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magnetic field.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2023,55(8):1618-1626Dong Shuai,Shi Xiaomeng,Wang Lebing,Li Sen,Li Shunzhi,Wu Zhengren.Exact coherent states in channel flow under normal引用格式：董帅，史晓梦，王乐冰，李森，李顺治，吴正人.法向磁场作用下槽道流内的精确相干2023,55(8):1618-1626流体力学Aug,2023Chinese Journal ofiedMechanicsheoreltical2023年8 月Vol.55,No.8力第55卷第8 期报学学法向磁场作用下槽道流内的精确相干态董帅*,t,2)史晓梦*王乐冰*李森*李李顺治*吴正人*，*(华北电力大学能源动力与机械工程学院，河北保定0 7 1 0 0 3)t(华北电力大学河北省低碳高效发电技术重点实验室，河北保定0 7 1 0 0 3)摘要要层流-湍流转换过程一直以来都是流体力学的研究热点，精确相干态对于预测转换路径和理解流自维持动力循环过程具有重要的意义.为了研究法向磁场对槽道流转换过程的影响，文章利用直接数值模拟方法结合二分法，在槽道泊肃叶流中寻找不同雷诺数和哈特曼数组合下的精确相干态-周期轨道解，并对施加磁场前后精确相干态的结构与形态进行了对比分析.结果发现，在本文考虑的参数组合下，精确相干结构在施加磁场前后并无明显变化，均由位于通道中心的流向条带及其两侧的流向漩涡构成.随雷诺数的增大，精确相干态的轨道周期变长，而扰动能振幅则减小.当磁场强度增大时，流场内各方向上的扰动能呈周期性振荡变化，且流场内的相干结构向两侧的壁面迁移，扰动速度振幅增大.无磁场作用时，精确相干态的扰动能正比于Re-2.36，且不同Re数下的均方根扰动速度分布具有相似性.施加法向磁场后，上述标度律不变，均方根速度分布不再具有相似性，精确相干态的扰动能随磁场强度增加而增大，表明磁场对扰动具有一定的抑制作用，从而使流场保持相对的稳定.关键词精确相干态，法向磁场，槽道流，二分法，转换中图分类号：0 3 51.2文献标识码：Adoi:10.6052/0459-1879-23-055EXACT COHERENT STATES IN CHANNEL FLOW UNDER NORMAL MAGNETICFIELDI)Dong Shuai*,t,2)Shi Xiaomeng*VWang Lebing*Li Sen*Li Shunzhi*VWu Zhengren*,t(School of Energy,Power and Mechanical Engineering,North China Electric Power University,Baoding 071003,Hebei,China)(Hebei Key Laboratory of Low Carbon and High Eficiency Power Generation Technology,North China Electric Power University,Baoding 071003,Hebei,China)Abstract Laminar-turbulent subcritical transition has been always a hot issue in fluid mechanics.Exact coherent statesare important for predicting the path of transition and understanding the cycle of turbulent self-sustaining.The exactcoherent states-periodic orbits solution with different Reynolds number and Hartmann number combinations are found inplane Poiseuille flow by using direct numerical simulation combined with bisection method.Then compared the structureand morphology of these solutions under the parameter combination considered.According to the results,they are notsignificantly different whether a normal magnetic field is applied.All of them consist of streaks and vortices on both2023-02-23收稿，2 0 2 3-0 6-2 0 录用，2 0 2 3-0 6-2 1 网络版发表1)国家自然科学基金(1 2 1 7 2 1 2 9)和中央高校基本科研业务费专项资金(2 0 2 1 MS081)资助项目.2)通讯作者：董帅，副教授，研究方向为磁流体力学的数值模拟与稳定性分析.E-mail:1619第8 期董帅等：法向磁场作用下槽道流内的精确相干态sides which located in the center of the channel.The period increases and the amplitude decreases with the Reynoldsnumber.The perturbation energy in all directions oscillates periodically,the coherent structure migrates to the wall onboth sides and the amplitude of disturbance velocity increases with the strength of magnetic field increasing.Theperturbation energy of the exact coherent state is proportional to Re-2.36 when there is no magnetic field and the rescaledrms amplitudes at different Reynolds number are similar.The above scaling law does not change but the rms velocitydistribution is not similar anymore and the perturbation energy of the exact coherent state increases with the magneticfield strength.It indicates that the magnetic has a certain suppression of the disturbance so that the flow field remainsrelativelystable.Keywordsexact coherent states,normal magnetic field,channel flow,bisection method,transition引言流演化机理及层流一湍流转换过程一直以来都是流体力学中值得深入研究的两个问题.一方面湍流有着广泛的应用背景，从输运的减阻到行星边界层的动力学 1,横跨多个时间和空间尺度；另一方面虽然N-S方程是完全确定的，但是想要准确预测湍流的时间演化情况则是很困难的.近期研究结果发现 2,相干结构广泛存在于各类流之中，识别并跟踪相干结构的时空演变，可为湍流的机理研究和层流一湍流转过程的预测开辟新的途径.流场内的相干结构的提取，一方面可以直接对DNS或实验数据进行分析，通过涡识别方法 3 获取.此外，还可以通过DNS结合动力学方法 4 获取，本文采用的是后一种方法.Waleffe5首次获得了槽道泊肃叶流动的N-S方程非线性解，其典型特征是流向条带及其两侧的流向漩涡结构以固定的速度向下游传播，并且该结构具有一定的对称性.这与Jeong等 6 从DNS湍流场中直接提取的相干结构极为相似,因此Waleffe将其称为精确相干态(ECS),相应的流场结构称为精确相干结构.Nagata等 7 通过同伦变换方法将泰勒-库埃特流的解变换为槽道库埃特流的解，获得了ECS及其流场结构.Busse等 8 对瑞利-贝纳德对流采用同样的方法获得了与Nagata形式相同的解，上述这些ECS同为一类解，统称为NBCW（n a g a t a-busse-clever-waleffe）解.后来在圆管中也发现了对应的NBCW解 9-1 0,表明ECS在各种剪切流动中的普遍性.ECS通常是不稳定的，很难在实验中观测到，但Hof等 1 通过精细实验首次在圆管流动中捕捉到了ECS，相关成果发表在Science上，得到了广泛报道与认可.最近的研究结果表明,ECS的形式多样，包括但不限于上述的行波解、平衡态、周期轨道及其包络等.有些学者认为，湍流是在这些ECS之间穿梭 1 2,从而维持一定幅度的脉动.Toh等 1 3 采用二分法获得了槽道泊肃叶流动中的一个周期轨道解,Kreilos等 1 4 在渐近吸力边界层内也发现了类似的非定常ECS,它们的一个共同特征是均存在猝发过程 1 5.上述研究主要是针对低雷诺数流动,ECS结构多位于壁面附近，由于外区湍流也存在相似的自维持动力循环过程 1 6,一个自然的猜想是寻找外区的ECS.Hwang等 1 7 采用大涡模拟(LES)方法获取了Re,1000的槽道泊肃叶流动中的ECS.Yang等 1 8 随后的研究结果表明，外区ECS与NBCW解隶属于同一族解的不同分支，这些解都具有自相似特征，可以用Townsend 的经典附面涡模型解释 1 9-2 0,磁流体动力学是一门研究磁场和流场相互作用的学科，在天体物理、电磁冶金和热核聚变反应堆等方面有着广泛的应用 2 1.磁场作用下，流场内的物理变量在垂直于场强方向上的分量被抑制，而平行于场强方向的分量则基本不受影响.因而在磁场作用下的流大多呈现一定的各向异性，这是磁流体流的一个典型特征 2 2.已有的研究结果表明,磁场作用下槽道流的亚临界转换过程与无磁场作用时差别不大，转换机理基本相同 2 3.那么，磁场作用下的ECS与无磁场作用时是否一致或相似？目前尚未有这方面研究的报道，为此本文采用高精度的直接数值模拟搜寻槽道流内的ECS，并详细考察磁场对ECS 的影响.1物理模型与方程密度为p和运动黏度为的不可压缩黏性流体在高度为2 h的通道中由于压力驱动流动，在垂直于力16202023年第55卷报学学流动的z方向上施加法向均匀磁场B进行数值模拟.值得注意的是与施加的均匀法向磁场相比，由流动引起的感生磁场强度要小的多，可以忽略不计，即满足低磁雷诺数假设 2 4.简化后的无量纲控制方程组为 2 5Vu=0ou1Ha+uVu=-Vp+tHaRRj=-Vo+uxez(1)V?=V.(uxez)=ez(Vxu)z=l,u=V=W=0z其中，u为速度矢量，其在x,y,z3个方向上的分量为u,v,w;p为压强;j为电流密度；为电势.式中，Re=uh/v,Ha=Bh/(o/po)/2,R=RelHa.本文中的 x,y,z分别对应流向、展向和法向方向.上下壁面设置无滑移边界条件，流向和展向方向上设置周期性边界条件.初始条件设置为层流泊肃叶流动受到一个振幅为A1的流向漩涡叠加振幅为A2的展向波扰动oUo=(U(2),0,0)+A1/0,+A2(0,0,Wsin)gy2元yo(y,z)=(1-2)sin(z)sinL2元xWsin(x,z)=(1-2)sin(2)其中,o(y,z)是与流向漩涡有关的流函数,sin(x,z)是与展向波有关的波函数.为方便讨论与比较，初始速度场U与层流泊肃叶流动具有相同的质量流量.根据文献建议 2 6,在计算中保持A1/A2=1/10,当A1较大时，流场受到初始扰动激发，转换至湍流；当A1较小时，流场经过瞬态增长，最终回落到层流；当AI取合适的值时，即可获得流场中的相对周期轨道解.以上寻优过程可通过二分法进行，直至A1满足一定的精度要求,本文要求|4 1 l1.010-10.2计算结果2.1无磁场时的周期轨道解首先，通过直接数值模拟和二分法，获取了无磁场作用下的槽道流精确相干态，并与文献结果 2 6 进行了对比.槽道流计算区域尺寸为2 元2.4 2，Re数的变化范围为3 0 0 0 8 0 0 0.为了精确求解ECS的流场结构，我们采用了高精度的伪谱方法求解控制方程组(1)2 5.在水平方向上，由于是周期性边界条件，对求解变量进行了傅里叶级数展开；在法向方向上，由于壁面边界条件的限制，对求解变量进行了切比雪夫多项式展开.在时间步进上，对线性项采用了隐式欧拉向后差分格式，对非线性项则采用了显式亚当斯-巴什弗恩(Adams-Bashforth)差分格式.我们测试了不同的网格节点数NN,N,=323232,323264,646464,发现3 2 3 2 32网格数较少无法获得精确相干态，而6 4 6 4 64网格数耗费时间较长，因此最终将网格节点数设置为3 2 3 2 6 4.考虑到线性稳定性分析获得的临界雷诺数 Re。=57 7 2 2 7-2 8,低于这一临界值时层流泊肃叶流动对于无穷小扰动都是线性稳定的.而在实际过程中，流场中的扰动是有限小而不是无穷小，当施加的扰动振幅较大时会导致流动转换至湍流，即发生亚临界转换 2 9,当施加的扰动振幅较小时,流场经过瞬态变化最终会回落到层流.通过对初始扰动的振幅A1进行二分法优化，可在合适的A1值附近获取槽道流的精确相干态，结果如图1 所示.图1 中的参数雷诺数Re=3000,K=Ep/E,E=1/VJ,(u2+v2+w2)dV为流场总能量,Ep=1/VJu-uam）+2+w dV为总扰动能.K数值较大时(约为0.0 1 5),流场为湍流;K数值较小时(低于1.0 10-5),流场为层流.图中a到f,A1依次减小,其中曲线a对应A1为2.7 3 4 3 7 5，曲线f对应A1为2.50549316406.显而易见，A1较大时，流场快速转0.0700.0151E-2ab1E-3d1E-4e1E一02000400060008000图1 Re=3000时不同A1值下流场的扰动演化过程Fig.1 The disturbance evolution process of flow field at different ArwhenRe=30001621第8 期董帅等：法向磁场作用下槽道流内的精确相干态至流，A1较小时，流场快速回落至层流.当A1靠近Ar时,流场经历振荡,最终过渡至流(A1Ar),例如曲线a,b,或回落至层流(Ai400时，一般认为，法向磁场作用下的槽道流，流场为流；R400时，流场为层流 1 4.因此,我们在Re=25008 0 0 0,H a=0 10的范围内进行了搜索，可以找到ECS的参数组合如图6 所示.不同Ha数下的K-Re数据点及其拟合曲线如图7 所示，曲线对应精确相干态的扰动能，大于该值则流场最终转换至端流，小于该值则流场最终回落至层流.无磁场作用时，K正比于Re-2.36,这与Farano等 3 3 的研究结果一致.随磁场强度增加,ECS的扰动能K增加，这是由于磁场对扰动具有一定的抑制作用，从而使流场保持相对的稳定.但是可以看出不同Ha数下的拟合曲线基本平行,这说明施加的法向磁场只改变K值的大小，并不影响K随7can not find ECScan find ECS65432102500300040005000600070008000Re图6 不同Re和Ha数下，可（未)找到ECS示意图Fig.6 The schematic diagram of ECS can(not)be found at differentRe and Ha1E-51E-6Ha=0Ha=1Ha=2H a=31E-300040005000600070008000Re图7 不同Re和Ha数下，精确相干态的扰动能Fig.7 Perturbation energy of the exact coherent state at differentRe and HaRe数的变化规律.图8(a)所示，同一Re数下ECS的周期随着Ha数的增大而减小.观测扰动能的周期性变化如图8(b),则会发现，随着Ha数的增大,扰动能量在一个轨道周期内的波动增大,图9(a)所示的 vl-lull曲线也揭示了这一点.当磁场强度较小时(H=1),Ilvl-lul曲线形状基本与无磁场时一致,磁场强度较大时(Ha=3),I/vl-lull曲线形状发生变化,平均速度分量扰动能的波动近似于正弦曲线.从bc，lulliv!同时减小;从da,llul/v同时增大,这一变化趋势明显与无磁场作用时不同.观测该循环中EwEv，Ew 变化如图9(b)所示，则会发现相比于无磁场u,v速度分量能量变化明显，w速度分量能量变化较小.这主要是由于法向磁场对垂直于场强方向的速度分量(u,v)产生了抑制作用，而对平行于场强方向的速度分量w基本无作用.磁场强度较弱时(Ha=1)，该效应作用微弱，对流场基本无影响；磁场较强时,该效应作用效果明显.对比图3(a)和图9(a)可以2400200016001200Re=3000Re=4000Re=5000-Re=6000800Re=7000Re=880000123456Ha(a)周期随Ha和Re变化(a)The period varies with Ha and Re10-48Ha=0-Ha=2-Ha=46K4200025003000t(b)Re=5000时能量波动随Ha的变化(b)Energy fluctuations vary with Ha at Re=5000图8 周期及能量波动随H数的变化Fig.8 Period and energy fluctuations with Ha力162420233年第55卷报学学Re=30005.5b5.0Ca三4.5Ha=3d4.0Ha=23.5Ha=Hat,RIHa=01146810121416182010-/1(a)Re=3000时，法向磁场强度变化时 lv1-lull的轨道周期解(a)The convergence periodic solution represented on the|l/vl-llullwhen the normal magnetic field strength changes at Re=300010-50.0060.00540.00430.0032b0.002C0.001d0020002200240026002800t(b)Re=3000,Ha=3时Eu,Ev,Ew的变化(b)The change of Ew,E,Ewat Re=3000,Ha=3图9 法向磁场对周期解振幅以及各扰动能分量的影响Fig.9 Effect of normal magnetic field on the amplitude of the periodicsolution and the perturbation energy in each direction看出，随着Re数(或R数)的增大,扰动能量在一个轨道周期内的波动减小，这一趋势与文献 2 6 一致.Re=3000时，施加磁场后不同Ha数下，一个时间周期内的均方根扰动速度分布如图1 0 所示.随着磁场强度的变化，不同方向的扰动速度分布不再具有相似性，这与无磁场时区别明显.观察图1 0(a)和图1 0(b)发现，随着Ha数增大，流向方向上的扰动速度峰值不再位于z=1/2处，而是逐渐向两侧的壁面偏移，展向方向上的扰动速度分布呈现同样的变化趋势.以上结果表明在法向磁场作用下，流向漩涡向壁面迁移,Ilvll-llu曲线也在磁场作用下发生了变化(如图9 所示).磁场作用下的流场内的相干结构如图1 1 所示，图1 1(a)图1 1(d)显示了循环过程中的流场分布，分别对应图9 中Ha=3曲线上的点d.从图1 1(a)中可以看到明显的流向漩涡，此时的漩涡振幅较大，蓝色和红色分别代表了流向涡量max的4 1%.543SUI2Ha=0Ha=11Ha=2Ha=30-1.0-0.500.51.0Z(a)0.160.12SLLLI0.080.040-1.0-0.500.51.0Z(b)1.00.80.6SULI0.40.20-1.0-0.500.51.0Z(c)图1 0 Re=3000时法向磁场下基于一个周期统计平均的均方根扰动速度分布:(a),(b),(c)依次为流向、展向、法向上的分量Fig.10 The root mean square perturbation velocity distribution is basedon a period statistical average at Re=3000 in normal magnetic field:thestreamwise,wall-normal and spanwise components are reported in panels(a),(b)and(c),respectively图1 1(c）中绿色为流向条带结构，代表流向速度umax的9 3%,流向漩涡结构较为微弱,这是因为漩涡振幅非常低.经历图1 1(a)到图1 1(d)循环后,流向漩涡在在展向方向上移动L,/2，这与图5中无磁场时一致，但磁场作用下流场中的漩涡结构更为明显，这可能是由于磁场效应所致.1625第8 期董帅等：法向磁场作用下槽道流内的精确相干态X(a)X(b)X(c)X(d)图1 1 Re=3000,Ha=3时周期轨道对应的流场结构演化过程Fig.11The evolution process of the flow field structure correspondingto the periodic orbit at Re=3000,Ha=33结论ECS的发现将流体力学中长期以来两个独立的分支端流和转换联系在一起，亚临界转换中的精确相干结构与充分发展流中的精确相干结构相似 3 4,都由流向条带和漩涡构成.本文利用DNS结合动力学方法对施加法向磁场前后槽道流亚临界转过程中的ECS进行了研究，得到以下结论.(1)在无磁场流场中获得了周期性轨道解和相干结构后，在相同计算区域施加法向磁场对不同Re,Ha数的参数组合进行计算，发现随着Re数的增大，能够找到ECS的Ha数的最大值随之增大.Re数增大,ECS的扰动能减小;Ha数增大,ECS的扰动能反而增大.(2)施加的法向磁场对于流向、展向上的速度分量具有抑制作用，对于法向速度分量基本无影响，随着Re数(或R)的增大,轨道周期均增大，扰动能量在一个轨道周期内的波动减小.(3)由于磁场效应,Ha数较小时,Ilvil-lull平面流向条带和漩涡的振幅变化曲线形状与无磁场时相似；Ha数增加至一定值，扰动能变化近似于正弦曲线，与无磁场相比,ECS的相干结构由于磁场效应也会更加明显.参考文献1 Graham MD,Floryan D.Exact coherent states and the nonlinear dy-namics of wall-bounded turbulent flows.Annual Review of FluidMechanics,2021,53(1):227-2532 Ahmed MA,Sharma AS.Basis for finding exact coherent states.Physical Review E,2020,101:0122133 Zhou J,Adrian RJ,Balachandar S,et al.Mechanisms for generatingcoherent packets of hairpin vortices in channel flow.Journal of Flu-id Mechanic,1999,387(25):353-3964 Toh S,Itano T.The dynamics of bursting process in wall turbulence.Journal of the Physical Society of Japan,2001,70(3):703-7165Waleffe F.Exact coherent structures in channel flow.Journal of Flu-id 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