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对一道平面向量试题的解法的探究刘池楼(江苏省兴化市楚水实验学校 2 2 5 7 0 0)【摘要】一题多解是数学教师在解题教学中常用的一种教学方式.其有利于拓宽学生的视野,发展学生的思维品质,提升学生的核心素养.教学中,教师应立足例题的典型性,引导学生多维思考,开阔学生的思路,促进学生深刻理解与考题相关联的不同知识点,进而提升处理此类问题的解题能力,发展学生的核心素养.【关键词】平面向量;高中数学;解题技巧由于平面向量具有“形”和“数”两种形态1,所以求解数量积问题时,可关注平面向量的几何意义的应用,获取求解思路;亦可关注平面向量的坐标运算的应用,获取求解思路.请结合如下问题的多解探究,认真领会,以便迅速提升处理此类问题的解题能力2.好题采撷 如图1所示,在凸四边形A B C D中,O为A C的中点,G为A B C的重心,且满足B AB C=3 2,|A C|=4,O G+O D=0,求ADC D的值.图1多解探究 因为O G+O D=0,所以可得G,O,D三点共线,且O为G D的中点.根据三角形重心的定义以及题意“O为A C的中点,G为A B C的重心”可得B,G,O三点共线.从而,必 有B,G,O,D四 点 共 线,且B O=3G O=3D O.解法一 连接A G,根据O为A C的中点,O为G D的中点可得A GC D,且A G=C D,所以C D=G A.因为G为A B C的重心,所以B G=2G O,所以可得A G=13A B+23A O=13A B+2312A C=-13B A+13(B C-B A)=13B C-23B A.于是,可知C D=-A G=23B A-13B C.又AD=B D-B A=43B O-B A=4312(B A+B C)-B A=23B C-13B A,所 以ADC D=23B C-13B A 23B A-13B C =-29B C2-29B A2+59B AB C=-29(B C2+B A2)+593 2=-29|B C|2+|B A|2 +1 6 09.因为A C=B C-B A,所以平方得|A C|2=|B C|2+|B A|2-2B CB A,代值得|A C|2=|B C|2+|B A|2-23 2,即|B C|2+|B A|2=8 0.综上,所求ADC D=-298 0+1 6 09=0.点评 该解法的切入点是选择一组基底(向量B A,B C),解 题 关 键 是 将 目 标 问 题 转 化 为 关 于|B C|,|B A|的运算问题,显然对向量形式的化简、运算要求较高.解法二 如图2所示,建立平面直角坐标系x A y,则由题设知点A(0,0),C(4,0).设点B(x,y),则A B C的 重 心G的 坐 标为4+x3,y3 .712 0 2 3年1 0月上例题精讲 数理天地 高中版设点D(m,n),则由G O=O D,得2-4+x3,-y3 =(m-2,n),所以2-4+x3=m-2,-y3=n,所以m=8-x3,n=-y3,所以点D8-x3,-y3 .于是,AD=8-x3,-y3 ,C D=-x+43,-y3 .所以ADC D=(x-8)(x+4)9+y29=19(x2+y2-4x-3 2).因为B A=(-x,-y),B C=(4-x,-y),所以由B AB C=3 2,得-x(4-x)+y2=3 2,即x2+y2-4x-3 2=0.综上,所求ADC D=190=0.图2 图3点评 该解法选取点A作为坐标原点,设出点B的坐标,有利于借助平面向量的坐标运算,顺利求解目标问题.解法三 根据题意,可建立如图3所示的平面直角坐标系xO y,则A(-2,0),C(2,0).设点D(x,y),则由O G+O D=0,可得O G=D O=(-x,-y).从而,O B=3O G=(-3x,-3y),所以点B(-3x,-3y),所以B A=(3x-2,3y),B C=(3x+2,3y).于是,由B AB C=3 2,可得(3x-2)(3x+2)+9y2=3 2,即x2+y2=4.又AD=(x+2,y),C D=(x-2,y),故所求ADC D=(x+2)(x-2)+y2=x2+y2-4=0.点评 该解法选取点O作为坐标原点,设出点D的坐标,有利于优化解法二的解题思路.一般地,建系方式不同,设点坐标的方式不同,往往会影响解题过程的繁与简.结语综上,处理平面向量中的求值问题,往往有两个常用思路:一是向量形式的运算求值,对解题技能要求较高3;二是借助向量的坐标运算,达到化简求值之目的,实施方便一些4.参考文献:1 吕松涛,曹广福.高中向量教学中数学思想的渗透J.数学教育学报,2 0 2 1,3 0(0 4):1 9-2 4.2张瑾.基于核心素养的高中数学单元教学设计研究D.西安:陕西师范大学,2 0 1 9.3高琴.构造向量 优化思维J.高考(综合版),2 0 1 4(0 2):9 2-9 3.4朱书莉.基于S O L O分类理论对高中生向量学习的研究D.重庆:西南大学,2 0 2 0.数理天地2 0 2 3年合订本征订启事为便于读者朋友连续阅读,数理天地(初中版、高中版)2 0 2 3年将继续推出精装合订本,合订本将按季度出版,于当年4月、7月、1 0月和次年1月发行,每册邮购价1 4 0元,全年邮购价5 6 0元。合订本数量有限,为了不影响您阅读使用,请务必一次订购全年4册,每册出版后即刻通过邮局寄出。数理天地(初、高中版)2 0 2 0、2 0 2 1年合订本有售,邮购价1 0 0元/本。2 0 2 2年合订本有售,邮购价1 4 0元/本。数理天地(初、高中版)2 0 1 9-2 0 2 1年各期单行本邮购价7.5元/本;2 0 2 2-2 0 2 3年各期单行本邮购价2 0元/本。汇款请寄:北京市昌平区东小口都市芳园锦湖园独栋1 0号.邮编:1 0 2 2 0 9收款人:数理天地 杂志社。从我社邮购请务必挂号(即书款总额加挂号费3元),并在汇款单附言栏内注明购刊明细。咨询电话:[phone]转3。81 数理天地 高中版例题精讲2 0 2 3年1 0月上