高数学-等差数列-.ppt

（第一课时）1.教学目标：l 1、掌握等差数列定义和通项公式;l 2、提高学生的归纳、猜想能力;l 3、联系生活中的数学。2.教学重点与难点：l难点对等差数列特点的理解、把握和应用l重点掌握对数列概念的理解、数列通项公式的推导及应用3.一、由具体例子归纳等差数列的定义看下面的数列：4，5，6，7，8，9，10 ；3，0，3，6，；下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种（表示鞋长、单位是cm）21，21 ，22，22 ，23，23 ，24，24 ，25;一张梯子从高到低每级的宽度依次为（单位cm）40，50，60，70，80，90，100；每级之间的高度相差分别为 40，40，40，40，40，40.从第2项起，每一项与前一项差都等于1这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。从第2项起，每一项与前一项差都等于3从第2项起，每一项与前一项差都等于10从第2项起，每一项与前一项差都等于0 问：这5个数列有什么共同特点？从第2项起，每一项与前一项差都等于 21 21 21 21 214.数学语言：anan1=d （d是常数，n2，nN*）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列,通常用A P表示。这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。5.二、由定义归纳通项公式a2 a1=d，a3 a2=d，a4 a3=d，.则 a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d由此得到 a n=a1+(n1)dan1an2=d,an an1=d.这（n1）个式子迭加an a1=(n1)d当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当nN*时上式都成立，因而它就是等差数列an的通项公式。6.三、巩固通项公式an=a1+(n1)d(nN*)7.（一）求通项an若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an例如：a1=1,d=2,则 an=1+(n1)2=2n1已知等差数列8，5，2，求 an及a20解：a1=8,d=58=3a20=49an=8+(n1)(3)=3n+11练习：已知等差数列3，7，11，则 an=_ a4=_ a10=_a an n=a=a1 1+(n+(n1)d(n1)d(n N N*)4n-115398.(二)求首项a1例如：已知a20=49,d=3 则，由a20=a1+(201)(3)得a1=8练习：a4=15 d=3 则a1=_6a an n=a=a1 1+(n+(n1)d(n1)d(n N N*)9.(三)求项数n 例如：已知等差数列8，5，2问49是第几项?解：a1=8,d=3 则 an=8+(n1)(3)49=8+(n1)(3)得 n=20.是第20项.a an n=a=a1 1+(n+(n1)d(n1)d(n N N*)10.问400是不是等差数列5，9，13,的项？如果是，是第几项？解：a1=5,d=4 an=5+(n1)(4),则由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得 401=5+(n1)(4)成立所以400不是这个数列的项a an n=a=a1 1+(n+(n1)d(n1)d(n N N*)解之得 n=439911.解解2 2：这些三位数为：这些三位数为100100，101101，102102，999999可组成首可组成首 项项a a1 1=100=100，公差，公差d=1d=1，末项为，末项为a an n=999=999的等差数列。的等差数列。由由 a an n=a=a1 1+(n+(n1)1)1 1得得999=100+999=100+（n n1 1）1 1 n=999n=999100+1=900100+1=900 练习：10 100是不是等差数列2，9，16，的项？如果 是，是第几项？如果不是，说明理由.20 在正整数集合中，有多少个三位数？30 在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？a an n=a=a1 1+(n+(n1)d(n1)d(n N N*)解解3 3：这些数组成首项：这些数组成首项a a1 1=105,=105,公差公差 d=7 d=7的等差数列。的等差数列。a an n=105+(n=105+(n1)1)7 7 又又a an n999999 即即 105+(n 105+(n1)1)7999 7999 解得解得 n128 n128 n n N N*n n最大为最大为128128，故共有故共有128128个。个。75解1:a1 1=2,a2 2=9,a3 3=16,d=7,an =2+(n-1)=100 n=15.是第15项.12.(四)求公差d例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。由题意知 a1=33,a12=110,n=12 由 an=a1+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7从而可求出 a2=33+7=40 a3=40+7=47 a4=54。总结：在 an=a1+(n1)d nN*中，有an,a1,n,d 四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？a an n=a=a1 1+(n+(n1)d(n1)d(n N N*)13.（五）小综合在等差数列an中已知a5=10,a12=31,求a1、d及an an=2+(n1)3=3n5知识延伸：由定义，可知：a6=a5+d a7=a6+d=a5+2d=a5+(75)d a8=a7+d=a5+3d=a5+(85)d a12=a5+(125)d猜想：任意两项an和am之间的 关系：an=am+(nm)d证明：am=a1+(m1)d an=a1+(m1)d+(nm)d =a1+(n1)d本题也可以这样处理：由a12=a5+(125)d 得 31=10+7d d=3 又 a5=a1+4d a1=2解：由an=a1+(n1)d得 a5=a1+4d=10 a1=2 a12=a1+11d=31 d=314.练习：等差数列an中,已知 a3=9,且 a9=3,则 a12=_ 课后思考：能否对上面的结论进行推广：若ap=q 且aq=p(pq)则ap+q=0?015.四、能力培养：两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，求：这两个数列相同项的个数解法一：已知两个等差数列 an:5，8，11，公差为3 bn:3，7，11，公差为4 通项公式分别是an=5+(n1)3=3n+2 bn=3+(n1)4=4n1假设an的第n项与bn的第k项相同，即 an=bk 则 3n+2=4k1 n=k1 nN*k必是3的倍数 k=3,6,9,12,，组成新的等差数列cn而相应的 n=3,7,11,15,，组成新的等差数列dn 即 a3=b3,a7=b6,a11=b9,a15=b12，又因为这两个数列最多只有100项，所以 cn=3+(n1)3100 n100/3=33 n25 dn=3+(n1)4100 n101/4=25 又 nN*这两个数列共有25项相同。31 41 4116.解法二：已知两个等差数列an：5，8，11，和bn：3,7,11,则 通项公式分别是an=5+(n1)3 bn=3+(n1)4观察：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=11,公差d=12的等差数列cn 又 a100=5+(1001)3=302 b100=3+(1001)4=399因为，相同的项不大于a100和b100中的较小者，所以，cn=11+(n1)12302 得 n25 又 nN*故这两个数列中相同的项共有25个。4117.五、要点扫描：本节课主要学习 等差数列的定义：“从第2 项起，后项 与前一项差为常数”通项公式：an=a1+(n1)d （nN*）18.六、作业：P118 1,2,4,5,另：已知两个等差数列5，7，9，和 3,6，9，共有100项。求这两个数列相同项的个数。19.