第三章-Z变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,z,变换,The z-Transform,3.0,引言,连续时间信号与系统：,时域,频域（傅立叶变换）；复频域（,s,域，拉氏变换）,离散时间信号与系统：,时域,频域（傅立叶变换）；复频域（,z,域，,z,变换）,引入,z,变换的主要原因：,傅立叶变换的收敛性（更广泛的信号）,z,变换概念的方便性（分析研究信号、系统）,傅立叶变换与,z,变换的关系：,推广形式（数学、物理意义上）,分析上的全面性（稳态、动态、瞬态、静态）,3.1,z,变换,定义：一个序列,x,n,的,z,变换为,（双边，单边）,其中z,是一个复变量（连续），,X,(,z,),是一个连续的复函数。,用符号表示为：,比较序列的傅立叶变换：,e,j,z,，傅立叶变换,X,(,e,j,)z,变换,X,(,z,),将复变量,z,表示成极坐标形式：,z=,r,e,j,z,变换可以写成：,可见，,x,n,的,z,变换：指数序列,r,-,n,乘以,x,n,后的傅立叶变换。,当,z=1,，即,r,=1,时，,z,变换就是傅立叶变换。,z,变换是傅立叶变换的推广，傅立叶变换是,z,变换的特例；,z,平面：称为,单位圆,傅立叶变换是,z,平面单位圆上的,z,变换,傅立叶变换的,周期性解释,z,变换的收敛域：,（,region of convergence,ROC,）,对给定的序列,x,n,，,所有满足下列不等式的,z,值,傅立叶不收敛,z,变换收敛,若,z=z,1,在,ROC,内，,z=z,1,的值也一定在,ROC,内，,表示收敛域的,形状,：,z,平面以原点为中心的,圆环,组成,内、外边界是一个,圆,（原点、无穷远）,收敛域一般形式：,z,变换收敛域与傅立叶变换收敛的关系：,ROC,是否包括单位圆,傅立叶变换收敛,序列绝对可和序列稳定（系统稳定）,。,收敛域与稳定性关系：,z,变换一个重要的表示形式：有理函数形式,零点与极点,有理函数的极点位置与收敛域的关系系统的稳定性关系,（,3,）两个序列之和,收敛域：单个收敛域的重叠部分收敛域：,（,4,）双边指数序列,z,变换：,收敛域：,双边序列的收敛域（如果存在）：一个圆环,1/3,z,1/2,（,5,）有限长序列,z,变换：,收敛域的条件：,有限长序列的收敛域：整个,z,平面（,z,=0,和,z,=,由具体序列定,）,3.2 z,变换收敛域的性质,性质,1,：,ROC,在,z,平面是中心在原点的一个圆环或圆盘，即：,0,r,R,z,r,L,性质,2,：,当且仅当,x,n,在,z,变换的,ROC,包括单位圆时，,x,n,的傅立叶变换才绝对收敛。,性质,3,：,ROC,内不能包含任何极点。,性质,4,：,若,x,n,是一个有限长序列，即一个序列在有限区间,-,N,1,nN,2,+,内，其余均为零，那么其,ROC,就是整个,z,平面，可能,z=0,或,z=,除外。,N,1,0,，,N,2,0,，,（,n,为负）,0,z,N,1,0,，,N,2,0,，,（,n,有正有负）,0,z,N,1,0,，,N,2,0,，,（,n,为正）,0,z,性质,5,：,若,x,n,是一个右边序列，即一个序列在,n,N,1,+,是零，那么其,ROC,是从,X,(,z,),中最外面（即最大幅度）的有限值极点向外延伸至（可能包括）,z=,。,性质,6,：若,x,n,是一个左边序列，即一个序列在,n,N,2,-,是零，那么其,ROC,是从,X,(,z,),中最里面（即最小幅度）的非零值极点向内延伸至（可能包括）,z=0,。,性质,7,：,若,x,n,是,一个双边序列（一个无限长序列），那么其,ROC,一定由,z,平面的一个圆环所组成，其内外边界均由某一极点所界定，其内不能包含任何极点,。,性质,8,：,ROC,必须是一个连通的区域。,几个收敛域的例子：,线性时不变系统的稳定性、因果性,ROC,稳定：,h,n,绝对可和傅立叶变换存在,ROC,包括单位圆,稳定的充要条件：,z,变换的收敛域,：,当,z,=1,或,r,=1,时 两者相等。,推论：如果,h,n,在,z,平面单位圆上收敛，则系统稳定。,判据：收敛域包括单位圆。,例子：系统的零极点图为,若系统稳定，,ROC,必须为：,1/2,z,2,h,n,为双边序列，非因果系统；,若系统为因果，,h,n,为右边序列,ROC,为,z,2,，系统是不稳定。,因此，对于这样一个零极点的系统来说，不可能既是因果又是稳定的。,3.2 z,反变换,本课程的,z,变换,-,离散时间线性系统分析（非纯数学理论）,正规方法（纯数学）,-,基于柯西积分定理,简便方法（工程实用）,-,观察法，,部分分式法,，幂级数法,3.3.1,观察法,利用基本,z,变换对（表,3.1,），通过对比直接得到,z,反变换,例：,求：,通过比较可直接得到其反变换：,特点：简单求解,3.3.2,部分分式展开法,对于任意有理函数形式的,X,(,z,)-,主要方法,通常的,X,(,z,),表示形式：,（,z,-1,多项式之比,）,或：,M,个零点（分子,z,的,M,次多项式）,N,个极点（分母,z,的,N,次多项式）,z,=0,的多重极点或零点,相同的有限值零点和极点数,（包括,z,=0,，不包括,z,=,）,为方便部分分式展开，可将,X,(,z,),表示为：,c,k,-M,个,非零,零点；,d,k,-N,个,非零,极点；,若,M,N,，且极点都是一阶的，则可以进行部分分式展开：,式中系数,A,k,求法：,例子：,极点：，（一阶）,零点：,z=0,（二阶）,右边序列,部分分式展开：,系数：,查表求得：,其它几种情况：,（,1,）,M N,B,r,系数通过长除法获得。对应的,z,反变换为：,B,r,n,-,r,（,2,）,M N,，且有多重极点,若,X,(,z,),有一个,s,阶极点：,z,=,d,i,(,其余极点均为一阶,),则,X,(,z,),可以展开为：,C,m,系数：,几点说明,：,（,1,）项对应于 取决于收敛域,（,2,）,X,(,z,),的有理式表示为：,z,-1,(1-,az,-1,),而不是：,z,(,z,-,a,),主要考虑与,z,变换对（表,3.1,）一致,-,方便性,例,3.9,可展开为：,其零极点图和收敛域：,长除法求系数,B,0,A,系数：,则,X(z),可展开为：,根据收敛域，查表：,最终可得反变换：,3.3.3,幂级数展开法（不作要求）,3.4,z,变换性质,3.4.1,线性,注意：收敛域,-,交集,3.4.2,时移,例：,可写为：,利用时移性质，,3.4.3,指数序列相乘（频移）,收敛域尺度变化,z,平面压缩或扩展,零极点位置改变,若 在,z,平面旋转一个角度,0,或称为频率移位，时域表现为调制,例,3.15,求,z,变换：,表示为：,根据,u,n,的,z,变换并利用指数相乘性质，,最终可得：,3.4.4,微分性质,3.4.5,复数序列的共轭,3.4.6,时间倒置,3.4.7,序列卷积,推导：,交换求和次序，,变量代换：,m,=,n,-,k,则有：,例,3.19,求卷积,求,x,1,n,=,a,n,u,n,与,x,2,n,=,u,n,的线性卷积,若,|,a,|1,3.4.8,初值定理,若,x,n,是,因果序列,，有,3.4.9,性质列表,第三章作业,3.1,，,3.3,，,3.4,，,3.7,，,3.8,，,3.12,，,3.16,，,3.18,，,3.19,