误差分析与数据处理第四章.part3.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第,*,页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,开课单位：精密仪器与机械学系任课教师：尉昊赟（,luckiwei,）,李 岩（,liyan,）,误差理论与数据处理,清华大学本科生选修课,课号：,00130172,标准不确定度的,A,类评定方法：,（,一）定义：用统计方法评定出的不确定度。,（二）评定方法：用贝塞尔公式计算；,标准不确定度的,B,类评定,方法,：,（一）定义：用非统计方法评定出的不确定度。,二）评定方法,（两大类）：,B,类评定方法获得的不确定度，是设法利用与被测,量有关的先验信息来进行估计，这些先验信息如,有关测量仪器的示值误差等。,1,）,B,类评定,第一大类,:,类似于已知扩展不确定度（将,其除以包含因子即可）。,2,）,B,类评定,第二大类：类似于已知最大示值误差（将,其模除以 即可。,标准不确定度评定小结,第,2,页,第四章 测量结果的不确定度评定,第一节 测量不确定度的基本概念与分类,第二节 标准不确定度的评定,第三节,合成标准不确定度,第四节 扩展不确定度,第五节,测量数据的处理步骤和测量结果的表达,第,3,页,合成标准不确定度（,combined standard uncertainty,）,1,、定义：,当测量结果由若干个其他量的值求得时，测量结果的合成标准不确定度,等于这些量的方差和（或）协方差加权和的正平方根,，其中权系数按测量结果随这些量变化的情况而定。,2,、符号：用符号,u,c,表示。,3,、评定方法：,当测量结果受多个因素影响而形成若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度通过多个标准不确定度分量合成得到。,概念,第,4,页,合成公式,:,u,i,第个标准不确定度分量（,A,类或,B,类）,m,不确定度分量的个数,第和第,j,个标准不确定度分量之间的相关系数,u,c,合成标准不确定度,合成方法,第,5,页,若各标准不确定度分量相互间独立时，测量的合成标准不确定度计算公式可进一步简化为：,u,i,第个标准不确定度分量（,A,类或,B,类）,m,不确定度分量的个数,u,c,合成标准不确定度,合成方法,第,6,页,3,）如何将两个标准不确定度分量合成？,应按标准不确定度合成公式来合成，按两个分量之间相互独立处理：,计算举例,第,9,页,例,：,数字电压表制造厂说明书中说明：在,1V,内示值最大允许误差的,模,为,1410,6,（读数）,2 10,6,（范围），,求：,1,）当测值为,0.928571V,时,B,类标准不确定度。,2,）若按,A,类方法评定已求出其重复性标准不确定度,为,试求合成标准不确定度,u,c,(V),。,解1,）求,当测值为,0.928571V,时,B,类标准不确定度最大允许误差的模为：,1410,6,（,0.928571V,）,2 10,6,（,1V,）,=15V,判断为均匀分布，则：,计算举例,第,10,页,对于间接测量的情况，,Y=F(X,1,X,2,X,m,),时，有如下的合成标准不确定度传播律（公式）：,式中：,u,c,(y),输出量估计值,y,的合成标准不确定度,u(,x,i,),u(,x,j,),输入量估计值,x,i,和,x,j,的标准不确定度,函数,F(X,1,X,2,）在,(,x,1,x,2,x,m,),处的偏导数，,称为,灵敏系数,，在误差合成公式中称其为传播系数；,ijX,i,和,X,j,在,(,x,i,x,j,),处的相关系数,间接测量的标准不确定度合成,第,11,页,对于间接测量的情况的一个特例，,Y=F(X,1,X,2,X,m,),，,当,第和第,j,个输入量,x,i,和,x,j,相互间均独立时,ij,0,这时,间接测量的,标准不确定度传播公式可简化为：,式中：,u,c,(y),输出量估计值,y,的合成标准不确定度,u(x,i,),u(x,j,),输入量估计值,x,i,和,x,j,的标准不确定度,函数,F(X,1,X,2,）在,(x,1,x,2,x,m,),处的偏导数，称为,灵敏系数，在误差合成公式中称其为传播系数；,间接测量的标准不确定度合成,第,12,页,若函数为：,y=x,1,+x,2,+,+x,m,则各标准不确定度分量的灵敏系数（偏导数）为,1,，测量的合成标准不确定度计算公式可简化为：,若,y=,x,1,+x,2,+,+x,m,且,x,i,相互间独立时，测量的合成标准不确定度计算公式可进一步简化为：,间接测量的标准不确定度合成,第,13,页,讨论：合成标准不确定度传播律（公式）有什么用途？,合成标准不确定度传播律（公式）的用途：,1,）刚开始评定各标准不确定度分量时，帮助找全应该加以评定的各个,A,类、,B,类标准不确定度分量。,2,）最后，用该合成标准不确定度传播公式，确定如何由各不确定度分量，去最终计算出合成标准不确定度。,讨论,第,14,页,讨论：分析前述的泳道测量不确定度合成,有没有考虑敏感系数,？,为了评定标准不确定度，首先要根据测量方法建立测量数学模型。数学模型是被测量的,函数关系式,，用它导出合成不确定度与各不确定度分量的关系式。前述例子，实际用的是合成标准不确定度传播公式的最简式。,讨论,第,15,页,例,：为确定铝型材（矩形截面,),的抗拉强度,（单位,MPa,1MPa,1N/mm,2,),，在拉力试验机上进行拉断测试试验。截面的宽度,b,12.50.2 mm,，厚度,h,2.40.1 mm,按要求制成,5,个试样进行拉断试验，使用测量仪器性能如下：,拉力试验机：,1,级，最大允许误差,1,，,游标卡尺,(,测宽）：最大允许误差,0.05mm,，,千分尺,(,测厚）：最大允许误差,4m,，,测量模型：,=F/bh,，试验数据如下：,1,2,3,4,5,平均值,b/mm,12.55,12.40,12.65,12.45,12.60,12.53,h/mm,2.38,2.41,2.35,2.40,2.32,2.372,F/N,6674.8,6674.8,6644.4,6705.1,6553.4,6650.5,/MPa,223.46,223.35,223.51,224.40,224.18,223.78,计算举例,第,16,页,一、抗拉强度,平均值的两种计算方法,1,2,3,4,5,平均值,b/mm12.55,12.40,12.65,12.45,12.60,12.53,h/mm,2.38,2.41,2.35,2.40,2.32,2.372,F/N,6674.8,6674.8,6644.4,6705.1,6553.4,6650.5,/MPa,223.46,223.35,223.51,224.40,224.18,223.78,计算举例,第,17,页,二、测量结果合成标准不确定度,u(c),的确定：,计算举例,第,18,页,二、测量结果合成标准不确定度,u(c),的确定：,计算举例,第,19,页,二、测量结果合成标准不确定度,u(c),的确定：,计算举例,第,20,页,二、测量结果合成标准不确定度,u(c),的确定：,计算举例,第,21,页,计算举例,第,22,页,计算举例,第,23,页,讨论,：,1,）间接测量时不确定度分量的单位量纲为何不同？,2,）两种计算方法偏差为何较大？,3,）哪种计算方法更好些？,计算举例,第,24,页,计算举例,第,25,页,原因：,在同一组测值中，宽度,b,和厚度,h,一个大时，另一 个则小，致使按公式,F/bh,计算出的,i,相差不多，即：,b,和,h,可能负相关，,F,和,h,可能正相关，,F,和,b,可能负相关。若将相关考虑后应有所改进。,哪种计算方法好？,1,2,3,4,5,平均值,b/mm,12.55,12.40,12.65,12.45,12.60,12.53,h/mm,2.38,2.41,2.35,2.40,2.32,2.372,F/N,6674.8,6674.8,6644.4,6705.1,6553.4,6650.5,/MPa,223.46,223.35,223.51,224.40,224.18,223.78,计算举例,第,26,页,1,2,3,4,5,平均值,b/mm,12.55,12.40,12.65,12.45,12.60,12.53,h/mm,2.38,2.41,2.35,2.40,2.32,2.372,F/N,6674.8,6674.8,6644.4,6705.1,6553.4,6650.5,/MPa,223.46,223.35,223.51,224.40,224.18,223.78,计算举例,第,27,页,利用相对标准不确定度来计算合成标准不确定度：,对于间接测量的情况，,y=f(x,1,x,2,x,m,),，,当数学模型为：,这时数学模型的特点是,被测量为各个输入量的乘积,，若第个和第,j,个输入量,x,i,和,x,j,相互间均独立,ij,0,则间接测量的标准不确定度传播公式如下式，可看出传播系数计算较繁：,间接测量的标准不确定度合成,第,28,页,利用各不确定度分量的相对标准不确定度来计算合成标准不确定度往往比较方便。,间接测量的标准不确定度合成,这时合成标准不确定度的计算公式为：,第,29,页例：,对于,Y,bX,1,X,2,X,3,，,输入量,X,1,，,X,2,，,X,3,的估计值,x,1,x,2,x,3,彼此独立，若：,u,rel,(x,1,)=u(x,1,)/x,1,=0.25%,测量次数,n,1,=10 u,rel,(x,2,)=u(x,2,)/x,2,=0.57%,测量次数,n,2,=5 u,rel,(x,3,)=u(x,3,)/x,3,=0.25%,测量次数,n,3,=15,试求,:,其相对合成不确定度,u,crel,。,计算举例,第,30,页,一、计算合成标准不确定度时，一般应先建立测量数学模型，而为了正确建立数学模型，则应找全影响测量结果的各个标准不确定度分量。二、为计算仪器最大允许误差引起的不确定度对合成标准不确定度的贡献，在建立测量数学模型时，常采用其值为零而标准不确定度不为零的修正值,。,三、当利用不确定度传播律来计算合成标准不确定度时，若各标准不确定度分量相互间独立而不相关，则公式及计算都将简化。大多数测量场合该条件可满足，但并不是所有的场合均可如此简化。,故应仔细分析各标准不确定度分量相互间的关系，并在设计测量试验时预先采取措施以争取各分量相互间独立。,合成标准不确定度小结,第,31,页,第四章 测量结果的不确定度评定,第一节 测量不确定度的基本概念与分类,第二节 标准不确定度的评定,第三节 合成标准不确定度,第四节,扩展不确定度,第五节测量数据的处理步骤和测量结果的表达,第,32,页,1,、定义：,扩展不确定度（,expanded uncertainty,）：确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。（这个大部分实际是指超过,90,）。扩展不确定度由合成标准不确定度,u,c,乘以一个包含因子,k,得到。（,k,一般在,2,3,范围内选取）。,expanded uncertainty,：,quantity defining an interval about the result of a measurement that may be expected to encompass a large fraction of the distribution of values that could reasonably be attributed to the measurand.,2,、符号：,用符号,U,U,p,表示。记为：,U=k*u,c,或：,U,p,=k*u,c,注：扩展不确定度,U,P,的下标,p,表示的是扩展不确定度,U,的置信概率。,基本概念,第,33,页,为什么一定要使此区间包含合理赋予被测量之值分布的大部分？不包含大部分有什么问题？,合成标准不确定度的量纲是什么？相关系数的量纲是什么？,包含因子,的量纲是什么？,扩展不确定度,的量纲是什么？,思考,第,34,页,包含因子,k,的确定：包含因子,k,的大小由置信概率,p,和分布的类型确定。,1,）,如果没有特殊说明，则按正态分布考虑。,这时相对应的包含因子,k,与置信概率,p,的对应关系为：,p=95%,时,k=1.96,，扩展不确定度符号：,U,95,(,有时表示成,0.05)p=99%,时,k=2.576,，扩展不确定度符号：,U,99,(,有时表示成,0.01),有些场合也用：,k=2,这时,p=95.45%,或,k=3,这时,p=99.73%,包含因子的确定,置信概率的确定原则：,1,）一般测量：选,p=95%2,）,重要的测量：,选,p=99%,？,第,35,页,2,）重要的测量，或测量次数较小时，,k由,t,分布确定：,包含因子,k,（,t,分布时常用符号,t,表示）由置信概率,p(,或,）、以及自由度,从,t,分布表查出。,包含因子的确定,t,分布特点：,1,、当测量次数,n,较小时，,t,分布更精确。,2,、相同测量次数下，,t,分布,k,值比正态分布,k,值大。,3,、相同置信概率下，自由度不同时查出的,k,的值不同。,第,36,页,实例,第,37,页,自由度的概念,自由度定义为计算总和中独立项的个数，即总和的项数减去其中受约束的项,研究自由度的意义,自由度的大小直接反映了不确定度的评定质量，自由度并非测量结果的自由度，而是所评定的标准偏差的自由度，也就是不确定度的自由度,不确定度的评定质量取决于标准差的可信赖程度，标准差的信赖程度与自由度关系如下：,上式表明：自由度越大，标准差的相对不确定度越小，标准差愈可信赖。,第,38,页,自由度,相对实验标准差公式推导,期望：标准差：,若,x,1,，,x,2,，,，,x,n,是来自某测量总体的一个测量样本，满足正态、独立和相同测量条件，则有,预备知识,：分布,若 为独立服从同分布,N,（,0,，,1,）的随机误差变量，则：,称服从自由度为 的 分布，记为 。,第,39,页,相对实验标准差公式推导,设,x,1,，,x,2,，,，,x,n,是来自某测量总体的一个测量样本，满足正态、独立和相同测量条件，则有,（,1,）,根据贝塞尔公式有,代入（,1,）式，,（,2,）,（,3,）,第,40,页,取 的方差，有,即有,以下推导 ，注意到 ，用泰勒级数展开，并取一阶近似：,（,4,）,（,5,）,（,6,）,取方差：,（,7,）,相对实验标准差公式推导,因此有：,第,41,页,若单次测值的标准偏差,s(x),的自由度为,n-1,请问：算术平均值的标准不确定度的自由度是多少？测量值的标准偏差的自由度和算术平均值的标准偏差的自由度是否相同？为什么？,算术平均值的标准偏差的自由度仍然是,n-1,。,因测量次数,n,相同，计算这两者时所依据的信息量相同，故可靠程度应相同。从另一个角度考虑，因为自由度,表示的是不确定度自身的不确定度的大小，自由度,相对实验标准差思考,第,42,页,自由度的计算方法（评定）,情况,1,）：对于一个测量样本，自由度等于该样本数据中的,n,个独立测量个数减去待求量的个数,1,，即 。,情况,2,）：对某量,X,进行,n,次独立重复测量，在用贝塞尔公式计算实验标准差是，需要计算残差平方和中的,n,个残差 ，因为,n,个残差满足一个约束条件 ，即独立残差个数为,n-1,，即用贝塞尔公式估计实验标准差的自由度为,n-1,。,情况,3,）：按估计相对标准差来定义的自由度称为有效自由度，记为,V,eff,，计算公式为：（常用于,B,类标准不确定度的评定）,第,43,页,自由度评定,合成标准不确定度的自由度当各不确定度分量,u,i,的自由度 均已知时，合成标准不确定度,u,c,的自由度（常称为有效自由度）计算公式为：,自由度评定,第,44,页,例：试求某被测量的合成不确定度,u,c,及其有效自由度。已知该量含不相关的不确定度分量，其值和自由度分别为：,实例,第,45,页,在计算合成标准不确定度的自由度时，当某些不确定度分量的自由度未明确给出时，应对这些分量的自由度进行分析和评定，对某些先验信息进行分析后，再,第一种情况,：,可确切断定其测值不可能超出半区间,a,（例如给出的是最大允许误差，严格的均匀分布），这时：,自由度评定,实际操作中，,B,类对应分布律不是非常确认时，,对应自由度取,20进行计算,.,第,46,页,第二种情况：不能完全断定其测值区间不超出某区间,a,这时：应根据经验判断其不确定度自身的相对不确定度的大小，也就是根据经验判断不确定度,u,之值大约不可靠程度。一般认为,10,30,，最大为,50,。,例如：,仪器检定证书给出的不确定度，可认为可靠性达到,75,，则其不可靠程度为,25,，计算出相应自由度为,8,。,膨胀系数等手册中给出的数据，可假定其可靠性为,90,，则其不可靠程度为,10,，计算出相应自由度为,50,。,自由度评定,第,47,页,第三种情况：利用相对标准不确定度来计算合成标准不确定度的有效自由度的方法,首先需计算相对合成标准不确定度,u,crel,，,如前所述，当数学模型,是乘积关系时，也就是当被测量为输入量的乘积时，利用各不确定度分量的相对标准不确定度来计算合成标准不确定度往往比较方便，这时合成标准不确定度的计算公式为：,自由度评定,第,48,页,利用相对标准不确定度来计算有效自由度的公式为：,自由度评定,第,49,页,例如：对于,Y,bX,1,X,2,X,3,，,输入量,X,1,，,X,2,，,X,3,的估计值,x,1,x,2,x,3,彼此独立，已知：,u,rel,(x,1,)=u(x,1,)/x,1,=0.25%,测量次数,n,1,=10 u,rel,(x,2,)=u(x,2,)/x,2,=0.57%,测量次数,n,2,=5 u,rel,(x,3,)=u(x,3,)/x,3,=0.82%,测量次数,n,3,=15,试求,:,其相对合成不确定度,u,crel,，及其,有效自由度。,实例,第,50,页,扩展不确定度的自由度：,等于原合成标准不确定度的自由度，其自由度并不因为扩展不确定度乘以包含因子,k,而改变，也不因为采用了不同的置信概率和置信区间而改变。扩展不确定度的自由度与合成标准不确定度的自由度一样，称为有效自由度，用符号,eff,来表示,。,计算方法和公式均与合成标准不确定度相同。,扩展不确定度的自由度,第,51,页,例：,50,米的泳道，比赛官员要求检查中间泳道的长度。检查时用高质量殷钢制成的带尺，带尺用恒定张力拉紧。带尺的温度效应和弹力效应很小，可忽略。查阅带尺技术说明，得知带尺的分化刻度误差不大于,3mm,。,5,次测量值为：,49.990,50.003,49.998,50.004,50.001,(,单位：,m),。,若已计算出由,5,个测值得到的,A,类标准不确定度分量,u,1,1.01 mm,，,由带尺的分化刻度误差引起的,B,类标准不确定度分量,u,2,1.75 mm,合成标准不确定度,u,c,(x),2.02 mm,；,试求：合成标准不确定度,u,c,(x),的自由度。,解：,A,类标准不确定度分量,u,1,的自由度,1,n-1=4,B,类标准不确定度分量,u,2,的自由度,2,(,因属于已知最大允许误差的情况，为均匀分布）,实例,第,52,页,