高中数学平面向量讲义.doc

平面向量(学生专用)

专题六 平面向量
一. 基本知识
【1】 向量的基本概念与基本运算
（1）向量的基本概念：
①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行
③单位向量：模为1个单位长度的向量
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
（2）向量的加法：设，则+==
①；②向量加法满足交换律与结合律；
，但这时必须“首尾相连”．
（3）向量的减法：
① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量
②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，
③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
（4）实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的
（5）两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=
（6）平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
【2】平面向量的坐标表示
（1） 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。
（2） 平面向量的坐标运算：
①若，则
②若，则
③若=(x,y)，则=(x, y)
④若，则
⑤若，则
⑥若，则
【3】平面向量的数量积
（1）两个向量的数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）
规定
（2）向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影
（3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积
（4）向量的模与平方的关系：
（5）乘法公式成立：
；
（6）平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
特别注意：（1）结合律不成立：；
（2）消去律不成立不能得到
（3）=0不能得到=或=
（7）两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量，则·=
（8）向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角cos==
当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
（9）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥
（10）两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O平面向量数量积的性质
二. 例题分析
【模块一】向量的基本运算
【例1】给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若，则③在平行四边形ABCD中一定有；
④若，则； ⑤若//，//,则//
⑥任一向量与它的相反下列不相等.⑦已知向量，且，则
⑧的充要条件是且//；⑨若与方向相同，且，则；
⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；
其中正确的命题的序号是

【例2】已知向量夹角为 ，且；求的值.

【变式1】若，，求的值.

【变式2】设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值

【例3】已知向量、的夹角为，，，若，求的值.

【例4】若向量，求与的夹角.

【变式】设R,向量,且,则 （　　）
A． B． C． D．10

【例5】已知两个非零向量满足，则下列结论一定正确的是 （ ）
A // B C D

【变式1】设a,b是两个非零向量. （　　）
A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
【变式2】若平面向量满足:;则的最小值是

【例6】设，，

（1） 证明；
（2） 当时求角的值.

【例7】设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是（　　）
A． B． C． D．且

【模块二】向量与平面几何
【例1】在△ABC中， ,设P、Q满足 ， ， ，则= （ ）
A B C D

【变式1】已知△ABC为等边三角形， 设P、Q满足 ， ， ，则= （ ）
A B C D

【例2】在△ABC中,AB=2,AC=3,= 1则. （　　）
A． B． C． D．

【变式1】若向量,,则 （　　）
A． B． C． D．

【例3】若等边的边长为，平面内一点M满足,则________.

【例4】中,边上的高为,若,则 （　　）
A． B． C． D．

【例5】在平面直角坐标系中,,将向量按逆时针旋转后,得向量，则点的坐标是 （　　）
A． B． C． D．

【例6】在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=______________.

【例7】在平行四边形ABCD中,∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是_________ .
,

【例8】如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是____.

【例9】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________;的最大值为________.

【例10】已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为___________

【例11】如图，在中，,,,则 .

【例12】 (15)在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是

【例13】在中，若，则面积为

【例14】（2012年河北二模）在中，AB边上的中线CD=6，点P为CD上（与C,D）不重合的一个动点，则的最小值是
A 2 B 0 C -9 D -18

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