多元复合函数求导法则的条件分析.pdf

第2 5卷第3期2 0 2 3年9月暋暋暋暋暋辽宁师专学报(自然科学版)J o u r n a l o fL i a o n i n gN o r m a lC o l l e g e s(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)暋暋暋暋V o l 灡 2 5 N o 灡 3S e p棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁棁灡2023收稿日期:2 0 2 30 61 0作者简介:王瑞星(1 9 9 0-),男,陕西榆林市人,讲师,主要从事并行数值算法方面研究.*通讯作者:吴克坚(1 9 8 3-),男,甘肃白银市人,副教授,主要从事生物统计及临床试验统计方法方面研究.基金项目:空军军医大学基础医学院“人才建设行动计划暠公共教研室骨干人才(2 0 2 1-0 2)暰 基础理论研究 暱多元复合函数求导法则的条件分析王瑞星,吴克坚*(空军军医大学 基础医学院,陕西 西安7 1 0 0 3 2)暋暋摘暋要:针对在教学过程中普遍存在的学生对多元复合函数求导法则成立的条件理解不够深入的问题,首先通过举反例的形式说明了一元复合函数求导法则的条件不可以直接应用到多元复合函数求导,然后重点对比分析了多元复合函数求导法则成立的4种不同条件,并给出了条件最强的定理的证明过程.通过对4种不同条件的分析,可以促使学生在学习过程中加深对多元复合函数求导法则的理解,强化对多元函数可导、可微、偏导数连续之间关系的掌握,也为教师有效地开展课堂教学提供参考.关键词:多元复合函数;链式法则;可微中图分类号:O 1 7 2 灡 1暋暋文献标识码:A暋暋文章编号:1 0 0 8-5 6 8 8(2 0 2 3)0 3-0 0 0 6-0 40暋引言不论是一元还是多元,复合函数的求导向来是微分学的教学重点,同时也是初学高等数学的本科学生的一个难点1.在实际教学过程中发现,学生在学习多元复合函数求导法则的时候,只关注复合函数如何求导、如何记住复合函数的求导公式,而对于这个公式成立的条件很少去分析2.虽然,在实际练习时求多元复合函数的导数大部分题目都默认这个定理的条件是满足的,链式法则也是成立的3,但是这样仅仅关注结论而忽略结论成立的条件是不利于学生对多元函数微分学的进一步理解,同时针对多元函数可偏导、可全微分、偏导数连续之间关系的理解也是比较单一而不全面的.针对这一问题4,本文重点分析了多元复合函数求导法则的4种不同条件,并对这4种不同条件之间的区别与联系进行了分析,便于加深学生对多元复合函数求导法则的理解,同时也能进一步明晰多元函数可导、可微、偏导数连续之间的关系,从整体角度来把握多元函数微分学的学习.1暋一元复合函数求导法则的条件与多元复合函数求导法则的条件比较对于一元复合函数的求导,高等数学教材中有这样的定理:定理5暋如果函数u=g(x)在点x可导,而y=f(u)在点u=g(x)可导,那么复合函数y=fg(x)在点x可导且其导数为dydx=f 曚(u)u 曚(x)或dydx=dydududx.对于上述定理,可知如果内层函数在某一点处可导,外层函数在对应点也可导,那么复合之后的函数在相应点处也是可导的,而且这个定理还可以推广到多层复合的情形.这样的结论对于王瑞星,等多元复合函数求导法则的条件分析7暋暋暋暋多元复合函数还成立么?也就是说,对于多元复合函数,如果内层函数在某点处偏导数存在,外层函数在对应点处偏导数也存在,这样的复合函数的求偏导公式还成立吗?带着这样的问题,可以分析一下下面这个“2暳1暠形式的二元复合函数在(0,0)处的偏导数.设函数z=f(u,v)=u2vu2+v2,u2+v2曎00,u2+v2=0,其中u=氄(x,y)=x,v=氉(x,y)=x,求灥z灥x(0,0).解:由u=氄(x,y)=x、v=氉(x,y)=x在(0,0)处偏导数存在,并且氄x=(0,0)=氉x(0,0)=1,当(x,y)=(0,0)时,(u,v)=(0,0),所以灥z灥u(0,0)=fu(0,0)=l i m殼x曻0f(0+殼u,0)-f(0,0)殼u=0.同理fv(0,0)=0.如果在等同于一元复合函数求导法则的条件下,多元复合函数求导法则也成立,即函数u=氄(x,y)及v=氉(x,y)在点(0,0)处可偏导,函数z=f(u,v)在对应点(0,0)处也可偏导,那么复合函数y=f氄(x,y),氉(x,y)在点(0,0)的两个偏导数都存在,且有灥z灥x=灥z灥u灥u灥x+灥z灥v灥v灥x.将值代入上述公式得灥z灥x(0,0)=fu(0,0)氄x(0,0)+fv(0,0)氉x(0,0)=0,上述计算结果是错误的6.对于这个复合函数求导,直接将u=氄(x,y)=x,v=氉(x,y)=x代入z=f(u,v),复合函数为z=f(u,v)=f氄(x,y),氉(x,y)=f(x,x)=x32x2=x2,从而有灥z灥x(0,0)=dzdx(0,0)=12曎fu(0,0)氄x(0,0)+fv(0,0)氉x(0,0)=0.由上述推导过程可知,不能将一元复合函数的求导法则的条件直接应用到多元复合函数的求导,因为对于多元复合函数的链式求导法则,仅仅要求内层函数和外层函数可偏导的条件是不能保证链式法则的成立,还需要将条件进一步强化.2暋多元复合函数求导法则的条件分析通过分析目前国内应用较广泛的几类高等数学和数学分析教材发现,对于多元复合函数求导的链式法则成立的条件表述不尽相同,大致可以分为以下4类:定理17灢8暋如果函数u=氄(x,y)及v=氉(x,y)在点(x,y)具有连续偏导数,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)也具有连续偏导数,那么复合函数z=f氄(x,y),氉(x,y)在点(x,y)也有连续偏导数,且有灥z灥x=灥z灥u灥u灥x+灥z灥v灥v灥x,灥z灥y=灥z灥u灥u灥y+灥z灥v灥v灥y.证明:首先令y保持不变,看作常数,给x一个增量殼x,且殼x曎0,这时,函数u=氄(x,y)和v=氉(x,y)将有相应的偏增量8暋暋暋暋辽宁师专学报(自然科学版)2 0 2 3年第3期殼u=氄(x+殼x,y)-氄(x,y),殼v=氉(x+殼x,y)-氉(x,y).由于u有增量殼u,v有增量殼v,函数z=f(u,v)将有对应的全增量殼z,又由于z=f(u,v)在点(u,v)具有连续偏导数,根据函数可微的充分条件,易得z=f(u,v)在点(u,v)处可微,因此根据函数可微的定义得殼z=灥z灥u殼u+灥z灥v殼v+毰1殼u+毰2殼v,其中:毰1和毰2是当(殼u,殼v)曻(0,0)时的无穷小量.对上式两边同时除以殼x,得殼z殼x=灥z灥u殼u殼x+灥z灥v殼v殼x+毰1殼u殼x+毰2殼v殼x.当殼x曻0时,(殼u,殼v)曻(0,0),并且殼u殼x曻灥u灥x,殼v殼x曻灥v灥x,所以有灥z灥x=灥z灥u灥u灥x+灥z灥v灥v灥x.同理可证灥z灥y=灥z灥u灥u灥y+灥z灥v灥v灥y.定理29暋如果函数u=氄(x,y)及v=氉(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,那么复合函数y=f氄(x,y),氉(x,y)的两个偏导数都存在,且有灥z灥x=灥z灥u灥u灥x+灥z灥v灥v灥x,灥z灥y=灥z灥u灥u灥y+灥z灥v灥v灥y.定理31 0暋如果函数u=氄(x,y)及v=氉(x,y)在点(x,y)处可微,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处也可微,那么复合函数y=f氄(x,y),氉(x,y)在点(x,y)的两个偏导数都存在,且有灥z灥x=灥z灥u灥u灥x+灥z灥v灥v灥x,灥z灥y=灥z灥u灥u灥y+灥z灥v灥v灥y.定理41 1灢1 2暋如果函数u=氄(x,y)及v=氉(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处也可微,那么复合函数y=f氄(x,y),氉(x,y)在点(x,y)的两个偏导数都存在,且有灥z灥x=灥z灥u灥u灥x+灥z灥v灥v灥x,灥z灥y=灥z灥u灥u灥y+灥z灥v灥v灥y.上述4个定理,只给出了定理1的详细证明,其余定理的证明方法类似.暋暋通过分析,发现4个定理的结论虽然都是相同的,都说明了多元复合函数求导的链式法则,但是定理的条件却表1暋不同定理的条件及结论对比类别内层函数u=氄(x,y)及v=氉(x,y)在点(x,y)处外层函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处结论定理1具有连续偏导数具有连续偏导数定理2对x及对y的偏导数具有连续偏导数定理3可微可微定理4对x及对y的偏导数可微灥z灥x=灥z灥u灥u灥x+灥z灥v灥v灥x灥z灥y=灥z灥u灥u灥y+灥z灥v灥v灥y互不相同,对比分析见表1.由多元函数偏导数连续是可微的充分条件可知,定理1的条件是最强的,定理4的条件最弱.定理2的条件中对外层函数z=f(u,v)的要求要强于定理3,而对内层函王瑞星,等多元复合函数求导法则的条件分析9暋暋暋暋数u=氄(x,y)和v=毤(x,y)的要求要弱于定理3,我们可以理解为是为了达到某种意义上的“互补暠.在一元函数中,由于可微和可导是等价的,因此定理3可以看作是一元复合函数求导法则对多元复合函数求导的直接推广.目前,高等数学教材中应用比较多的是定理2的表述,这种表述一方面易于理解和分析,另一方面在计算相应例题的时候也容易验证.3暋结论多元复合函数的求导作为多元函数微分学里一节重要的内容,不论是学生还是老师,都非常重视,尤其重视应用多元复合函数求导的链式法则来求解复合结构比较复杂的多元函数的导数,而且学生和老师将很大一部分精力都放在了相应的计算上,这时候就很容易忽视了对链式法则成立的条件的分析,从而导致在理解上的不全面.本文基于这一问题,通过查阅相关教材,分析了一元复合函数求导法则的条件和多元复合函数求导法则的条件的区别与联系,同时通过一道例题验证了一元复合函数的求导法则的条件不可以直接应用到多元复合函数的求导上.此外,进一步对多元复合函数求导法则的条件进行了重点剖析,分别给出了4种不同条件下的多元复合函数求导法则的表述.通过对这4种不同条件的分析以及最强条件下定理的证明,进一步总结和厘清了多元复合函数求导法则成立的不同条件,有助于学生对多元复合函数求导法则的理解,同时也从另一个角度明确了多元函数可导、可微、偏导数连续之间的关系,提升了学生对多元函数微分学的整体把握.对多元复合函数求导法则条件的分析,也可以帮助授课教师进一步完善授课内容,提升授课质量.参考文献:1教育部非数学类专业数学基础课程教学指导分委员会.工科类本科数学基础课程教学基本要求 J.大学数学,2 0 0 4,2 0(1):1 灢 6.2同济大学数学系.高等数学:上 M.7版.北京:高等教育出版社,2 0 1 4:8 9 灢 9 1.3江泽坚.数学分析:下 M.1版.北京:人民教育出版社,1 9 6 5:2 4 灢 2 8.4同济大学数学系.高等数学:下 M.7版.北京:高等教育出版社,2 0 1 4:7 8 灢 8 3.5黄中正.高等数学:下 M.2版.北京:人民教育出版社,1 9 7 8:1 7 灢 2 2.6李忠,方丽萍.数学分析教程:上 M.北京:高等教育出版社,2 0 0 8:3 8 6 灢 3 9 1.7马知恩,王绵森.高等数学疑难问题选讲 M.北京:高等教育出版社,2 0 1 4:1 9 0 灢 1 9 2.8上海师范大学数学系,中山大学数学力学系.高等数学:化、生、地类专业第2册 M.1版.北京:高等教育出版社,1 9 7 8:1 1 2 灢 1 1 7.9李建平,朱建民.高等数学:下 M.2版.北京:高等教育出版社,2 0 1 5:1 0 0 灢 1 0 4.1 0陈隽,李德新.多元复合函数求导链式法则证明的注记 J.高等数学研究,2 0 1 8,2 1(2):3 9 灢 4 0.1 1王红军,杨有龙.微分叠加原理在多元复合函数求导中的应用 J.大学数学,2 0 1 5,3 1(6):8 0 灢 8 2.1 2王勇,张浩.广义二阶导数和二阶混合偏导数之间的关系 J.大学数学,2 0 0 7,2 3(6):1 6 3 灢 1 6 5.C o n d i t i o n a l a n a l y s i so fd e r i v a t i o nr u l eo fm u l t i v a r i a t e c o m p o s i t e f u n c t i o nWANGR u i x i n g,WUK e j i a n(S c h o o l o fB a s i cM e d i c a lS c i e n c e,A i rF o r c eM e d i c a lU n i v e r s i t y,X i 曚 a nS h a a n x i 7 1 0 0 3 2)(下转7 9页)朱雪梅,等失效模式及效应分析对手术室压力性损伤及护理安全管理的影响7 9暋暋暋暋暋A b s t r a c t:I no r d e r t oe x p l o r et h ea p p l i c a t i o nv a l u eo f f a i l u r em o d ea n de f f e c ta n a l y s i s i nt h em a n a g e m e n to fs t r e s si n j u r i e sa n dn u r s i n gs a f e t yi nt h eo p e r a t i n gr o o m,1 3 6p a t i e n t sw h or e灢c e i v e ds u r g i c a l t r e a t m e n t i nT h eT h i r dP e o p l e 曚 sH o s p i t a l o fB e n g b uf r o mJ u n e2 0 2 1t oJ u n e2 0 2 2w e r es e l e c t e da s t h er e s e a r c ho b j e c t s,a n dw e r ed i v i d e d i n t oo b s e r v a t i o ng r o u pa n dc o n t r o lg r o u pb yr a n d o mn u m b e r t a b l em e t h o d,w i t h6 8c a s e s i ne a c hg r o u p.P a t i e n t s i n t h e c o n t r o l g r o u pw e r eg i v e nt h er o u t i n en u r s i n gc a r e i nt h eo p e r a t i n gr o o m,a n dp a t i e n t s i nt h eo b s e r v a t i o ng r o u pw e r eg i v e nt h en u r s i n g i n t e r v e n t i o n i nt h em a n a g e m e n tm o d eo f f a i l u r em o d ea n de f f e c t a n a l y s i sb a s e do nt h ea n a l y s i so f r i s kp r i o r i t yn u m b e ro f f a i l u r em o d e(R P N).T h e r e s u l t s s h o w e d t h a t t h e t o t a li n c i d e n c eo f s u r g i c a la d v e r s ee v e n t ss u c ha so p e r a t i n gr o o ms t r e s s i n j u r y,s u r g i c a l i n f e c t i o na n ds h a r p i n s t r u m e n t i n j u r y i nt h eo b s e r v a t i o ng r o u pw a ss i g n i f i c a n t l yl o w e r t h a nt h a t i nt h ec o n t r o lg r o u p(P0.0 5),w h i c hc o n c l u d e d t h a t t h ea p p l i c a t i o no f f a i l u r em o d ea n de f f e c t a n a l y s i sm a n灢a g e m e n tm o d e i no p e r a t i n g r o o mn u r s i n gc a nh e l p i m p r o v e t h e s a t i s f a c t i o no f s u r g e o n s a n d r e d u c et h eo c c u r r e n c eo f s u r g i c a l a d v e r s ee v e n t ss u c ha ss t r e s s i n j u r y,e t c.K e y w o r d s:o p e r a t i n gr o o m s t r e s si n j u r y;f a i l u r e m o d ea n de f f e c ta n a l y s i s;n u r s i n gs a f e t ym a n a g e m e n t;p r e v e n t i o n(责任编辑暋王暋巍棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈棈)(上接9页)暋暋A b s t r a c t:A s t h eg e n e r a l i z a t i o no f t h ed e r i v a t i o nc h a i nr u l eo fu n a r yc o m p o s i t e f u n c t i o n,t h ed e r i v a t i o nr u l eo fm u l t i v a r i a t ec o m p o s i t ef u n c t i o no c c u p i e sa ni m p o r t a n tp o s i t i o ni nd i f f e r e n t i a lc a l c u l u so fm u l t i v a r i a t e f u n c t i o na n de v e n i nt h ew h o l eh i g h e rm a t h e m a t i c s.I nv i e wo f t h ep r o b 灢l e m s t h a t t h e s t u d e n t sg e n e r a l l yd on o t h a v e ad e e pu n d e r s t a n d i n go f t h e c o n d i t i o n s f o r t h ed e r i v a灢t i o nr u l eo fm u l t i v a r i a t ec o m p o s i t e f u n c t i o n i nt h e t e a c h i n gp r o c e s s,t h ep a p e r f i r s te x p l a i n s t h a tt h ec o n d i t i o n s f o r t h ed e r i v a t i o no f u n a r yc o m p o s i t e f u n c t i o nc a n n o t b ed i r e c t l ya p p l i e d t o t h ed e r灢i v a t i o no fm u l t i v a r i a t e f u n c t i o nc o m p o s i t i o nb yt a k i n gc o u n t e r e x a m p l e s,a n dt h e nf o c u s e so nt h ec o m p a r a t i v ea n a l y s i so f f o u rd i f f e r e n t c o n d i t i o n s f o r t h ed e r i v a t i o nr u l eo fm u l t i v a r i a t ec o m p o s i t ef u n c t i o n,a n dg i v e s t h ep r o o fp r o c e s so f t h e t h e o r e m w i t ht h es t r o n g e s t c o n d i t i o n s.T h r o u g ht h ea n a l y s i so nf o u rd i f f e r e n tc o n d i t i o n s,t h es t u d e n t sc a nd e e p e nt h e i ru n d e r s t a n d i n go f t h ed e r i v a灢t i o nr u l eo fm u l t i v a r i a t ec o m p o s i t e f u n c t i o n i nt h e l e a r n i n gp r o c e s s,s t r e n g t h e nt h e i ru n d e r s t a n d灢i n go f t h er e l a t i o n s h i p sa m o n gt h ed e r i v a b i l i t y,d i f f e r e n t i a b i l i t ya n dp a r t i a ld e r i v a t i v ec o n t i n u i t yo fm u l t i v a r i a t e f u n c t i o n s,a n da l s op r o v i d er e f e r e n c ef o rt h et e a c h e r st oc a r r yo u t t h ec l a s s r o o mt e a c h i n ge f f e c t i v e l y.K e y w o r d s:m u l t i v a r i a t ec o m p o s i t e f u n c t i o n;c h a i nr u l e;d i f f e r e n t i a b i l i t y(责任编辑暋王暋巍)