初中数学规律探究题.doc

归纳猜想型问题
考点一：猜想数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
1.（巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是 -128a8
; ;；
第n个数据应为 。
（-2）n-1xn
2.（南平）给定一列按规律排列的数： ，…，则这列数的第6个数是 (　 　)
A． B． C． D．
3．（黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2015的值
是 1014049
．
4．（沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构
成规律，用你发现的规律写出第8个等式为 82+92+722=732
．
5.（衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a1＝1−，a2＝，a3＝，a4＝，…，试猜
想第n个等式（n为正整数）：an= ．
6.（南宁）有这样一组数据a1，a2，a3，…an，满足以下规律：a1＝，a2＝，a3＝，…，an＝（n≥2且n为正整数），则a2016的值为 -1
（结果用数字表示）．
7. （广安）已知直线y=（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则
S1+S2+S3+…+S2016= ．
8.（大庆）已知 ，，，…
依据上述规律，计算 +…的结果为 。
9．将全体正整数排成一个三角形数阵：
         1
     2   3
    4   5   6
  7   8   9  10
……………
按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为  13
；第n行（n≥3）从左到右的第3
个数为 ．（用含n的代数式表示）
10．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

根据前面各式的规律，则
考点二：猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
1．（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有
小三角形的个数是 3n+4
．

2．（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需 2n+1
根火柴棒．

3．（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为
____________（用含n的代数式表示）．

4．（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．

5．（遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为 6n+2
．

6．（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有 91
个正方形．

7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为_______．

8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案3是由　　　　　　个组成的，依此，第n个图案是由　　　　　　个组成的．

9．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是 (　 　)

A．32 B．29 C．28 D．26
10．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为 (　 　)

A．21 B．24 C．27 D．30
11. 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是　　　　　　．

12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有 　 　个三角形（用含n的代数式表示）

13．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是____________个．

14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为________(用含n的代数式表示)．

考点三:几何图形计算变化规律
随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。
1. （张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2016= ．

2．（黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为 ）n
．
3．（牡丹江如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ）n-1
．

4．（六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为
，经过61次旋转后，顶点O经过的总
路程为 ．

5. 如图，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)均在反比例函数（x>0）的图象上，若△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn-1An都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，An-1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是____________，点Pn的坐标是___________．（用含n的代数式表示）

6. 二次函数的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An-1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠An-1BnAn=60°，菱形An-1BnAnCn的周长为 ．

7．(2015·浙江湖州，16，4分)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3，(如图所示)，以此类推…，若A1C1＝2，过点A，D2D3，…D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是________．

8. 如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若＝，则正△ABC的边长是________．

9. 设△ABC的面积为1，如图1将边BC，AC分别2等分，BE1，AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图2将边BC，AC分别3等分，BE1，AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依 此类推，则Sn可表示为__________（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．

考点四：坐标系和表格中的规律
1．（聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不
断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为_____________（用n表示）。

2．（抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（-1，-1）、（0，2）、（2，0），点P在y轴上，且坐标为（0，-2）．点P关于点A的对称点为P1，点P1关于点B的对称点为P2，点P2关于点C的对称点为P3，点P3关于点A的对称点为P4，点P4关于点B的对称点为P5，点P5关于点C的对称点为P6，点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2016的坐标是 _____________。
．
3. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，…，根据这个规律，第2 016个点的坐标为____________．

4．（湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是___________。

5．（恩施州）把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是____________。

6. 如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…，An．将抛物线y=x2沿直线l：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…，Mn都在直线l：y=x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…，An．则顶点M2 016的坐标为（________，________）．

课后练习
考点一：猜想数式规律
1．(2015·湖北黄冈中学自主招生)两列数如下：
7，10，13，16，19，22，25，28，31…
7，11，15，19，23，27，31，35，39…
第1个相同的数是7，第10个相同的数是 (　 　)
A．115 B．127 C．139 D．151
2．(2015·浙江宁波)一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n＋1＝bn，b2n＋2＝bn＋bn＋1，若b0＝1，则b2 015的值是 (　 　)
A．1 B．6 C．9 D．19
3．(2015·山东德州)一组数1，1，2，x，5，y，…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为 (　 　)
A．8 B．9 C．13 D．15
4．(2013·山东日照)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是 (　 　)

A．M＝mn B．M＝n(m＋1) C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1)
5．(2014·贵州毕节)观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n个数是________．
6. 人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21…这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这9级台阶共有________种不同方法．
7．(2014·江苏扬州，18，3分)设a1，a2，…，a2 014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若
a1＋a2＋…＋a2 014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2 014＋1)2＝4 001，则a1，a2，…，a2 014中为0的个数是________．
8. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4＝2＋2；　　　　　 12＝5＋7；
6＝3＋3；　　　　　 14＝3＋11＝7＋7；
8＝3＋5；　　　　 　16＝3＋13＝5＋11；
10＝3＋7＝5＋5　　　18＝5＋13＝7＋11；
…
通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）．
9. 观察下列等式：
第一个等式：； 第二个等式：；
第三个等式：； 第四个等式：．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含的代数式表示第个等式：
_______________=_________________________；
（2）式子___________________．
10. 下面是一个按某种规律排列的数阵：
1 第1行
2 第2行
3 第3行
4 第4行
… … … … … … … …
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n>3）行从左向右数第n-2个数是______________．
考点二：猜想图形规律
1．(2015·广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．

2. 观察下列图形规律：当n=　 　时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．

3. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 (　　 )

A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
4. 如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n＝ (　 　)

A．29 B．30 C．31 D．32
5. 图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，那么图（2）中的小正方形有_____块；按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形，此时第七个图形中小正方体木块总数应是___________块．

6．（重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图
形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为 (　 　)

A．51 B．70 C．76 D．81
7．(2012·浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是 (　 　)

图1　　　　　　　　　　　图2
A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 016
8．(2014·重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是 (　 　)

A．22 B．24 C．26 D．28
9. 观察下列图形，它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形中的“★”有 (　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．57个 B．60个 C．63个 D．85个
10. 观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是 (　 　)

A．38 B．46 C．61 D．64
11. 如图，△ABC的三个顶点和它内部的点P1，把△ABC分成3个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2，把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、Pn，把△ABC分成　 个互不重叠的小三角形．

12. 观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有　 　个“•”．

13. 如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有　 　根火柴棒．（用含n的代数式表示）

14．“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个
图形中小梅花的个数是　 　．

考点三:几何图形计算变化规律
1. 如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为___________．

2. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝4，如图所示把边长分别为x1，x2，x3，…，xn的n个正方形依次放入△ABC中，则第n个正方形的边长xn＝________(用含n的式子表示，n≥1)．

3. 如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn=________________．（用含n的式子表示）

4. 如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是_____________。

5. 如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015，到BC的距离记为h2015．若h1=1，则h2015的值为_______.

6. 如图，已知A1，A2，A3，…，An，An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1，A2，A3，…，An，An+1作x轴的垂线，交直线y=2x于点B1，B2，B3，…，Bn，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，AnBn+1，BnAn+1，依次相交于点P1，P2，P3，…，Pn．△A1B1P1，△A2B2P2，△A3B3P3，…，△AnBnPn的面积依次记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn为 (　 　)
A． B． C． D．

7. 如图，已知点A1，A2，…，An均在直线上，点B1，B2，…，Bn均在双曲线上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若，则a2015= ．

8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(，0)，B(0，4)．将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，则点B2 016的横坐标为__________________．

考点四：坐标系和表格中的规律
1. （2015江苏淮安第18题）将连续正整数按如下规律排列：

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
2
3
4

第2行

8
7
6
5
第3行
9
10
11
12

第4行

16
15
14
13
第5行
17
18
19
20

………

若正整数565位于第行，第列，则＝ 。
2. 将自然数按以下规律排列：
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列
第一行 1 4 5 16 17
第二行 2 3 6 15 …
第三行 9 8 7 14 …
第四行 10 11 12 13 …
第五行 …
……
表中数2在第二行第一列，与有序数对(2，1)对应，数5与(1，3)对应，数14与(3，4)对应，根据这一规律，数2 016对应的有序数对为____________．

3. 如图，在一个单位长度为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，均是斜边在x轴上、且斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 016的坐标为___________．

4. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(-y+1，x+1)叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An．若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为_____________，点A2 014的坐标为_____________；若点A1的坐标为(a，b)，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为______________．
5. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2 015秒时，点P的坐标是（ ）
A．(2 014，0) B．(2 015，-1)
C．(2 015，1) D．(2 016，0)

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