计算机图形学电子教案c6.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第6章 曲线与曲面,6.1 基础知识,6.2 曲线曲面设计基础,6.3Bzier 曲线与曲面,6.4 B样条曲线与曲面,1,概述,工业产品的表面几何形状大致可分为两类：,一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清楚地表达。,另一类由自由曲面组成。如汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲线和曲面，不能用初等解析函数完全清楚地表达全部形状，需要构造新的函数来进行研究。,这些研究成果形成了计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)学科。,2,概述,样条(spline)是富有弹性的细木条或有机玻璃条。早期船舶、汽车、飞机放样时用压铁压在样条上的一系列型值点上，调整压铁达到设计要求后绘制其曲线，称为样条曲线。,3,概述,曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。,1962年法国雷诺汽车公司的Bzier提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF；,Pierre Bzier,此前de Casteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD系统中有同样的设计；,1963年美国波音公司的Ferguson曲线；,1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面；(图形学最高奖以Coons的名字命名),4,概述,1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法；,1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的 Versprille研究了有理B样条曲线曲面；,20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Spline，简称NURBS)；,1991年ISO正式颁布了国际标准STEP(产品模型数据转换标准)，,NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面,。,5,6.1 基础知识,1.曲线的表示形式,2.曲面的表示形式,3.连续性,4.插值、逼近、拟合和光顺,6,1.,曲线的表示形式,例如，直线的表示形式：,显示：,隐式：,参数形式：,矢量形式：,矩阵形式：,P,1,P,2,8,1.,曲线的表示形式,例如，,三次曲线参数方程的矢量和矩阵表示,：,9,1.,曲线的表示形式,显示和隐式的表示方法存在下述问题：,与坐标轴相关；,多值；如：x,2,+y,2,=R,2,会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)；,不便于计算机编程。,r(t,2,),r(t,1,),O,Y,X,Z,空间曲线,三维空间曲线可理解为一个动点的轨迹，位置矢量随参数 t 变化的关系就是一条空间曲线。,10,1.,曲线的表示形式,参数表示的优点：,便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去；,参数方程将自变量和各因变量完全分开，使得参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来。,规格化的参数变量t0,1，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界；,易于用矢量和矩阵表示，简化了计算。,11,1.,曲线的表示形式,参数表示的优点：,满足几何不变性的要求；,(曲线形状本质上与坐标系的选取无关，某些几何性质不随一定的坐标变换而变化的性质称为几何不变性),有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状；,对曲线、曲面进行几何变换，可对其参数方程直接进行几何变换；,便于处理斜率为无穷大的情形；,12,1.,曲线的表示形式,设三维坐标系Oxyz中，曲线的方程为：,或,定义P(t)的k阶导数P,k,(t)为：,对tt,0,，若P(t,0,)0，则称P(t,0,)为,正则点,。当曲线上所有点都是正则点时，称该曲线为,正则曲线,。以后如不特别指明，均假定讨论的都是正则曲线。,13,1.,曲线的表示形式,切,矢量P(t)：,反映曲线上各点的坐标变量关于参数的变化率。方向与曲线的变化方向一致。,P(t),P(t),P(t+t),P,P(0),P(1),R,Q,14,1.,曲线的表示形式,弧长s：,对正则曲线P=P(t)，定义,为,曲线从参数区间0t的弧长,。其中,是切矢量,P(t,0,),的长度。,P(0),P(t),151.,曲线的表示形式,s=s(t)存在反函数t=t(s)（证明过程略）。将其代入曲线的参数方程，得到同一曲线以其弧长s为参数的方程P=P(s)。,以弧长为参数的曲线方程称为,自然参数方程,。,从弧长的定义可看出，它即与参数t的选取无关，也与坐标系无关，从而以弧长为参数来表示曲线易于讨论曲线本身固有的性质。,本小节以后的讨论中，如不特别指出，曲线方程中的参数均是指弧长参数。,P(0),P(t),P(0),P(1),s,P(s),16,1.,曲线的表示形式,选择弧长s作为参数时，曲线的切矢量,为单位矢量，记为T(s)或T。,P,s,P(0),P(1),R,Q,T(s),极限情况下，,可认为P和s的长度相等。所以，,T(s)为单位矢量,。,17,1.,曲线的表示形式,单位切矢T对弧长 s求导，所得导矢dT/ds与切矢T相垂直，称为,曲率(矢量)k,。,其单位矢量称为曲线的单位主法矢，记为N(s)；,当|k(s)|,0时，曲率的倒数称为曲线的曲率半径，记为：,(s),有时候也将其模长|k(s)|简称为曲率，请根据上下文进行区分。,d,T(s+s),T(s),T(s+s),曲率的几何意义是曲线的单位切矢T对弧长的转动率T(s)，与N同向。如：直线曲率处处为0；圆的曲率为常数，曲率半径等于其半径。,18,1.,曲线的表示形式,矢量积 B=TN 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。称为曲线的,副法矢,。,记为B(s)。,过曲线上任一点P(s)，有3个两两垂直的单位矢量T、N、B，它们构成了曲线在P点处的,Frenet标架,（一个活动坐标系）。,由T和N张成的平面称为,密切平面,；由N和B张成的平面称为,法平面,；由T和B张成的平面称为,从切面,。,T,B,P,N,法平面,密切平面,从切面,密切园,19,对于平面曲线，密切面就是其所在平面，副法失B是固定不变的。,对于非平面曲线，B不再是常矢量，它的变化率：,反映了曲线的扭挠性质，记为,挠率,。,1.,曲线的表示形式,法平面,密切平面,从切面,T,N,B,P,T,1,B,1,N,1,N,0,B,0,T,0,B,1,20,1.,曲线的表示形式,反映曲线的扭挠程度，即曲线在该点处扭出密切面的速率。(在法平面内的扭转程度),大小等于副法失B(或密切平面)对于弧长s的转动率B(s)。,0，0,0。,也可,简单的理解为G,n,就是在满足G,n-1,时，在连接处的,n阶导数成比例,。也称为视觉连续，就是连接处看上去光滑。,29,3.连续性,对于曲面片，若两个曲面片在公共连接线上处处满足上述各类连续性条件，则两个曲面片之间有同样的结论。,曲面片1,曲面片2,u,v,C,2,G,2,C,n,连续保证,G,n,连续，但反过来不行。也就是说,C,n,连续的条件比,G,n,连续的条件要苛刻。,G,n,提供了更大的自由度。,30,插值：,给定一组有序的数据点P,i,，i=0,1,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点(型值点)，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线(Interpolate curve)。(如：线性插值、抛物线插值),逼近：,当型值点太多时，插值困难。构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点(但未必通过这些点)，反映出实验特性、变化规律和趋势等。,在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。,如：最小二乘法。,4.插值、逼近、拟合和光顺,31,4.插值、逼近、拟合和光顺,拟合：,并没有完整的定义和数学表示。在计算机图形学中，拟合是指在曲线、曲面设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。如：接近型值点(控制多边形)，看上去“光滑”、“光顺”等。,在使用中，有时候并不严格区分“逼近”、“拟合”这两个概念。,光顺(Fairing)：,至今仍是一个模糊的概念，尚无统一的标准。通俗的说就是指曲线的拐点不能太多，看上去“顺眼”。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：,具有二阶几何连续性(G,2,)；,不存在多余拐点和奇异点；,曲率变化较小。,32,第6章 曲线与曲面,6.1 基础知识,6.2 曲线曲面设计基础,6.3 Bzier 曲线与曲面,6.4 B样条曲线与曲面,33,6.2 曲线曲面设计基础,1.多项式曲线,2.三次参数样条曲线,3.参数曲线的代数和几何形式,34,1.参数多项式曲线,n次多项式的全体构成n次多项式空间，在其中任选一组线性无关的多项式都可以作为基。,幂基：u,i,，i=0，1，n 是最简单的多项式基,，相应的参数多项式曲线方程为：,对于给定的n+1个数据点P,i,，i=0,1,2,n，欲构造其插值曲线或逼近曲线，必先得到对应于各数据点P,i,的参数值u,i,，u,i,是一个严格递增的序列：,U：u,0,u,1,u,n,35,1.参数多项式曲线,对给定数据点实行参数化，将参数值u,i,代入上述方程，使之满足插值条件：,其中，i=0,1,n，可得一组线性方程组：,36,1.参数多项式曲线,解线性方程组，可得唯一解A(系数矢量)。,37,1.参数多项式曲线,采用不同的参数化，得到的曲线也不同。常用的参数化方法：,(1)均匀参数化(等距参数化)；,(2)积累弦长参数化；,(3)向心参数化；,(4)修正弦长参数化；,其它多项式插值曲线如Lagrange、Newton、Hermite等较之幂基多项式曲线在计算性能等方面有较大改进，但总体上幂基多项式曲线存在以下问题：,幂基多项式曲线方程中的系数矢量A几何意义不明确，构造曲线时，需解线性方程组，n较大时，不可取。,次数增高时，出现多余的拐点；,整体计算，一个数据点的微小改动，可能引起曲线整体大的波动。,38,2.三次参数样条曲线,由于高次多项式曲线存在缺陷，单一低次多项式曲线又难以描述复杂形状的曲线。所以采用,低次多项式按分段的方式,在一定的连续性条件下拼接复杂的组合曲线是唯一的选择。,实际工作中，通常使用的是三次参数多项式：,P,1,(t)=a,1,+b,1,t+c,1,t,2,+d,1,t,3,P,2,(t)=a,2,+b,2,t+c,2,t,2,+d,2,t,3,P,3,(t)=a,3,+b,3,t+c,3,t,2,+d,3,t,3,为何选用“三次”？,39,2.三次参数样条曲线,样条函数(Spline),：,Schoenberg于1946年提出,国外60年代广泛研究,国内70年代开始。,样条曲线的物理背景：,样条(spline)是富有弹性的细木条或有机玻璃条。早期船舶、汽车、飞机放样时用压铁压在样条上的一系列型值点上，调整压铁达到设计要求后绘制其曲线，称为样条曲线。,物理样条的性质：,（1）样条是物质连续的，相当于函数C,0,连续；,（2）样条在压铁两侧斜率相同，相当于函数C,1,连续；,（3）样条在压铁两侧曲率相同，相当于函数C,2,连续；,40,2.三次参数样条曲线,对于均匀参数三次样条曲线(比如Hermite曲线)，当相邻弦长相差悬殊时，弦长短的曲线段因两端切矢模长与弦长相比过大而出现尖点或纽结。,当型值点分布不匀称时，不适宜构造参数样条曲面。,型值点分布匀称 型值点分布不匀称,41,Ferguson曲面,P,i,(t)=a,i,+b,i,tc,i,t,2,+d,i,t,3,“线动成面”,42,第6章 曲线与曲面,6.1 基础知识,6.2 曲线曲面设计基础,6.3 Bzier 曲线与曲面,6.4 B样条曲线与曲面,43,6.4 Bzier 曲线与曲面,1.概述,2.定义,3.常用的Bzier曲线,4.Bzier曲线(Betnstein基函数)的性质,5.曲线的递推算法(de Casteljau),6.曲线的分割与拼接,7.曲线的升阶与降阶,8.Bzier 曲面,9.Bzier曲线、曲面的不足,44,1.Bzier曲线概述,由于几何外形设计的要求越来越高，传统的曲线曲面设计方法，已不能满足用户的需求。,1962年，法国雷诺汽车公司的工程师P.E.Bzier和法国雪铁龙汽车公司的de Casteljiau(1959)分别提出了一种,以逼近为基础的参数曲线和曲面,的设计方法。,1972年在,一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统,正式投入使用,。,Bzier曲线采用一组特殊的基函数，使得系数矩阵具有明确的几何意义。,Bzier曲线是一种直观的曲线设计形式，它用折线来勾画曲线形状。使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。,45,1.Bzier曲线概述,Bzier的想法从一开始就面向几何而不是面向代数。Bzier曲线由控制多边形惟一定义，Bzier曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在控制多边形上，且多边形的第一条和最后一条边表示了曲线在起点和终点的切矢量方向，其它顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形状，曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多边形的顶点位置就会改变曲线的形状。绘制Bzier曲线的直观交互性使得对设计对象的控制达到了直接的几何化程度，使用起来非常方便。几种典型的三次Bzier曲线如图所示。,46,1.Bzier曲线概述,基本构型原理是：,两点P,0,、P,1,确定一条直线，表示为一次参数方程：p=p,0,+(p,1,-p,0,)t,三点确定一条二次曲线：,p=(1-t),2,p,0,+2t(1-t)p,1,+t,2,p,2,，,三个点p,0,，p,1,，p,2,称作顶点，中间顶点p,1,不但控制曲线的首末端切矢（方向和大小），而且唯一确定曲线的形状。,47,1.Bzier曲线概述,以此类推，n+1个顶点唯一确定一条n次曲线。顶点P,0,P,1,P,n,的第一条边P,0,P,1,决定曲线的一阶导矢，第1，2条边决定曲线的二阶导矢，第1，2，3条边决定曲线的三阶导矢，。,曲线方程中，各顶点的系数与二项式(1-t),n,的展开式相似，在函数逼近论中，称这种系数函数为,Bernstein基函数,。,三次Bzier曲线,P,0,P,1,P,2,P,3,P,0,P,1,P,2,P,3,48,2.Bzier,曲线的定义,定义,：给定空间n+1个点的位置矢量P,i,（i=0,1,2,n）则Bzier曲线可定义为：,其中，P,i,构成该Bzier曲线的特征多边形，B,i,n,(t)是n次Bernstein基函数：,P,0,P,1,P,2,P,3,49,0到3次Bernstein基函数的图形,Bzier,曲线就是,控制顶点P,i,关于基函数B,i,n,的加权和,(i=,0,1,2,n,),；,50,3.常用Bzier曲线的矩阵表示,一次Bzier曲线,t,P,0,P,1,P,i,为绝对位置矢量,51,3.常用Bzier曲线的矩阵表示,2次Bzier曲线,P,0,P,1,P,2,P,i,为绝对位置矢量,52,3.常用Bzier曲线的矩阵表示,3次Bzier曲线,P,0,P,1,P2,P,3,53,3次Bzier曲线(matlab),P0=100,100;P1=200,450;,P2=400,600;P3=500,150;,count=100;deltat=1/count;,t=0.0;,PX(1)=P0(1);PY(1)=P0(2);,for i=1:count,t=t+deltat;,B0=1-3*t+3*t*t-t*t*t;,B1=3*t-6*t*t+3*t*t*t;,B2=3*t*t-3*t*t*t;,B3=t*t*t;,PX(i+1)=B0*P0(1)+B1*P1(1)+B2*P2(1)+B3*P3(1);,PY(i+1)=B0*P0(2)+B1*P1(2)B2*P2(2)+B3*P3(2);,end,figure;plot(PX,PY,PX,PY,o);,54,4.Bzier曲线的性质,Bzier曲线是一种直观的曲线设计形式，它用控制多边形来勾画曲线形状。,Bzier曲线设计时就是面向几何的，Bzier曲线采用一组特殊的基函数(,Betnstein基函数),，使得系数矩阵G具有明确的几何意义(控制多边形的顶点)。,下面我们就结合Betnstein基函数的性质来讨论,Bzier曲线的相关性质，,以及,Bzier曲线的升阶和降阶、Bzier曲线的递推算法,(de Casteljau算法)等。,55,4.Bzier曲线的性质,(1)Betnstein基函数的“非负性”：,对于Bzier曲线，在区间(0,1)范围内，每个基函数均不为零，说明不能使用控制顶点对曲线的形状进行局部调整，如果要,改变某一控制点位置，整个曲线都将受到影响,。,56,4.Bzier曲线的性质,(2)Betnstein基函数的“端点性质”：,对于Bzier曲线，当t=0时，P(0)=P,0,；当t=1时，P(1)=P,n,。,由此可见，Bzier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。,57,4.Bzier曲线的性质,(3)Betnstein基函数的导函数(可导性)：,对于Bzier曲线：,即,n次Bzier曲线的导数曲线是一条n-1次的Bzier曲线,。所以当t=0时，P(0)=n(P,1,-P,0,)，当t=1时，P(1)=n(P,n,-P,n-1,)；,这说明Bzier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。,58,(4)二阶导矢：,是一条n-2次的Bzier曲线，所以：,上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关。事实上，r 阶导矢只与(r+1)个相邻点有关，与更远点无关。,将P(0)、P(0)及P(1)、P(1)代入曲率公式，可以得到Bzier曲线在端点的曲率分别为：,4.Bzier曲线的性质,59,(5)n次Bzier曲线的K阶导函数的差分表示：,其中，高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：,例如：,4.Bzier曲线的性质,60,4.Bzier曲线的性质,(6)对称性：,证明：,对于Bzier曲线，颠倒顶点次序，所得曲线与原Bzier曲线形状不变，走向相反。,(,这个性质也说明,Bzier曲线,在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。),61,4.Bzier曲线的性质,(7)Betnstein基函数的“权性”(规范性)：,由二项式定理可知：,62,4.Bzier曲线的性质,(8)Betnstein基函数的,最大值：,B,i,n,(t)在t=i/n时达到最大值,。,B,0,1,(t),B,1,1,(t),B,0,2,(t),B,1,2,(t),B,2,2,(t),(9)Betnstein基函数的线性无关性：B,i,n,(t),i=0,1,n是n次多项式空间的一组线性无关的基函数。任何一个n次多项式都可表示成它们的线性组合。,(10)Betnstein基函数的积分：,63,(11)Betnstein基函数的递推性(降阶)：,证明：,即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein基函数线性组合而成。,4.Bzier曲线的性质,64,4.Bzier曲线的性质,(12)Betnstein基函数的升阶：,证明：,65,4.Bzier曲线的性质,几何不变性：,曲线的位置和形状只与特征多边形的顶点位置有关，不依赖于坐标系的选取。,66,凸包性(convex hull)：,由基函数的“规范性”和“非负性”，可证明曲线位于特征多边形的顶点构成的凸包内。,变差缩减性：,若Bzier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与曲线的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。,此性质反映了Bzier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bzier曲线比特征多边形的折线更光顺。,凸包,4.Bzier曲线的性质,67,5.Bzier,曲线的,递推算法(de Casteljau),抛物线三切线定理:,当,P,0,，,P,2,固定，引入参数,t,，令上述比值为,t:(1-t),，即有：,抛物线上的点,P,0,、P,1,、P,2三点定义的一条2次Bzier曲线,68,5.Bzier,曲线的,递推算法(de Casteljau),当,t,从,0,到,1,时，上式表示了由,3,顶点,P,0,、,P,1,、,P,2,三点定义的一条,2,次,Bzier,曲线。并表明，这条曲线可以定义为分别由前两个顶点（,P,0,，,P,1,）和后两个顶点（,P,1,，,P,2,）决定的两条,1,次,Bzier,曲线,P,0,1,、,P,1,1,的线性组合。,抛物线上的点,69,5.Bzier,曲线的,递推算法(de Casteljau),依次类推，由4个控制点定义的3次Bzier曲线P,0,3,可被定义为分别由(P,0,，P,1,，P,2)和(P,1,，P,2,，P,3,)确定的两条2次Bzier曲线,P,0,2,、P,1,2,的线性组合；,由(n+1)个控制点P,i,(i=0,1,.,n)定义的n次Bzier曲线P,0,n,可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bzier曲线P,0,n-1,与P,1,n-1,的线性组合(参看基函数的递推性质)：,70,由此得到Bzier曲线的递推计算公式：,这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bzier曲线上一点P(t)非常有效。上式中：,P,i,0,P,i,是定义Bzier曲线的控制点，P,0,n,即为曲线P(t)上具有参数t的点。,de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bzier曲线的基本算法和标准算法。,5.Bzier,曲线的,递推算法(de Casteljau),71,5.Bzier,曲线的,递推算法(de Casteljau),几何作图法求Bzier曲线,上一点（n=3，t=1/3）,0,1,1/3,72,6.Bzier,曲线的分割与,拼接,Bzier曲线的分割：,将曲线在某个参数点t分割为两段。,几何作图法中计算得到的P,0,n,同时也将原Bzier曲线分为两个子曲线段。P,0,，P,0,1,，P,0,n,定义了在0,t上的子曲线段，而P,0,n,，P,1,n-1,，P,n定义了在t,1上的子曲线段。证明过程略,0,1,1/3,73,6.Bzier,曲线的分割与,拼接,Bzier曲线的拼接：,几何设计中，利用Bzier曲线描述复杂的曲线形状时，有两种选择：,一是增加控制顶点，会引起Bzier曲线次数的提高，而带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。,二是采用分段设计，将多段低次Bzier曲线拼接起来，并在接合处保持一定的连续条件。,下面讨论两段Bzier曲线拼接时达到不同阶几何连续的条件。,74,6.Bzier,曲线的分割与,拼接,设有两条Bzier曲线P(t)和 Q(t)，其控制顶点分另为：P,0,P,1,P,2,P,m,和Q,0,Q,1,Q,2,Qn,：,(1)达到G,0,充要条件,：Q,0,=P,m,；,(2)达到,G,1,充要条件,：,P(1)=k,Q(0)；而P(1)=,m(P,m,-P,m-1,)，,Q(0)=n(Q,1,-Q,0,)；,即 P,m-1,，,P,m,=,Q,0,，,Q,1,三点共线；,(3),达到,G,2,的条件,：,G,1,连续，且满足 k,1,P(1)k,2,P(1)=Q(0)；,P,3,(Q,0,),P,1,P,0,P,2,Q,1,Q,2,Q,3,而P”(1)=m(m-1)(P,m,-2P,m-1,+P,m-2,)，Q”(0)=n(n-1)(Q,2,-2Q,1,+Q,0,)；表明,P,m-2,，,P,m-1,，P,m,=,Q,0,，,Q,1,，,Q,2,五点共面。,75,8.Bzier曲面,3次Bzier曲面的矩阵表达式：,r,ij,u,v,连接r,ij,中相邻两点,特征网格,76,9.Bzier曲线、曲面的不足,Bzier曲线(曲面)的优点是具有明确的几何意义，给定控制多边形(网格)可确定曲线(曲面)的形状，在设计过程中具有很强的可操作性。,但也存在不足之处：,Bzier 特征多边形的顶点个数n+1(阶次)决定了曲线的次数n，当n较大时，特征多边形对曲线的控制减弱。(控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差。曲面也类似),Bzier曲线整体逼近的弱点。(即曲线不能局部修改，修改某一控制点将影响到整条曲线，曲面也类似),曲线或曲面的拼接比较复杂。,同参数样条曲线一样，对于局部参数的Bzier曲线，当弦长差异较大时，弦长较长的那段曲线过分平坦，弦长较短的那段曲线则臌得厉害。,77,第6章 曲线与曲面,6.1 基础知识,6.2 曲线曲面设计基础,6.3 Bzier 曲线与曲面,6.4 B样条曲线与曲面,78,6.4 B样条曲线与曲面,1.概述,2.定义,3.B样条基函数的性质,4.B样条曲线的性质,5.均匀B样条曲线,6.B样条曲面,79,1.概述,Bzier曲线、曲面有许多优越性。但对于几何设计来说，有两点不足是很难接受的：,Bzier曲线、曲面不能作局部修改；,Bzier曲线、曲面的拼接比较复杂。,B样条曲线是,1946年Schoenberg提出的；,样条：分段连续多项式；,断言样条不可能用于外形设计；,1972年deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法。作为CAGD的一种形状描述的数学方法是Gordon和Riesenfeld于1974年在研究Bzier曲线的基础上给出的。,在保留Bzier方法全部优点的同时，克服了Bzier方法的弱点,。,80,1.概述,在Bzier曲线方程中，用B样条基函数代替Bernstein基函数，就得到B样条曲线。,B样条曲线的突出优点是对曲线的局部修改功能，因为B样条曲线是,分段组成,的（很容易产生C,2,连续性），所以控制多边形的顶点对曲线的控制灵活而直观。,B样条曲线的次数可根据需要指定，不像Bezier曲线的次数是由控制点的个数来确定。,81,B样条曲线是Schocenberg 于1946年提出的，1972年deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法。作为CAGD的一种形状描述的数学方法是Gordon和Riesenfeld于1974年在研究Bzier曲线的基础上给出的,4,。B样条曲线方程为：,其中d,i,，i0，1，,.，n为控制顶点,K次规范B样条基函数N,i,K,(u)（i0，1，n）定义如下：,i,（i=0，1，n）是对应于给定数据点的节点参数。,B样条曲线和曲面,82,B,样条曲线,二次B样条n=2,抛物线,B0,B2,B1,M,P(0.5),P(1),P(0),83,B,样条曲线,三次B样条,n=3,P(t),B0,B1,B2,B3,84,B,样条曲线,特殊外形设计,三顶点共线,位于控制多边形边上的一个点,P0,P2,P1,M,P(0),P(0),P0,P2,M,P1,P(0),85,B,样条曲线,特殊外形设计,四顶点共线,含有直线段的曲线,P0,P3,P1,P2,P(0),M1,P(1),M2,86,B,样条曲线,特殊外形设计,两顶点重合,P0,P2,P1,M,P(0),P0,P2,M,P1,P(0),P(0),87,B,样条曲线,特殊外形设计,两顶点重合,相切于控制多边形边的曲线,P2,P5,P1,P0,P4,P3,88,B,样条曲线,特殊外形设计,三顶点重合,含有尖点的曲线,P2,P6,P1,P0,P4,P3,P5,89,B,样条曲线,优点：,与控制多边形的外形更接近,局部修改能力,任意形状，包括尖点、直线的曲线,易于拼接,阶次低，与型值点数目无关，计算简便,缺点：,不能精确表示圆,90,当K3，且采用均匀参数化时，得到三次均匀B样条曲线：,0t 1，i0,1,n-3,在分段连接点处B样条曲线的值和导矢量为：,均匀,B,样条曲线,91,d,24,u,v,V,1k,d,42,d,43,d,44,d,11,d,12,d,13,d,14,d,21,d,23,d,31,d,32,d,33,d,34,C,4,C,3,C,1,C,2,V,2k,V,3k,V,4k,d,41,P(u,v,K,),d,22,双三次均匀,B,样条曲面,P(u,v),的矩阵表示,92,曲线设计方法的关键在于,基函数的选择,，选择合适的基函数能够使系数矢量具有更明确的,几何意义,，绘图操作简单直观。,基函数和参数化方法的选择对曲线的精度、光顺性、局部修改性具有决定性的影响。,整个曲线设计方法的改进方向是在提高精度、保证光顺性的同时追求,灵活的操作、明确的几何意义和良好的局部修改性,。,曲线设计结论,：,93,第6章 曲线与曲面,结束！,94,