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建立“物理模型” 开拓解题思路

上海市曹杨中学（200333） 钭方健

在物理教学中，许多的物理定律和规律都是把实际的研究对象或物理过程抽象为理想化的物理模型，然后研究物理模型所涉及的物理量及其相互关系。由于物理试题是根据物理模型编拟出来的，所以解题时必须首先正确还原“物理模型”，并且能清晰地认识物理模型的本质特征。这样才能开拓解题思路，使学生举一反三，触类旁通，从题海中解脱出来。
高中物理习题中的“物理模型”有很多。在此仅从以下四个方面为例加以说明，以起抛砖引玉之功效。

一、建立“单摆”模型
[例1]如图1，一个光滑的圆弧形槽半径为Ｒ，圆弧所对的圆心角小于5°，AD长为ｓ，今有一个小球m1沿ＡＤ方向以初速度υ从Ａ点开始运动，要使小球m1可以与固定在D点的小球m2相碰撞，那么小球的速度υ应满足什么条件？
分析与解：乍看这题中没有提到单摆，但仔细分析可得到以下几点：

（1）因为圆弧所对的圆心角小于5°，所以小球的摆动可利用单摆模型处理。
（2）小球不仅摆动，而且由于惯性，小球在AD方向还作匀速直线运动，这两种运动具有独立性和等时性。
（3）由于摆动的周期性，所以小球沿AD方向的速度υ具有通解。
根据：
①
② 图1
由上面两式,得到速度：（n=1、2、3、、、、、）。
在单摆模型中，经常涉及到求单摆周期，那么关键要注意的取值问题。通过对众多情况的分析可以得到结论，等效重力加速度等于摆球在平衡位置上的“视重”所产生的加速度值。
[例2]如图2以下三种情况，摆线长都为Ｌ，小球的质量都为m，图2a小球系于与水平方向夹角为α的光滑斜面上；图2b小球悬在以加速度ａ下降的升降机的顶部；图2c小球带正电苛ｑ，放于匀强电场Ｅ中，拉开的角度都小于5°，分别求出单摆的周期Ｔ。

（a） （b） （c）
图2
对以上三种情况，关键是要求出等效重力加速度。
根据上面的总结，可以知道上面三种情况的“视重”分别为：

然后得到等效重力加速度分别为：　,　　,　，分别代入单摆周期公式，就可以分别求出周期为：

二、建立“圆周运动”模型
在中学物理中常常碰到一些要使物体恰好做圆周运动的问题，这就要抓住“临界条件”建立模型。比如一个质量为ｍ的小球，要使它恰好能沿光滑竖直圆环作圆周运动，小球的“最高点”是圆环的顶峰，这点的最小速度。而如果小球是套在光滑的圆环轨道上，则到“最高点”的最小速度。如在上面的装置中加上电场，物理仍恰好做圆周运动情况又是怎样的呢？
[例3]如图3a所示，一半径为R的绝缘圆形轨道竖直放置，圆轨道最低点与一条水平轨道相连，轨道都是光滑的，轨道所在的空间存在水平向右的匀强电场，场强为E，从水平轨道上的某点由静止释放一个质量为m带正电苛的小球A，小球受到的电场力的大小是重力的3/4倍，为使小球刚好在圆轨道内做圆周运动，求释放点距圆轨道最低点的距离。

分析与解：解题的关键是求小球刚好做圆周运动的临界条件，也就是小球通过“最高点”的最小速度，这道题的“最高点”是图3b中的D点，而D点的最小速度，是由电场力和重力的合力作为向心力提供：
∵
∴ ①
（a） （b）
② 图3
由①②式得到:

∵在C点:
∴图中
然后从A至D用动能定理,得:

将代入上式解出

物体要能做圆周运动,只要物体能通过竖直圆环的“最高点”即可,这里要特别注意“最高点”的含义,一般来说是物体静止时,合力为零位置的“对称点”，而这点的最小速度是物体所受外力（这时轨道对物体的弹力为零）的合力作为向心力求出的速度。如果上题中小球是套在圆环轨道上,那么υD=0，其它步骤完全相同。

三、建立“最短时间”模型
如图4a ，AD光滑与竖直线成θ角，D正好在以AB为直径的圆上，一个物体从A到D所用的时间t＝？滑到C点、E点时间又是多少呢？是否相等？
物体从A到D的过程中：　　　　　　 ①
　　　　　②
　　　　　 ③ 图4a
由以上三式求得：。

从表达式发现物体滑下的时间，只与R、g有关，而R、g是常量。所以得到结论，物体从圆的顶点沿不同的光滑轨道滑到圆上的任何一点，时间都相同。用这个结论来解题，有时可以免去许多繁锁的三角函数运算，简单直观。

[例4]如图4b，倾角为α的斜面上方有一定点A，现要使一质点从A点由静止沿一光滑斜槽到达斜面，则当斜槽和竖直方向夹角θ为多大时，质点从A点到达斜面所用时间最短？
分析与解：这道题如果用常规方法作，需要用到许多三角函数公式，比如两角和与差、正弦定理等等。现在用上面的结论来做，如图4b，在过A点的竖直线上找到圆心O，使得以OA为半径的圆O与斜面相切于P点。因为从A点到圆弧上的各点时间相等,但只有AP到达了斜面,所以沿AP方向滑下，到达斜面的时间最短。 图4b
由于OP垂直斜面，OP与竖直方向的夹角为α。
得到 。

四、建立“等效重力加速度”模型
如下图5在升降机的顶端悬挂了一个质量为m的小球，升降机运动的加速度的方向如下四个图所示，那么细绳的拉力、等效加速度等分别如下表：

图5a 图5c

图5b 图5d

图5

项目
图5a
图5b
图5c
图5d
拉力T

等效

方向
竖直向下
竖直向下
斜向右下
斜向左下

因此对以上四种情况，我们可以认为升降机没有动，而小球的重力加速度g变为等效重力加速度,也就是说小球仍可以看成处于平衡状态来分析,只是重力变为。用这种方法处理一些动力学问题显得简单明了。

[例5]如图6所示，木球和铁球分别用弹簧或细线系于充满水的封闭容器的底端或顶端，当容器运动的加速度分别如图所示，问木球和铁球将会向哪个方向运动？

分析与解：
图6a，因为当容器静止时：
当容器运动时：

∵ ∴ 即木球向上运动

图6b, 因为当容器静止时：
当容器运动时： 图6a 图6b
∵ ∴ 即铁球向下运动

图6c，加速度方向水平向右，根据上表知道是属于图5d情况，相当于容器不动，木球是在、、三力作用处于平衡状态。因为木球下端固定，所以木球向右运动。

图6c

图6d，因为加速度方向没有变，所以还是属于5d的情况，铁球也是在、、三力作用处于平衡状态。但铁球是上端固定，所以铁球向左运动。

还有加速度方向向下、向左的情况，根据上表，用同样的方法判断物体运动的方向，请同学们自己考虑。 图6d

从以上四个方面可以看出，认真审题，细致分析，明确物理情景，建立合适的“物理模型”，能迅速求得正确答案，同时又能让学生加深对所学知识的理解。

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