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2025年数学高级教资试题及答案

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 函数$f(x)=\frac{1}{x - 2}$的定义域是（ ）
A. $x\neq2$ B. $x\gt2$ C. $x\lt2$ D. $x\geq2$
2. 下列哪个是等差数列的通项公式（ ）
A. $a_n = a_1+(n - 1)d$ B. $a_n = a_1q^{n - 1}$ C. $S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ D. $a_n = a_{n - 1}+a_{n + 1}$
3. 已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$等于（ ）
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
4. 抛物线$y = 2x^2$的焦点坐标是（ ）
A. $(0,\frac{1}{4})$ B. $(0,\frac{1}{8})$ C. $(\frac{1}{4},0)$ D. $(\frac{1}{8},0)$
5. 函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期是（ ）
A. $\pi$ B. $2\pi$ C. $\frac{\pi}{2}$ D. $\frac{2\pi}{3}$
6. 若$x^2 + y^2 = 1$，则$x + y$的值域是（ ）
A. $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ B. $[-1,1]$ C. $[0,\sqrt{2}]$ D. $[-\sqrt{2},0]$
7. 已知函数$f(x)$是奇函数，且$f(1)=2$，则$f(-1)$等于（ ）
A. -2 B. 2 C. 0 D. 1
8. 直线$3x + 4y - 5 = 0$的斜率是（ ）
A. $\frac{3}{4}$ B. $-\frac{3}{4}$ C. $\frac{4}{3}$ D. $-\frac{4}{3}$
9. 不等式$x^2 - 3x + 2\lt0$的解集是（ ）
A. $(1,2)$ B. $(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$ C. $(-2,-1)$ D. $(-\infty,-2)\cup(-1,+\infty)$
10. 若$\log_2x = 3$，则$x$等于（ ）
A. $6$ B. $8$ C. $9$ D. $12$

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 下列函数中，是偶函数的有（ ）
A. $y = x^2$ B. $y=\cos x$ C. $y = x^3$ D. $y=\sin x$
2. 下列哪些是等比数列的性质（ ）
A. 若$m,n,p,q\in N^+$，且$m + n = p + q$，则$a_m\cdot a_n = a_p\cdot a_q$
B. 若$m,n,p\in N^+$，且$m + n = 2p$，则$a_m\cdot a_n = a_p^2$
C. 若$\{a_n\}$，$\{b_n\}$是等比数列，则$\{a_n\cdot b_n\}$也是等比数列
D. 若$\{a_n\}$是等比数列，则$\{a_n^2\}$也是等比数列
3. 下列向量运算正确的有（ ）
A. $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ B. $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ C. $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a}+k\vec{b}$ D. $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
4. 下列曲线中，关于原点对称的有（ ）
A. $y = x^3$ B. $y=\frac{1}{x}$ C. $y = x^2$ D. $y=\sin x$
5. 下列函数中，在定义域内单调递增的有（ ）
A. $y = 2^x$ B. $y=\ln x$ C. $y = x^3$ D. $y=\sin x$
6. 已知圆的方程为$(x - 1)^2+(y + 2)^2 = 4$，则（ ）
A. 圆心坐标为$(1,-2)$ B. 半径为2 C. 圆心坐标为$(-1,2)$ D. 半径为4
7. 若直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = r^2$相切，则（ ）
A. 圆心到直线的距离等于半径 B. $b^2 = r^2(1 + k^2)$ C. 直线与圆有两个交点 D. 直线与圆没有交点
8. 下列不等式中，正确的有（ ）
A. $x^2 + 1\geq2x$ B. $x^2 + x + 1\gt0$ C. $\frac{x^2 + 1}{x}\geq2$（$x\gt0$） D. $x^2 - 2x + 3\lt0$
9. 已知函数$f(x)$满足$f(x + 1)=f(x - 1)$，则（ ）
A. $f(x)$是周期函数 B. 周期为2 C. 周期为4 D. $f(x)$不是周期函数
10. 若$\tan\alpha = 2$，则（ ）
A. $\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ B. $\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$ C. $\sin2\alpha=\frac{4}{5}$ D. $\cos2\alpha=-\frac{3}{5}$

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n = 2n^2 - n$，则$a_3 =$______。
2. 函数$y = \sqrt{4 - x^2}$的定义域是______。
3. 已知向量$\vec{a}=(3, - 1)$，$\vec{b}=(1,2)$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$夹角的余弦值为______。
4. 若函数$f(x)=x^3 - 3x + 1$，则$f(x)$的极大值为______。

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 函数$y = \frac{1}{\sqrt{x}}$在定义域内既是奇函数又是偶函数。（ ）
2. 若数列$\{a_n\}$是等差数列，则其通项公式$a_n$一定是关于$n$的一次函数。（ ）
3. 向量$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，则$\vec{a}=0$或$\vec{b}=0$。（ ）
4. 抛物线$y = ax^2$（$a\neq0$）的准线方程是$y = -\frac{1}{4a}$。（ ）
5. 函数$y=\sin x$的图像关于直线$x=\frac{\pi}{2}$对称。（ ）
6. 若$x\gt0$，$y\gt0$，则$\frac{x + y}{2}\geq\sqrt{xy}$。（ ）
7. 已知函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增，且$f(a)\lt f(b)$，则$f(x)$在区间$[a,b]$上有最小值$f(a)$。（ ）
8. 直线$Ax + By + C = 0$（$A,B$不同时为0）一定可以化为斜截式方程。（ ）
9. 若$\log_aM\lt\log_aN$，则$M\lt N$。（ ）
10. 函数$y = \cos x$的最小正周期是$2\pi$。（ ）

五、简答题(总共4题，每题5分)
1. 简述等差数列和等比数列的定义。
2. 如何求函数的定义域？
3. 请说明向量数量积的几何意义。
4. 简述利用导数求函数极值的步骤。

答案与解析
一、单项选择题
1. A。分母不能为0，所以$x - 2\neq0$，即$x\neq2$，选A。
2. A。等差数列通项公式为$a_n = a_1+(n - 1)d$，选A。
3. A。$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3 + 2\times4 =