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2025年数学乙卷文科试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 函数$f(x)=\frac{1}{x - 1}$的定义域是（ ）
A. $x\neq1$ B. $x\gt1$ C. $x\lt1$ D. $x\geq1$
2. 已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（ ）
A. 5 B. 7 C. 11 D. 13
3. 抛物线$y = 2x^2$的准线方程是（ ）
A. $x = -\frac{1}{8}$ B. $x = -\frac{1}{4}$ C. $y = -\frac{1}{8}$ D. $y = -\frac{1}{4}$
4. 若$\sin\alpha = \frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，则$\cos\alpha$的值为（ ）
A. $-\frac{4}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $-\frac{3}{5}$ D. $\frac{3}{5}$
5. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n = n^2$，则$a_5$的值为（ ）
A. 9 B. 11 C. 15 D. 17
6. 直线$3x + 4y - 5 = 0$与圆$x^2 + y^2 = 1$的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
7. 函数$y = \log_2(x + 1)$的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知$\tan\alpha = 2$，则$\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$的值为（ ）
A. 3 B. -3 C. $\frac{1}{3}$ D. $-\frac{1}{3}$
9. 椭圆$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$的离心率为（ ）
A. $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{3}{5}$
10. 已知函数$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，当$x\gt0$时，$f(x)=x^2 - 2x$，则当$x\lt0$时，$f(x)$的解析式为（ ）
A. $f(x)= -x^2 - 2x$ B. $f(x)=x^2 + 2x$ C. $f(x)= -x^2 + 2x$ D. $f(x)=x^2 - 2x$

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. $y x^3$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = 2x$ D. $y = \sin x$
2. 已知集合$A = \{x|x^2 - 3x + 2\lt0\}$，$B = \{x|x\gt1\}$，则（ ）
A. $A\subseteq B$ B. $B\subseteq A$ C. $A\cap B = B$ D. $A\cup B = A$
3. 已知直线$l_1:ax + 2y + 1 = 0$，$l_2:x + (a - 1)y - a = 0$，则下列说法正确的是（ ）
A. 当$a = 2$时，$l_1\parallel l_2$ B 当$a = -1$时，$l_1\perp l_2$ C. 当$a = 0$时，$l_1$与$l_2$相交 D. 当$a = 1$时，$l_1$与$l_2$重合
4. 已知$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，则下列说法正确的是（ ）
A. 若$a^2 + b^2\lt c^2$，则$\triangle ABC$是钝角三角形 B. 若$a = b\sin A$，则$B = \frac{\pi}{2}$ C. 若$A\gt B$，则$\sin A\gt\sin B$ D. 若$a = 2$，$b = 3$，$c = 4$则$\cos C = -\frac{1}{4}$
5. 已知函数$f(x)=x^3 + ax^2 + bx + c$，则下列说法正确的是（ ）
A. 若$f(x)$在$x = 1$处取得极值，则$f^\prime(1)=0$ B. 若$f(x)$在$R$上单调递增，则$f^\prime(x)\geq0$恒成立 C. 若$f(x)$有三个零点，则$f(x)$的图象与$x$轴有三个交点 D. 若$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称，则$f(1)=0$
6. 已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，则下列说法正确的是（ ）
A. 若$q\gt1$，则数列$\{a_n\}$单调递增 B. 若$0\lt q\lt1$，则数列$\{a_n\}$单调递减 C. 在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1\gt0$，$q\gt0$，则数列$\{a_n\}$单调递增 D. 在等比数列$\{a_n\}$中，若$a_1\lt0$，$q\gt1$，则数列$\{a_n\}$单调递减
7. 已知圆$C:x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆$C$的圆心坐标为$(1,2)$ B. 圆$C$的半径为$2$ C. 圆$C$与直线$x + y - 2 = 0$相交 D. 圆$C$与直线$x - y - 2 = 0$相切
8. 已知函数$y = \sin(2x + \varphi)$，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为$\pi$ B. 当$\varphi = \frac{\pi}{2}$时，函数为偶函数 C. 函数图象的一条对称轴为$x = \frac{\pi}{4}$ D. 函数图象的一个对称中心为$(\frac{\pi}{8},0)$
9. 已知双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$的离心率为$e$，则下列说法正确的是（ ）
A. $e\gt1$ B. $e = \frac{c}{a}$ C. $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ D. 双曲线的渐近线方程为$y = \pm\frac{b}{a}x$
10. 已知函数$f(x)$满足$f(x + 2)=f(x)$，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数$f(x)$的周期为$2$ B. 函数$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称 C. 函数$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称 D. 若$f(1)=2$，则$f(3)=2$

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=( - 1,2)$，则$2\vec{a} - 3\vec{b} =$______。
2. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2 + 1,x\leq0\\ - 2x,x\gt0\end{cases}$，则$f(f(1)) =$______。
3. 已知椭圆$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$上一点$P$到椭圆一个焦点的距离为$3$，则点$P$到另一个焦点的距离为______。
4. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n + 1}=2a_n + 1$，$a_1 = 1$，则$a_5 =$______。

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 空集是任何集合的真子集。（ ）
2. 若函数$f(x)$在区间$(ab)$上单调递增，则$f^\prime(x)\gt0$在区间$(a,b)$上恒成立。（ ）
3. 若向量$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则$\vec{a}=0$或$\vec{b}=0$。（ ）
4. 抛物线$y = ax^2$的焦点坐标为$(0,\frac{1}{4a})$。（ ）
5. 若$\sin\alpha = \sin\beta$，则$\alpha = \beta$。（ ）
6. 若数列$\{a_n\}$是等差数列，则其通项公式$a_n$一定是关于$n$的一次函数。（ ）
7. 若直线$l$与圆$C$相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径。（ ）

8. 函数$y = \cos x$是偶函数。（ ）
9. 若双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$的渐近线方程为$y = \pm\frac{b}{a}x$，则其离心率$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$。（ ）
10. 若函数$f(x)$满足$f(x + 1)=f(x - 1)$，则函数$f(x)$的周期为$2$。（ ）

五、简答题(总共4题，每题5分)
1. 已知函数$f(x)=x^2 - 2x + 3$，求函数$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。
2. 已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=( - 3,4)$，求向量$\vec{a}$与$\vec{b}$夹角的余弦值。
3. 已知椭圆$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，求其离心率和焦点坐标。
4. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n = n^2 + 2n$，求数列$\{a_n\}$的通项公式。

答案与解析
一、单项选择题
1. A。分母不为零，所以$x - 1\neq0$，即$x\neq1$，选A。
2. D。$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3 +