1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2 向量及其线性运算,当线性方程组,这些解之间,能否用若干个解,有什么关系,?,有无穷多解时,来体现其它解?,例,是其2个解,方程组的全部解为:,其中,是任意常数.,定义.1,称为数域上的,如:,也称为n 维行向量,称为n维列向量.,如,(一)n 维向量,是一种 4 维向量.,是一种 3 维向量.,是一种 5维向量.,由数域上的n个数,其中,的,称为该向量的,第个 数,第 个分量,.,构成的有序数组,*,一种n维向量.,若,则,向量普通用希腊字母,若,则,若向量的分量,若向量的分量,均为复数，,带下标的
2、小写拉丁字母,则称为,有理数域上,则称为,实数域上的向量,;,则称为,复数域上的向量,.,等,的向量,;,，等表达，,表达向量的分量.,均为有理数，,均为实数,若向量的分量,n 维向量,现有大小,矢量用,有向线段的长度,对平面上任一向量,平移 使,(大小相等,2维实向量,有向线段表达.,有向线段的,方向,表达矢量的方向.,是“矢量”概念的推广:,或,向量,.,叫,矢量,表达矢量的大小,方向相似),就是平面上的矢量.,又有方向的量,对空间中任一向量,平移 使,3维实向量,就是空间中的矢量.,线性方程组,的每一种解,线性方程组,的每一种解,是一种5 维向量：,是一种n 维向量,记为,等.,或,矩阵
3、A的每一行,是一种n维向量，,称为A的,行向量,;,矩阵A的每一列,记为,是一种m 维向量，,称为A的,列向量,.,记为,或,当两个,n,维,向量,注意:,(1,0,3)=(1,0,3),每个n维行向量,可当作一种1n,每个n维列向量,可当作一种n1矩阵.,称 与,相等,，,记为,即若,且对应分量相等,的两个向量,的对应分量都相等时,定义2.3,矩阵;,才相等.,和,只有维数相似,n 维向量,的各分量的相反数,n 维向量,全部分量均为0,(0),(0,0),(0,0,0),(0,0,0,0),如,=(3,4,0,1),1维零向量,2 维零向量,3 维零向量,4 维零向量,(3,4,0,1),称
4、为,零向量,称为,的负向量,即,定义2.2,记为,记为,则,的向量,构成的,(二)向量的线性运算,定义2.4,与,的各对应分量之和,如,注意,(,2,6,1,)与(,0,0,0,0,),2.,称为向量,记为,与,的和,即,只有当两个向量的维数相似时,才干相加.,不能相加,=,n,维向量,两个,n,维向量,(向量的加法),n维,向量,1.可加条件:,所构成的,n,维向量,+,n,维向量,及负向量的定义,注意:,(,2,6,1,)与(,0,0,),可定义向量的,才干相减.,不能相减.,由向量的加法,减法:,只有当两个向量的维数相似时,所得到的向量,如,=(2,7,3,0),向量的加法、减法、数乘,
5、向量的线性运算,数,向量,=,称为,数,k,与向量,的乘积,统称为向量的,线性运算.,1n,矩阵,之间的线性运算.,定义2.5,(数与向量的乘法),设,将,各分量都,即,记为,是数域F上的一种,简称为数乘向量.,n,维向量,乘以,或,n1,矩阵,向量,则,事实上就是,向量的线性运算,交换律,由于矩阵的线性运算,而向量的线性运算,故向量的,结合律,满足下列8条算律：,事实上就是1n矩阵,的线性运算，,也满足这8条算律.,其中,是数域,F,上的,n,维向量,是 维零向量,是数域,F,中的任意数.,线性运算,或 n1,矩阵,这8条算律，,满足,定义2.6,称为,n维实向量空间,.,全部n维向量,(,
6、n,维向量空间),记为,实数域 上的,连同它们上面,定义的线性运算,2维实向量空间,3维实向量空间,4维实向量空间,构成的集合,2维向量空间,是坐标平面上,全体矢量构成的空间.,为始点和终点重叠的矢量,即长度为零的矢量.,3维实向量空间,是空间中,全体矢量构成的空间.,为始点和终点重叠的矢量,即长度为零的矢量.,当维数,n,3 时,但没有直观表达,“时空”,每一位同窗的高考成绩,因此,这是这一概念的抽象性.（,删！,）,许多实际事物,R,n,中的向量,n,维向量,纯正是一种数学,并不等于n维向量,都需要用,如:,能够用一种5维向量,概念.,表达：,不再含有直观表达,不含有实在性.,维数不不大于3的向量表达,以及n维向量空间,是4维向量空间,空间中一点,时间,语,数,外,*,*,中的每一种方程,线性方程组,第 1 个方程,第 2 个方程,第,m,个方程,是一种n+1 维向量。,定义.,设 是,如果满足:,(1),有,(2),有,则称,V,是,一种非空子集,此时,必有,事实上,设,则,有,一种子空间.,的,对任意,对任意,的,例如,是 的一个子空间:,有,有,是 平面.,又如,是 的一个子空间:,有,有,是 轴.,其中,为给定实数.,是 的一个子空间:,有,是 中,又如,过原点的直线.,作业,证明,是 的一个子空间.,P112 4,5,6,设,求向量,
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