高中数学函数的定义域测试题(含答案).doc

高中数学函数的定义域测试题(含答案)高二数学函数的定义域与值域、单调性与奇偶性苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的定义域与值域、单调性与奇偶性二. 教学目标：理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。三. 教学重点：函数性质的运用四. 教学难点：函数性质的理解。学习过程一、知识归纳：1. 求函数的解析式（1）求函数解析式的常用方法：换元法（ 注意新元的取值范围）待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）整体代换（配凑法）构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）（2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。（3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。2. 求函数的定义域求用解析式yf（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：若f（x）是整式，则函数的定义域是实数集R；若f（x）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；若f（x）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；若f（x）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；若f（x）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.3. 求函数值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函数的值域；（2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如 型的函数）（4）函数的单调性：特别关注 的图象及性质（5）部分分式法、判别式法（分式函数）（6）换元法（无理函数）（7）导数法（高次函数）（8）反函数法（9）数形结合法4. 求函数的单调性（1）定义法：（2）导数法：（3）利用复合函数的单调性：（4）关于函数单调性还有以下一些常见结论：两个增（减）函数的和为_；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是_；奇函数在对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_的单调性；互为反函数的两个函数在各自定义域上有_的单调性；（5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。5. 函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x） 与f（x）的关系。f（x） f（x）0 f（x） f（x） f（x）为偶函数；f（x）+f（x）0 f（x） f（x） f（x）为奇函数。判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。6. 周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）f（x），则T为函数f（x）的周期。其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）f（xa），则2a为函数f（x）的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。二、典型例题分析例1. 若集合Aa1，a2，a3，Bb1，b2 求从集合A到集合B的映射的个数。分析：解决这类问题，关键是要掌握映射的概念：设A、B是两个集合，对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f，若集合B中都有唯一确定的元素和它对应，这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例，集合Aa1，a2，a3中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形，由乘法原理可知，A到B的映射的个数共有N2228个。例2. 线段|BC|4，BC的中点为M，点A与B、C两点的距离之和为6，设|AM|y，|AB|x，求yf（x）的函数表达式及这函数的定义域。解：1若A、B、C三点不共线，如图所示，由余弦定理可知，x222+y24ycosAMB （6x）222+y24ycos（180AMB） + x2+（6x）22y2+8 y2x26x+14又 x26x+14（x3）2+5恒正，又三点A、B、C能构成三角形1x52若三点A、B、C共线，由题意可知，x+46x，x1 或4+6xx x5综上所述：说明：第一，首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上，因为由题意，A、B、C不一定能构成三角形，它们也可在同一条直线上，所以要分两种情形来讨论。第二，实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。例3. 设f（x）为定义在R上的偶函数，当x1时，yf（x）的图象是经过点（2，0），斜率为1的射线，又在yf（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（1，1）的一段抛物线，试写出函数f（x）的表达式，并在图中作出其图象。解：（1）当x1时，设f（x）x+b射线过点（2，0） 02+b即b2，f（x）x+2（2）当11时，设f（x）ax2+2抛物线过点（1，1），1a（1）2+2，即a1f（x）x2+2（3）当x1时，f（x）x+2综上可知：f（x） 作图由读者来完成。例4. 求下列函数的定义域（1） （2）解：（1）x4或x1且x3，即函数的定义域为（，3）（3，1）4，+（2） ，则0x23x108，即3x2或5x6即定义域为3，2（5，6）说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式，则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。变、已知函数f（x）的定义域为1，4，求 的定义域。解： ，则又 ， 或则 或 即为所求函数的定义域。说明：此题实质上是求复合函数的定义域，我们把 看成是由yf（u）、 两个函数复合而成的，因为1u4，则 ，从而求出x的范围，另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等号的方向改变，这里也是学习时常常容易发生错误的地方，应加以重视。例5. 若对于任何实数x，不等式： 恒成立，求实数a的取值范围。解：令f（x）|x1|+2|x2|，去绝对值把f（x）表示成分段函数后为53x x1f（x） 3xx23x5 x2作出yf（x）的图象如图，由此可知f（x）的最小值为1，f（x）a对一切实数x恒成立，则a1。说明：该题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁，而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题，这种解题思想应引起我们的注意。另外，对于函数f（x）|x1|+2|x2|只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图象，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间，值域等一切问题都可以迎刃而解了。例6. 求函数 的值域。解：令 ，则134xt2该二次函数的对称轴为t1，又t0由二次函数的性质可知y4，当且仅当t1即x3时等式成立，原函数的值域为（，4）。说明：对于所有形如 的函数，求值域时我们可以用换元法令转化为关于t的二次函数在区间0，+）上的最值来处理。这里要注意t0的范围不能少。如：已知f（x）的值域为 ，试求函数 的值域。该题我们只需要把f（x）看成是一个变量，则求值域时仍可用上述换元法，但是如果被开方数不是关于x的一次式，而含x的平方项，则就不能用上述换元法了。如求函数 的值域，若令 ，则x无法用t来表示。这里我们如果注意到x的取值范围：22，则11的话，我们就可以用三角换元：令 0，问题也就转化为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时，要注意的限制条件，因为当取遍0到之间的每一个值时， 恰好可以取遍1到1之间的每一个值，若不限制的范围，则根号无法直接去掉，就会给我们解题增添麻烦。例7. 求下列函数的最值。（1） （2）解：（1）先求出函数的定义域：27，又在区间2，7上函数 单调递增， 单调递增，所以 在定义域内也单调递增。当x2时， ；当x7时，（2） 0 y2x2（1x2）由基本不等式可知：y2x2（1x2） ，又y ， 。说明：对于一些比较复杂的函数，求值域或最值时，如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式，问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”的条件，特别是要注意等号能否成立。例8. 设a0，x1，1时函数yx2ax+b有最小值1，最大值1，求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。解：a0， 0，又定义域为1，1x1时 ，即1a+b1 ab0下面分a的情形来讨论：1当0 1即0a2时，当 时， 即 ，则a2+4a40，又a（0，2） ，则2当 1，即a2时，当x1时1+a+b1，a+b2 又ab a1 与a2矛盾，舍去综上所述：x1时， ， 时 。例9. 已知函数yf（x） （a，b，cR，a0，b0）是奇函数，当x0时，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）（1）试求函数f（x）的解析式；（2）问函数f（x）的图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由解：（1）f（x）是奇函数，f（x）f（x），即c0，a0，b0，x0，f（x） 2 ，当且仅当x 时等号成立，于是2 2，ab2，由f（1） 得 即 ，2b25b+20，解得 b2，又bN，b1，a1，f（x）x+（2）设存在一点（x0，y0）在yf（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2x0，y0）也在yf（x）的图象上，则消去y0得x022x010，x01yf（x）的图象上存在两点（1+ ，2 ），（1 ，2 ）关于（1，0）对称例10. 已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在0，+）上是增函数，是否存在实数m，使f（cos23）+f（4m2mcos）f（0）对所有0， 都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由解：f（x）是R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，f（x）是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f（cos23）f（2mcos4m），即cos232mcos4m，即cos2mcos+2m2设tcos，则问题等价地转化为函数g（t）?t2mt+2m2（t ）2 +2m2在0，1上的值恒为正，又转化为函数g（t）在0，1上的最小值为正当 0，即m0时，g（0）2m21与m0不符；当01时，即02时，g（m） +2m2042 4+2 ，?42 2当 1，即m2时，g（1）m11 m2综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m42另法（仅限当m能够解出的情况）cos2mcos+2m20对于0， 恒成立，等价于m（2cos2）/（2cos） 对于0， 恒成立当0， 时，（2cos2）/（2cos） 42 ，m42例11. 设a为实数，记函数f（x）a 的最大值为g（a）。（1）设t ，求t的取值范围并把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）；（3）求满足g（a）g（ ）的所有实数a.解：（1）t要使t有意义，必须有1+x0且1x0，即11.t22+2 2，4，t t的取值范围是 ，2由得 x21m（t）a（ t2）t at2+ta， t ，2（2）由题意知g（a）即为函数m（t） at2+ta， t ，2的最大值.注意到直线t 是抛物线m（t） at2+ta的对称轴，分下列情况讨论.当a0时，函数ym（t）， t ，2的图像是开口向上的抛物线的一段，由t 0知m（t）在 ，2上单调递增，g（a）m（2）a+2.当a0时，m（t）t， t ，2， g（a）2.当a0时，函数ym（t）， t ，2的图像是开口向下的抛物线的一段，若有t 0， ，即a ，则g（a）m（ ） .若有t （ ，2），即a ，则g（a）m（ ）a .若有t 0， ，即a ，则g（a）m（2）a+2.综上有g（a）（3）当a 时，g（a）a+2 ，当 时，a ， ，所以 ，g（a） 2 .因此当a 时，g（a） .当a0时， 0，由g（a）g（ ）知a+2 +2解得a1.当a0时， 1，因此a1或 1，从而g（a） 或g（ ） .要使g（a）g（ ），必须有a 或 ，即 此时g（a） g（ ）.综上知，满足g（a）g（ ）的所有实数a为： 或a1.【模拟试题】（一）选择题1. 设f（x）是（，+）上的奇函数，f（x+2）f（x），当01时，f（x）x，则f（7 5）等于（ ）A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.52. 已知定义域为（1，1）的奇函数yf（x）又是减函数，且f（a3）+f（9a2）0，?则a的取值范围是（ ）A. （2 ，3） B. （3， ） C. （2 ，4） D. （2，3）3. 若函数f（x） （x ）在定义域内恒有ff（x）x，则m等于（ ）A. 3 B. C. D. 34. 设函数yf（x）的图象关于直线x1对称，在x1时，f（x）（x+1）21，则x1时f（x）等于（ ）A. f（x）（x+3）21 B . f（x）（x3）21C. f（x）（x3）2+1 D. f（x）（x1）215. 函数 的值域是 （ ）A. （，1） B. 1，+ C. （0，1） D. 0，16. 的值域是 （ ）A. y2 B. y2 C. yR D. y0（二）填空题7. 若f（x）为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f（3）0，则xf（x）0的解集为_。8. 如果函数f（x）在R上为奇函数，在（1，0）上是增函数，且f（x+2）f（x），试比较f（ ），f（ ），f（1）的大小关系_。（三）解答题9. （1）已知f（x）是一次函数，且ff（x）4x1，求f（x）的解析式；（2）已知 ，求f（x）的解析式；10. 若函数 的定义域为R，试求实数k的取值范围。11. 求下列函数的值域（1） （2）12. 定义在（，4）上的减函数f（x）满足f（msinx）f（ +cos2x）对任意xR都成立，求实数m的取值范围 。13. 已知函数yf（x） （a，b，cR，a0，b0）是奇函数，当x0时，f（x）有最小值2，其中bN且f（1）（1）试求函数f（x）的解析式；（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 。14. 已知函数yf（x）是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf（x）（11）是奇函数，又知yf（x）在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x2时，函数取得最小值，最小值为5 。（1）证明 f（1）+f（4）0；（2）试求yf（x），x1，4的解析式；（3）试求yf（x）在4，9上的解析式。【试题答案】1. B 2. A 3. D 4. B 5. C 6. A7. （3，0）（0，3）8. f（ ）f（ ）f（1）9. （1） 或f（x）2x+1（2）10. 0k11. 解：（1）（，lg5） （2） ， 对xR恒成立m ，3 13. 解：（1）f（x）是奇函数，f（x）f（x），即c0，a0，b0，x0，f（x） 2 ，当且仅当x 时等号成立，于是2 2，ab2，由f（1） 得 即 ，2b25b+20，解得 b2，又bN，b1，a1，f（x）x+ 。（2）设存在一点（x0，y0）在yf（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2x0，y0）也在yf（x）图象上，则消去y0得x022x010，x01 。yf（x）图象上存在两点（1+ ，2 ），（1 ，2 ）关于（1，0）对。14. （1）证明：yf（x）是以5为周期的周期函数，f（4）f（45）f（1），又yf（x）（11）是奇函数，f（1）f（1）f（4），f（1）+f（4）0（2）解：当x1，4时，由题意，可设f（x）a（x2）25（a0），由f（1）+f（4）0得a（12）25+a（42）250，解得a2，f（x）2（x2）25（14）（3）解：yf（x）（11）是奇函数，f（0）f（0），f（0）0，又yf（x） （01）是一次函数，可设f（x）kx（01），f（1）2（12）253， f（1）k1k，k3当01时，f（x）?3x，当1x0时，f（x）3x，当46时，1x51，f（x）f（x5）3（x5）3x+15，?当6x9时，宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。1x54，f（x）f（x5）2（x5）2252（x7）25家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。f（x）第 17 页