高等数学下册复习.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学复习简介,向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴）的位置关系；,平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程；,二元函数的极限,;,二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系；,多元隐函数求导，曲面的切平面方程；,复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）；,方向导数，多元函数的条件极值问题；,二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换；,利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的“先二后一”计算方法；,曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用；,常数项级数的收敛与绝对收敛，傅立叶级数的收敛性定理，幂级数的收敛域与和函数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量的方向余弦,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与三坐标轴的夹角,为其,方向角,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向角的余弦称为其,方向余弦,.,向量的运算,设,1.,向量运算,加减,:,数乘,:,点积,:,叉积,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,向量关系,:,平面与直线（包括坐标轴）的位置关系,主要通过向量间的关系来衡量线线关系，线面关系，面面关系；,问题根源仍然是对向量关系的正确理解；,面与面的关系,平面,平面,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,1,、线面之间的相互关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面,:,垂直：,平行：,夹角公式：,3.,面与线间的关系,直线,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,实例分析,例,1.,求与两平面,x,4,z=,3,和,2,x y,5,z,=1,的交线,提示,:,所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点,(3,2,5),的直线方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,求直线,在平面,上的投影直线方程,.,提示,：,过已知直线的平面束方程,从中,选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦,.,提示,:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所求为,平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程,主要利用书中结论,:,即绕着哪个轴旋转,这个轴对应的字母不变,变化的是另一个字母,;,例,1,求曲线,绕,z,轴旋转的曲面与平面,的交线在,xoy,平面的投影曲线方程,.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向,xoy,面的投影柱面方程为,此曲线在,xoy,面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,直线,绕,z,轴旋转一周,求此旋转,转曲面的方程,.,提示,:,在,L,上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二元函数的极限,方法,:,主要根据定义求极限、讨论极限；,利用定义求导数；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,设,求证：,证,：,故,总有,要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2,证明 不存在,证,取,其值随,k,的不同而变化，,故极限不存在,确定极限,不存在,的方法：,二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系,多元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可导,根据定义,必要条件,充分条件,反例,思考题,提示,:,利用,故,f,在,(0,0),连续,;,知,在点,(0,0),处连续且偏导数存在,但不可微,.,1.,证明,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,所以,f,在点,(0,0),不可微,!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分,隐函数的一阶求导方法：,公式法,;,推导法,;,注意两者的区别,;,隐函数求二阶导数时,只能利用推导法,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）,1.,复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.,全微分形式不变性,不论,u,v,是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,思考题解答,例,1.,设,其中,f,与,F,分别具,解法,1,方程两边对,x,求导,得,有一阶导数或偏导数,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法,2,方程两边求微分,得,化简,消去 即可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2,.,设,有二阶连续偏导数,且,求,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有连续的一阶偏导数,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案,:,(2001,考研）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,3.,设,例,3,.,设,解法,1,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对,x,求导,解法,2,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为简便起见,引入记号,例,4.,设,f,具有二阶连续偏导数,求,解,:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面的切平面方程,求曲面的切平面及法线,(,关键,:,抓住法向量,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 有光滑曲面,在其上一定点,的切平面的法向量是,?,曲面,在点,M,的,法向量,法线方程,切平面方程,复习 目录 上页 下页 返回 结束,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面,的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习 目录 上页 下页 返回 结束,例,1,.,求球面,在点,(1,2,3),处的切,平面及法线方程,.,解,:,所以球面在点,(1,2,3),处有,:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向导数与梯度问题,三元函数,在点,沿方向,l,(,方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向,l,(,方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.,关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,梯度在方向,l,上的投影,.,指向,B,(3,2,2),方向的方向导数是,.,在点,A,(1,0,1),处沿点,A,1.,函数,提示,:,则,(,考研,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,.,函数,在点,处的梯度,解,:,则,注意,x,y,z,具有轮换对称性,(,考研,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,令,故,方向余弦为,故,多元函数的条件极值问题,例,1.,在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点,.,解,:,设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题,.,设拉格朗日函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切平面在三坐标轴上的截距为,令,由实际意义可知,为所求切点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,唯一驻点,例,2.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离,.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则,P,的距离为,问题归结为,约束条件,:,目标函数,:,作拉氏函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换,交换积分次序（,X,型、Y,型、极坐标）,选择或填空题目,大题里也可能有,需要先交换次序然后在计算积分,二重积分计算（直角坐标和极坐标）,奇偶对称性的运用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(,先积一条线,后扫积分域,),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作题注意事项,确定积分次序是选定坐标系后紧接要认真考虑的问题，总的原则还是兼顾积分区域和被积函数特征全面考虑，一般应避免分区积分和对某个变量不可先积分的情形出现。,坐标变换后区域的对应主要由它们边界的对应所确定。,若二次积分限是常数，则可直接交换积分次序，积分限不变。,总结规律,选择适当的坐标系，是二重积分中应当首先考虑的重要问题。一般来说，应根据积分区域和被积函数的特征来综合考虑：,（,1,）当区域,D,为中心在原点的圆形、扇形或圆环形等；被积函数为,x,2,+y,2,的函数时选用极坐标系；,（,2,）当区域为矩形、三角形等直线形区域时选用直角坐标系。,例,1.,如图所示,交换下列二次积分的顺序,:,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,计算二重积分,其中,D,为圆周,所围成的闭区域,.,提示,:,利用极坐标,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3,解,先去掉绝对值符号，如图,例,4.,计算二重积分,其中,:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解,:,(1),利用对称性,.,围成,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),积分域如图,:,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用三重积分计算立体体积,三重积分的,”,先二后一”计算方法,被积函数为,1,的三重积分几何上表示立体的体积,方法,:,投影法,(,先单后重,),例,1,解,例,2.,计算三重积分,其中,是由,xoy,平面上曲线,所围成的闭区域,.,提示,:,利用柱坐标,原式,绕,x,轴旋转而成的曲面与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,解,:,在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线积分、格林公式,曲线积分,第一类,(,对弧长,),第二类,(,对坐标,),(1),统一积分变量,转化,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2),确定积分上下限,第一类,:,下小上大,第二类,:,下始上终,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),利用对称性简化计算,;,(2),利用积分与路径无关的等价条件,;,(3),利用格林公式,(,注意,加辅助线的技巧,);,(4),利用两类曲线积分的联系公式,.,基本技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,计算,其中,L,是沿逆,时针方向以原点为中心,解法,1,令,则,这说明积分与路径无关,故,a,为半径的上半圆周,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法,2,它与,L,所围区域为,D,(,利用格林公式,),思考,:,(2),若,L,同例,2,如何计算下述积分,:,(1),若,L,改为,顺时针方向,如何计算下述积分,:,则,添加辅助线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题解答,:,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面积分、高斯公式,曲面积分,第一类,(,对面积,),第二类,(,对坐标,),转化,二重积分,(1),统一积分变量,代入曲面方程,(2),积分元素投影,第一类,:,始终非负,第二类,:,有向投影,(3),确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,基本技巧,(1),利用对称性简化计算,(2),利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(,辅助面一般取平行坐标面的平面,),(3),两类曲面积分的转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,设,是曲面,解,:,取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在,内,为,xoy,平面上夹于,之间的部分,且取下侧,取上侧,计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二项添加辅助面,再用高斯公式,计算,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,证明,:,设,(,常向量,),则,单位外法向向量,试证,设,为简单闭曲面,a,为,任意固定,向量,n,为,的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,计算曲面积分,其中,解,:,思考,:,本题,改为椭球面,时,应如何,计算,?,提示,:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数项级数收敛性的判别，幂级数的收敛区间、收敛半径，幂级数求和函数、傅立叶级数的收敛定理,判别是针对选择题，绝对收敛与条件收敛；,收敛区间、收敛半径是针对填空题；,幂级数求和函数是针对大题中的计算题；,傅立叶级数的收敛定理使用一般是最后一道大题，计算时验证是否满足条件，满足后才进行展开（注意收敛点和非收敛点的不同）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数项级数的审敛法,1.,利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.,正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz,判别法,:,若,且,则交错级数,收敛,概念,:,且余项,若,收敛,称,绝对收敛,若,发散,称,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数,:,先求收敛半径,R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性,.,求下列级数的敛散区间,:,练习,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛,.,故收敛区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,因,故收敛区间为,级数收敛,;,一般项,不趋于,0,级数发散,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,解,:,分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数,=,其收敛半径,注意,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求部分和式极限,幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导难,直接求和,:,直接变换,间接求和,:,转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法,:,分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数,求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,求幂级数,法,1,易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,:,解,:,(1),显然,x,=0,时上式也正确,故和函数为,而在,x,0,求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,x,=0,时,和为,0;,根据和函数的连续性,有,x,=,1,时,级数也收敛,.,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由上式得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,