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二次函数动点问题常见题型解法探究张伟(山东省邹城市第六中学 2 7 3 5 0 0)【摘要】二次函数是初中阶段学生数学知识体系中的重要构成,以其为基础的相关题型也丰富多变,其中动点问题既是考试的重点内容,也是学生失分的重灾区.本文总结二次函数动点问题中常见的面积问题、线段问题、三角形问题及相似图形问题相关解题策略,供学生参考,以提高学生的解题效率.【关键词】动点问题;二次函数;解题在对学生二次函数知识的考查中,往往会融合其他知识,以达到对学生综合能力考查的目的.而在诸多题型中,动点问题无疑是重要的一类,同时也是学生较为惧怕的一类.动点问题不仅考查学生对二次函数、图形知识的掌握及计算能力,还考查了学生的抽象思维等学科素养.二次函数动点问题是因函数图象上移动的点所引发的,题型也是复杂多变,因此学生对这一问题的掌握并不理想,在考试中错误率较高.因此,本文系统性地总结了二次函数动点问题的常见题型及解题策略,以促进学生对知识的掌握.1 面积问题面积问题是二次函数动点知识考查中最为常见的一个题型,是对学生二次函数及图形知识的综合考查,同时也要注意动点的取值范围,而后根据相关条件建立关系便可进一步解答.在解答面积问题时,学生需具备较强的空间思维能力及计算能力,把握动点的运动对图象的影响,如此便可快速解答问题.例1 如图1,抛物线y=x2+b x+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C,(1)求抛物线解析式;(2)若D为抛物线一点,且SA B D=2SA B C,求D坐标.解(1)将点A(-1,0),B(3,0)坐标代入y=x2+b x+c,可解得b=-2,c=-3,则抛物线的解析式为y=x2-2x-3.图1(2)因为A B D与A B C拥有共同的边A B,故要想SA B D=2SA B C,仅需其A B边上的高比值为2,因为D在抛物线上,所以设其为D(m,m2-2m-3),因为y=x2-2x-3,将x=0代入,可得C点坐标为(0,-3),则SA B C=1243=6,则SA B D=124(m2-2m-3)=1 2,即m2-2m-3=6,求出m便可得D点坐标.2 线段问题二次函数中动点线段问题总体可以分为两类,即一个动点和两个动点.无论哪一类问题,题目中都大概率会涉及到二次函数以外的其他函数,故在解答这类问题时,学生要灵活运用函数相关的知识,将线段长短问题转化为一个二次函数的表达式,而后结合题目中的信息进行解答.例2 如图2,点N为抛物线y=-x2+2x+3上一动点,且在线段B C上方,B C上有一动点M,62 数理天地 初中版解题技巧2 0 2 3年1 0月上若MNy轴,则MN的最值为多少?图2解析 因为抛物线y=-x2+2x+3,可得B(3,0),C(0,3),则线段B C的解析式为y=-x+3,因M在线段B C上,则设其坐标为(m,-m+3),因N为y=-x2+2x+3上动点,则设其坐标为(m,-m2+2m+3),当MNy轴时,MN的长度则为二者纵坐标的差,设MN的长度为函数LMN,则LMN=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m,整理可得LMN=-(m-1.5)2+2.2 5,可知函数LMN为开口向下的二次函数,故MN最大值为2.2 5,无最小值.3 三角形问题在解答二次函数中动点引起的三角形问题时,重点并不在于函数,而是需要学生掌握三角形相关的各种知识,以此结合二次函数进行分析,联立求解,便可得到答案.例3 如图3,二次函数交坐标轴于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,P为直线B C下方抛物线上一动点.(1)求二次函数解析式;(2)是否存在点P,使PO C是以O C为底的等腰三角形,求其坐标.解(1)设函数解析式为y=a x2+b x+c,将A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点代入,可解得a=1,b=-3,c=-4,故函数解析式为y=x2-3x-4.图3(2)因PO C是以O C为底的等腰三角形,则P点应位于O C的垂直平分线上,因为O C=4,故点P的纵坐标为-2,因为点P在抛物线上,则可将y=-2代入到解析式中,则有x2-3x-4=-2,同时,因其在直线B C下方,故应舍去小于0的根,解得x=3+1 72,故存在点P使PO C是以O C为底的等腰三角形,P点坐标为(3+1 72,-2).4 结语综上所述,本文系统性地总结了二次函数动点问题中常见的面积问题、线段问题、三角形问题及相似图形问题,并对其进行了实际的讲解.总体来说,学生要想解答这类问题,首先要对二次函数、一次函数、三角形、多边形等基础知识有一个完整的认识,在此基础之上熟练掌握各种题型的解题原理、过程,如此便可快速解答相关问题.参考文献:1 李惠平.二次函数动点问题的教学设计J.数理天地(初中版),2 0 2 2(0 3):7 7-7 8.2胡雅雯.二次函数中动点图形的面积最值问题探究J.中学数学,2 0 2 2(2 2):3 6-3 8.3 王伟.二次函数面积有关题型分析J.数理化学习(初中版),2 0 2 1(1 2):1 5-1 6.4王珍.探讨初中数学二次函数动点问题的教学策略J.中学数学,2 0 2 1(2 0):6 4-6 5.722 0 2 3年1 0月上解题技巧 数理天地 初中版