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2025年宁海高考数学试题及答案

2025年宁海高考数学模拟试卷

一、单项选择题(总共10题，每题2分)
1. 已知集合$A = \{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}$，$B = \{x|x^2 - ax + a - 1 = 0\}$，若$A\cap B = B$，则实数$a$的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 1或2
2. 函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1 - x}} + \ln(x + 1)$的定义域是（ ）
A. $(-1,1)$ B. $(-1,1]$ C. $[-1,1)$ D. $[-1,1]$
3. 已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,-1)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 若函数$y = \sin(\omega x + \frac{\pi}{3})$的最小正周期为$\pi$，则$\omega$的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知数列$\{a_n\}$是等差数列，$a_1 = 1$，$a_3 = 5$，则公差$d$的值为 ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）
A. $y = \pm \frac{1}{2}x$ B. $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$ C. $y = \pm \sqrt{3}x$ D. $y = \pm 2x$
7. 已知函数$f(x)$是奇函数，当$x \gt 0$时，$f(x) = x^2 - 2x$，则当$x \lt 0$时，$f(x)$的表达式为（ ）
A. $f(x) = -x^2 2x$ B. $f(x) = -x^2 + 2x$ C. $f(x) = x^2 - 2x$ D. $f(x) = x^2 + 2x$
8. 已知圆$C$的方程为$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$，则圆心坐标为（ ）
A. $(1,2)$ B. $(-1,-2)$ C. $(2,1)$ D. $(-2,-1)$
9. 已知函数$y = f(x)$的图象如图所示，则$f(x)$的解析式可能是（ ）
A. $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ B. $f(x) = x + 1$ C. $f(x) = x^2 + 1$ D. $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 1}$
10. 已知$a = \log_2 3$，$b = \log_3 4$，$c = \log_4 5$，则（ ）
A. $a \gt b \gt c$ B. $a \lt b \lt c$ C. $a = b = c$ D. 无法比较

二、多项选择题(总共10题，每题2分)
1. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. $y = x^3$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = 2x$ D. $y = \sin x$
2. 已知直线$l_1ax + y - 1 = 0$，$l_2:(a + 2)x - 3y + 1 = 0$，若$l_1\parallel l_2$，则$a$的值为（ ）
A. -3 B. 1 C. -1 D. 3
3. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，离心率为$e$，过$F_2$的直线与椭圆交于$A,B$两点，若$\triangle ABF_1$的周长为8，则椭圆的方程可能为（ ）
A. $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ B. \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ C. $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ D. $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$
4. 已知函数$f(x) = \sin(2x + \varphi)$，若$f(x)$为偶函数，则$\varphi$的值可能为（ ）
A. $\frac{\pi}{2}$ B. $\pi$ C. $\frac{3\pi}{2}$ D. $2\pi$
5. 已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n + 1} = 2a_n + 1$，$a_1 = 1$，则$a_n的通项公式为（ ）
A. $a_n = n$ B. $a_n = 2^n - 1$ C. $a_n = 2^n + 1$ D. $a_n = 2n - 1$
6. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f(x)$的值域为（）
A. $(0,1]$ B. $[0,1)$ C. $(0,1)$ D. $[0,1]$
7. 已知圆$C:x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$，直线$l:3x - 4y + k = 0$，若直线$l$与圆$C$相切，则$k$的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 11 D -11
8. 已知函数$f(x) = \begin{cases}x^2 + 1,x \geq 0\\ -x^2 + 1,x \lt 0\end{cases}$，则$f(x)$的图象关于（ ）对称
A. $x$轴 B. $y$轴 C. 原点 D. 直线$y = x$
9. 已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(2,m)$，若$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$，则$m$的值为（ ）
A. -1 B. 1 C. -4 D. 4
10. 已知函数$f(x) = \log_a(2x - 1)$，若$f(x)$在区间$[1,2]$上恒有$f(x) \gt 0$，则$a$的取值范围是（ ）
A. $(1,+\infty)$ B. $(0,1)$ C. $( \frac{1}{2},1)$ D. $( \frac{1}{2},+\infty)$

三、填空题(总共4题，每题5分)
1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f(x)$的极大值为______。
2. 已知直线$l$过点$(1,2)$，且斜率为3，则直线$l$的方程为______。
3. 已知双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$的一条渐近线方程为$y = \frac{3}{4}x$，则双曲线的离心率为______。
4. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n = 2n^2 - n$，则$a_n$的通项公式为______。

四、判断题(总共10题，每题2分)
1. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$在其定义域上是减函数。（ ）
2. 若向量$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2 + y_1y_2$。（ ）
3. 椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$的长轴长为$2a$。（ ）
4. 函数$y = \sin x$的最小正周期为$2\pi$。（ ）
5. 已知数列$\{a_n\}$是等差数列，若$a_1 = 1$，$a_2 = 2$，则公差$d = 1$。（ ）
6. 双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$的渐近线方程为$y = \pm \frac{b}{a}x$。（ ）
7. 函数$f(x) = x^2$在$R$上是偶函数。（ ）
8. 已知圆$C$的方程为$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$，则圆心坐标为$(1,2)$，半径为2。（ ）
9. 若函数$y = f(x)$满足$f(-x) = -f(x)$恒成立，则$f(x)$是奇函数。（ ）
10. 已知函数$f(x) = \log_a x$，若$f(2) = 1$，则$a = 2$。（ ）

五、简答题(总共４题，每题5分)
1. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 3$，求$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。
2. 已知直线$l$过点$P(2,3)$，且与直线$x - y + 1 = 0$垂直，求直线$l$的方程。
3. 已知椭圆$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$，求其离心率和焦点坐标。
4. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n - 1$，求其前$n$项和$S_n$。

答案与解析

一、单项选择题
1. 答案：C。解析：先求解集合$A=\{1,2\}$，由$A\cap B = B$得$B\subseteq A$，对集合$B$中的方程因式分解得$(x - 1)[x-(a - 1)] = 0$，解得$x = 1$或$x = a - 1$，所以$a - 1 = 1$或$a - 1 = 2$，即$a = 2$或$a = 3$。
2. 答案：A。解析：要使函数有意义，则$\begin{cases}1 - x \gt 0\\x + 1 \gt 0\end{cases}$，解得$-1 \lt x \lt 1$，所以定义域是$(-1,1)$。
3. 答案：A。解析：根据向量数量积公式$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times2 + 2\times(-1)=0$。
4. 答案：B。解析：由正弦函数最小正周期公式$T=\frac{2\pi}{\omega}=\pi$，解得$\omega = 2$。
5. 答案：B。解析：根据等差数列通项公式$a_n=a_1+(n - 1)d$，$a_3 = a_1 + 2d$，即$5 = 1 + 2d$，解得$d = 2$。
6. 答案：C。解析：离心率$e=\frac{c}{a}=2$，$c = 2a$，又$c^2 = a^2 + b^2$，所以$b=\sqrt{3}a$，渐近线方程为$y = \pm \frac{b}{a}x=\pm \sqrt{