAND = 2ÐC = ÐCDN + ÐC ，
∴