固体物理晶格振动chap3.ppt

一维双原子链的模型一维双原子链的模型一维复式格子的情形一维复式格子的情形 一维无限长链一维无限长链 两种原子两种原子m和和M _(M m)_ 构成一维复式格子构成一维复式格子 M原子位于原子位于2n-1，2n+1，2n+3 m原子位于原子位于2n，2n+2，2n+4 同种原子间的距离同种原子间的距离2a_晶格常数晶格常数 系统有系统有N个原胞个原胞包含个自由度包含个自由度 N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程 两种原子两种原子振动的振幅振动的振幅A和和B一般来说一般来说是不同的是不同的 第第2n+1个个M原子的方程原子的方程 第第2n个个m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式 A、B有非零的解，系数行列式为零有非零的解，系数行列式为零 第第2n+1个个M原子原子 第第2n个个m原子原子方程的解方程的解)12(12)2(2aqntinqnatinBeAe+-+-=wwmm 一维复式晶格中存在一维复式晶格中存在两种独立的格波两种独立的格波 与与q之间存在着两之间存在着两种不同的色散关系种不同的色散关系 一维复式格子存在一维复式格子存在两种独立的格波两种独立的格波 光学波光学波 声学波声学波两种格波的振幅两种格波的振幅 光学波光学波 声学波声学波相邻原胞之间位相差相邻原胞之间位相差 M和和m原子振动方程原子振动方程1.q的取值的取值波矢波矢q的值的值采用周期性边界条件采用周期性边界条件一维双原子链的布里渊区 h为整数为整数每个波矢的线度每个波矢的线度允许的允许的q值的数目值的数目 晶体中的原胞数目晶体中的原胞数目a.描写晶格振动的波矢描写晶格振动的波矢q只能取分立的值。只能取分立的值。b.对应一个对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波有两支格波：一支声学波和一支光学波c.总的格波数目为总的格波数目为2N q的取值的取值重要结论1.晶体中的格波的支数原胞内原子的自由度J一种色散关系，即q，对应一支格波2.晶格振动的模式数晶体中原子的总自由度J一种振动模式对应一个（，q）2.色散关系的特点色散关系的特点 2.1 短波极限短波极限两种格波的频率两种格波的频率因为因为 Mm出现出现“频率的禁带区频率的禁带区”不存在格波不存在格波频率间隙频率间隙2.2 长波极限长波极限A 声学波声学波应用应用 声学波的色散关系声学波的色散关系就是把一维链看作连续介质就是把一维链看作连续介质时的弹性波时的弹性波长声学波中相邻原子的振动长声学波中相邻原子的振动 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致 代表原胞质心的振动代表原胞质心的振动B光学波光学波 长波极限长波极限 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动习题1.对于NaCl晶体，已知其恢复力常数 1.510-1N/cm。试求NaCl晶体中格波光学支的最高频率和最低频率；声学支的最高频率。2.对于NaCl晶体，其密度2.18g/cm3,正负离子的平衡距离a2.8110-10m，光学支格波的最高频率是3.6010-13rad/s。试以一维双原子链模型计算：NaCl的恢复力常数；长声学波的波速；NaCl的体积模量。nCl和Na的原子量分别为35.5和23.0。例题例题 一维复式格子中，如果一维复式格子中，如果计算计算1)光光学学波波频频率率的的最最大大值值 和和最最小小值值 ，声声学学波波频频率率的最大值的最大值 ；2)相应声子的能量相应声子的能量 ,和和 ；3)如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？波长在什么波段？4)在在 下，三种声子数目各为多少？下，三种声子数目各为多少？1)声学波的最大频率声学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最小频率光学波的最小频率2）相应声子的能量）相应声子的能量3）如如果果用用电电磁磁波波激激发发光光学学波波，要要激激发发 的的声声子子所所用用的的电电磁磁波波长在什么波段？波波长在什么波段？对应电磁波的能量和波长对应电磁波的能量和波长 要激发的声子所用的电磁波波长在红外波段要激发的声子所用的电磁波波长在红外波段光学波频率的声子数目光学波频率的声子数目声学波频率的声子数目声学波频率的声子数目3)某一特定谐振子具有激发能某一特定谐振子具有激发能的几率的几率根据归一化条件根据归一化条件归一化常数归一化常数频率为频率为 谐振子的平均能量谐振子的平均能量频率为频率为 谐振子的能量谐振子的能量第第i个个q态的平均数声子态的平均数声子光学波频率的声子数目光学波频率的声子数目声学波频率的声子数目声学波频率的声子数目三维晶格的振动n三维晶格振动的动力学方程组三维晶格振动的动力学方程组nq q取值与倒格子空间取值与倒格子空间n布里渊区布里渊区n例题例题三维复式格子三维复式格子各原子偏离格点的位移各原子偏离格点的位移晶体的原胞数目晶体的原胞数目原子的质量原子的质量第第l个原胞的位置个原胞的位置原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置 一个原胞中有一个原胞中有n个原子个原子三维晶格振动的动力学方程组三维晶格振动的动力学方程组第第k个原子运动方程个原子运动方程 原子在三个方向上的位移分量原子在三个方向上的位移分量 一个原胞中有一个原胞中有3n个类似的方程个类似的方程方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解将方程解代回将方程解代回3n个运动方程个运动方程 3n个线性齐次方程个线性齐次方程 系数行列式为零条件，得到系数行列式为零条件，得到3n个个长波极限长波极限存在存在3个解个解 趋于一致趋于一致 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波支声学波 3n3支支长长波波极极限限的的格格波波描描述述一一个个原原胞胞中中各各原原子子间间的的相相对运动对运动 3n3支光学波支光学波即：1.晶体中的格波的支数原胞内的自由度数。2.若晶体中一个原胞中有n个原子组成，则有3n支格波，其中3支声学波、3n3支光学波。3.若晶体为二维结构，则有2n支格波，相应的有2支是声学波，2n-2支光学波。4.若晶体为一维结构，则有n支格波，相应的有1支声学波，n-1支光学波。金刚石有几支声学波，几支光学波？q取值与倒格子空间波矢波矢 波矢空间的波矢空间的3个基矢个基矢 倒格子基矢倒格子基矢 3个系数个系数采用波恩卡曼边界条件采用波恩卡曼边界条件波矢波矢波矢空间一个点占据的体积波矢空间一个点占据的体积 倒格子原胞体积倒格子原胞体积状态密度状态密度波矢的取值波矢的取值_ h1 h2 h3 原子振动波函数原子振动波函数波矢改变一个倒格矢波矢改变一个倒格矢 不同原胞之间位相联系不同原胞之间位相联系 原子振动状态一样原子振动状态一样从原子振动考查，q的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系为了得到所有不同的格波，也只需考虑一定范围的为了得到所有不同的格波，也只需考虑一定范围的q值值q的取值限制在一个倒格子原胞中的取值限制在一个倒格子原胞中 第一布里渊区第一布里渊区 个取值个取值由于边界条件允许的q的分布密度为因此不同q的总数为倒格子原胞的体积对应于一个波矢对应于一个波矢q 3支声学波和支声学波和3n3支光学波支光学波总的格波数目总的格波数目结论：1.在简约布里渊区范围内，晶格中振动波矢q数晶格的原胞数，即存在N个波矢。2.晶格振动的模式数（振动状态数）晶体的总自由度数3nN正好等于晶体Nn个原子的自由度上述的格波已概括了晶体的全部振动模布里渊区Brillouin Zone n简约布里渊区/第一布里渊区：由原点出发的各倒格子矢量的垂直平分面，由这些平面所围成的最小体积。其体积倒格子原胞体积环绕原点对称；是单连通区域n第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域为第二第二布里渊区布里渊区；第一、第二布里渊区与再次远垂直平分面所围成的区域为第三布里渊区第三布里渊区。各布里渊区关于原点对称。除第一布里渊区外，其它区并不是但连通区域。任一布里渊区的面积（二维）/体积（三维）之和倒易空间中原胞的体积。布里渊区的形状取决于晶体的布拉伐格子。n第一布里渊区实际是倒易点阵的维格纳赛茨原胞。二维布里渊区二维布里渊区 正方格子的布里渊区正方格子的布里渊区 正方格子的基矢正方格子的基矢倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢维格纳赛茨原胞Wigner-Seitz 简化版作法n为了确定WS原胞，实际上往往只需作出由原点到最近邻及次近邻的连接直线，再检查它们的垂直平分面在原点附近所围成的凸多面体的体积是否与原胞体积相等而决定是否需要作更多的连接直线。1.最近邻、次近邻是否围成闭合多面体2.检查围成的多面体体积？=原胞体积3.点阵的格点处于原胞的中心4.WS原胞只含一个格点，其体积=原胞体积 第一布里渊区第一布里渊区倒格子空间离原点最近的四个倒格点倒格子空间离原点最近的四个倒格点垂直平分线方程垂直平分线方程 第一布里渊区第一布里渊区大小大小 第第二二布布里里渊渊区区：第第一一布布里里渊渊区区界界面面与与次次远远垂垂直直平平分分面面所所围围成的区域成的区域由由4个倒格点个倒格点 第二布里渊区大小第二布里渊区大小的的垂垂直直平平分分线线和和第第一一布里渊区边界所围成布里渊区边界所围成由由4个倒格点个倒格点 第第三三布布里里渊渊区区：第第一一、第第二二布布里里渊渊区区边边界界与与再再次次远远垂垂直直平平分面所围成的区域分面所围成的区域第三布里渊区大小第三布里渊区大小的的垂垂直直平平分分线线和和第第二二布布里渊区边界边界所围成里渊区边界边界所围成第一、第二和第三布里渊区第一、第二和第三布里渊区 正方格子其它布里渊区的形成正方格子其它布里渊区的形成 正方格子其它布里渊区的形状正方格子其它布里渊区的形状 每个布每个布里渊区经过适里渊区经过适当的平移之后当的平移之后和第一布里渊和第一布里渊区重合区重合 二维六角格子其它布里渊区的形成二维六角格子其它布里渊区的形成 二维六角格子其它布里渊区的形状二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里每个布里渊区经过适当渊区经过适当的平移之后和的平移之后和第一布里渊区第一布里渊区重合重合 二维斜格子的第一布里渊区二维斜格子的第一布里渊区 三维三维简单立方简单立方结构晶格点阵的简约布里渊区结构晶格点阵的简约布里渊区 倒格子为简单立方 原点和六个近邻格点连线的垂直平分面，简单立方*三维三维体心立方体心立方结构晶格点阵的简约布里渊区结构晶格点阵的简约布里渊区 倒格子为面心立方 原点和十二个近邻格点连线的垂直平分面，正十二面体*三维三维面心立方面心立方结构晶格点阵的简约布里渊区结构晶格点阵的简约布里渊区 倒格子为体心立方 截角八面体 例例2：金刚石的色散关系。沿100与111的两支横波发生简并a)Si的声子色散关系。圆与三角点为测量值，实线为计算值。人们常用约化波矢q(2/a)。沿100及111方向，两支横波发生简并；在点处，纵向光学支与横向光学支发生简并b)两相邻的布里渊区。3.8 3.8 晶格热容的量子理论n晶格热容-定义，经典理论，实验相关n晶格热容的量子理论 n总能量和总热容n能谱分布函数n爱因斯坦模型n徳拜模型热容热容 heat capacity 热容：一个系统在某一过程中温度升高1k所吸收的热量。以Q表示系统在某一过程中温度升高T所吸收的热量，则系统在该过程的热容量C为：在等容过程中，系统的体积不变，外界对系统不作功，W=0.晶格振动对热容的贡献晶格振动对热容的贡献 经典理论经典理论n玻耳兹曼分布导出能量均分定理：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中的每个平方项的平均值n固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动，假设各原子的振动是相互独立的简谐振动。原子在一个自由度上的能量为：有两个平方项。由于每个原子有3个自由度，根据能量均分定理，在温度为T时，一个原子的平均能量为nN N个原子总的内能为个原子总的内能为 E=3NkE=3NkB BT T，热容，热容Cv=3NkCv=3NkB B=3R=3R是一个与是一个与温度和材料性质无关的常数温度和材料性质无关的常数 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律实验相关实验相关：固体的定容热容固体的定容热容 固体的平均内能固体的平均内能 固体内能包括固体内能包括晶格振动的能量晶格振动的能量和和电子热运动的能量电子热运动的能量实验结果：低温下，金属的热容实验结果：低温下，金属的热容 温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献 电子对比热的贡献电子对比热的贡献 晶格振动对比热的贡献晶格振动对比热的贡献 在高温下，这条定律与实验符合的很好。在高温下，这条定律与实验符合的很好。实验表明在低温时，热容量随温度迅速趋于零实验表明在低温时，热容量随温度迅速趋于零!实验结论：实验结论：固体的定容热容固体的定容热容 固体的平均内能固体的平均内能 固体内能包括固体内能包括晶格振动的能量晶格振动的能量和和电子热运动的能量电子热运动的能量 在高温下，热容在高温下，热容=3R，与理论结果一致。，与理论结果一致。在低温下，热容量随温度迅速趋于零在低温下，热容量随温度迅速趋于零!为了解决这一矛盾，爱因斯坦发展了普朗克的量子假说，第一次提出了量子的热容量理论，这项成就在量子理论发展中占有重要地位n低温下：n绝缘体热容与温度的关系为：CV=bT3n金属热容与温度的关系为：CV=bT3+T bT3是晶格热容，在低温下遵从徳拜T3定律。T 是自由电子热容。低温情况下，晶格热容不占绝对优势，因而不能忽略电子对热容的贡献。n高温下，金属和绝缘体热容=3R，可用经典热容理论描述。晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论根据量子理论，各个简谐振动的能量是量子化的，为把晶体视作一个热力学系统，在简谐近似下各简正坐标所代表的振动是相互独立的，因而可以认为这些振子构成近独立的子系，可直接写出它们的统计平均能量晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论 A.一个频率为一个频率为 j的的振动模对热容的贡献振动模对热容的贡献频率为频率为 j的的振动模由一系列量子能级为振动模由一系列量子能级为 组成组成 子体系子体系子体系处于量子态子体系处于量子态 的概率的概率频率频率 j格波的平均声子数格波的平均声子数一个振动模的平均能量一个振动模的平均能量 与晶格振动频率和温度有关系与晶格振动频率和温度有关系 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献振动模的平均能量振动模的平均能量1.高温极限高温极限 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献 忽略不计忽略不计Remarks:当振子能量远远大于能量的量子时，量子化的效应可能忽略2.低温极限低温极限 与实验结果相符与实验结果相符 一个振动模对热容贡献一个振动模对热容贡献Remarks:此时，振动被“冻结”在基态，很难被热激发，因而对热容的贡献趋于零B.晶体中有晶体中有3N个振动模，总的能量个振动模，总的能量晶体总的热容晶体总的热容爱因斯坦模型爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体，个原子构成的晶体，假设所有的原子以相同的频率假设所有的原子以相同的频率 0振动振动 一个振动模式的平均能量一个振动模式的平均能量晶体热容晶体热容总能量总能量)(30TkfNkCBBBVwh=爱因斯坦温度爱因斯坦温度 选选取取合合适适的的 E值值，在在较较大大温温度度变变化化的的范范围围内内，理理论论计计算的结果和实验结果相当好地符合算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体大多数固体 爱因斯坦热容函数爱因斯坦热容函数金刚石金刚石理论计算和实验结果比较理论计算和实验结果比较 1.温度较高时温度较高时 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符晶体热容晶体热容2.温度非常低时温度非常低时 按温度的指数形式降低按温度的指数形式降低实验测得结果实验测得结果 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别晶体热容晶体热容德拜模型德拜模型 Debye model1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布拉年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布拉伐晶格看作是各向同性的连续介质伐晶格看作是各向同性的连续介质 有有1个纵波和个纵波和2个独立的横波个独立的横波 不同不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模 不同的振动模，能量不同不同的振动模，能量不同色散关系色散关系考虑了频率分布考虑了频率分布三维晶格，态密度三维晶格，态密度 V:晶体体积晶体体积 受受边边界界条条件件限限制制波波矢矢q分分立立取取值值，允允许许的的取取值值在在q空空间间形成了均匀分布的点子形成了均匀分布的点子体积元体积元态的数目态的数目 q是近连续变化的是近连续变化的振动数目振动数目频率在频率在 之间振动模式的数目之间振动模式的数目 各向同性的介质各向同性的介质 频率也近似于连续取值频率也近似于连续取值 振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数 一个振动模的热容一个振动模的热容 晶体总的热容晶体总的热容 振动频率分布函数振动频率分布函数 和和 m的计算的计算频率在频率在 之间，纵波数目之间，纵波数目频率在频率在 之间，格波数目之间，格波数目频率在频率在 之间，横波数目之间，横波数目波矢的数值在波矢的数值在 之间的振动方式的数目之间的振动方式的数目频率分布函数频率分布函数格波总的数目格波总的数目频率在频率在 间，格波数目间，格波数目晶体总的热容晶体总的热容 德拜温度德拜温度晶体总的热容晶体总的热容 令令德拜热容函数德拜热容函数在高温极限下在高温极限下晶体总的热容晶体总的热容 与杜隆珀替定律一致与杜隆珀替定律一致德拜热容函数德拜热容函数低温极限低温极限 T3成正比成正比 德拜定律德拜定律 温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好 温度很低时，主要的只有长波格波的激发温度很低时，主要的只有长波格波的激发晶体热容晶体热容 晶体热容晶体热容 晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 不同频率的振动模对应不同的能量不同频率的振动模对应不同的能量给定晶体，总的振动模数目是一定的给定晶体，总的振动模数目是一定的按振动频率分布按振动频率分布 g()用晶格振动模式密度来描述用晶格振动模式密度来描述3.3.振动模式密度函数振动模式密度函数 钾的模式密度与德拜近似模式密度的比较 从振动模式密度，研究晶格热容、晶体电学、光学性质从振动模式密度，研究晶格热容、晶体电学、光学性质晶格振动模式密度晶格振动模式密度 单位频率间隔，振动模式的数目单位频率间隔，振动模式的数目 在在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度两个等频率面两个等频率面 和和之间的振动模式数目之间的振动模式数目根据根据做出一个等频率面做出一个等频率面频率是频率是q的连续函数的连续函数振动模式密度函数振动模式密度函数简单几种情况下振动模式密度的表示简单几种情况下振动模式密度的表示 例例1 一维单原子链一维单原子链 色散关系色散关系 最大频率最大频率振动模式密度振动模式密度一维情况下一维情况下考虑到一个频率可以有考虑到一个频率可以有 两个值两个值振动模式密度振动模式密度也可以直接由也可以直接由q空间的状态密度来计算空间的状态密度来计算状态密度状态密度振动模式密度振动模式密度例例2 德拜近似下的振动模式密度德拜近似下的振动模式密度 振动频率与波矢成正比振动频率与波矢成正比例例3 色散关系色散关系 q空间的等频率面是一个球面，球面面积空间的等频率面是一个球面，球面面积振动模式密度振动模式密度 1）三维情形）三维情形2）二二维维情情况况，等频率是一个圆等频率是一个圆3）一维情况）一维情况振动模式密度振动模式密度如果色散关系如果色散关系三维情况振动模式密度三维情况振动模式密度二维情况振动模式密度二维情况振动模式密度一维情况振动模式密度一维情况振动模式密度在在 的一些点的一些点奇点奇点 范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点（布里渊区边界）范霍夫奇点，是晶体中一些高对称点（布里渊区边界）这些临界点与晶体的对称性密切相联这些临界点与晶体的对称性密切相联习题n3.6、3.7、3.8、3.10n在极低温下，不考虑光学波对热容的贡献合理吗？n爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？极低温下，德拜模型为什么与实验相符？补充内容-晶格振动的非简谐效应n非简谐效应n晶体的热传导n声子散射n声子散射与经典粒子散射的区别n热导率n倒逆过程对热传导的影响n晶体热膨胀非简谐效应n简谐近似下，晶格中的原子振动可看成是一系列线性独立的谐振子，意味振子之间不发生相互作用，即不存在能量交换。-这将无法解释热传导现象。n实际晶体中，原子间的相互作用力并不严格与原子位移成正比。即需要考虑原子相互作用力中的三次和更高次的非简谐项。-对于非平衡态向平衡态的转变问题（如热传导/热膨胀），需要引入非简谐项。n高次项的非谐作用可看成是对独立声子系统的微扰。n微扰项的存在使谐振子之间发生相互作用，即格波之间存在耦合，声子之间存在能量交换，或者说声子间会发生碰撞。声子散射图景n两个声子通过高阶非简谐项的作用，使格波之间交换能量而产生第三个声子，即两个声子相互碰撞（散射）产生第三个声子。n物理图像：晶格中存在一个声子相当于某一频率的格波在晶体中传播，将会引起晶格周期性的弹性形变，由于非简谐作用的影响，平均结果使晶体体积发生了改变，晶体体积模量收到弹性应变的限制。由于晶体体积模量的变化，在其中传播的第二个声子所对应的格波频率将发生改变，这个过程相当于第二个声子受第一个声子散射而产生了第三个声子。声子之间的碰撞遵循能量和准动量守恒定律：（正常过程正常过程Normalprocess）（倒逆过程倒逆过程Umklappprocess）或热导率热导系数与温度的关系热膨胀若将势能取到三次方项，则有由线膨胀系数的定义，得到