1、平面向量(学生专用)专题六 平面向量一. 基本知识【1】 向量的基本概念与基本运算（1）向量的基本概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行单位向量：模为1个单位长度的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量 （2）向量的加法：设，则+=；向量加法满足交换律与结合律；，但这时必须“首尾相连”（3）向量的减法： 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）
2、（4）实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）； （）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=（6）平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示（1） 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 （2） 平面向量的坐标运算：若，则若，则若=(x,y)，则=(x, y)若，则若，则若，则【3】平面向量的数量积（
3、1）两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定（2）向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影（3）数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：（5）乘法公式成立： ；（6）平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=（7）两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=（8）向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同
4、方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题（9）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作（10）两个非零向量垂直的充要条件：O平面向量数量积的性质二. 例题分析【模块一】向量的基本运算【例1】给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若，则在平行四边形ABCD中一定有；若，则； 若/，/,则/任一向量与它的相反下列不相等.已知向量，且，则的充要条件是且/；若与方向相同，且，则；由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；其中正确的命题的序号是 【例2】已知向量夹角为 ，且；求的值.【变式1】若，求的值.【变式2】设向量a，
5、b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值【例3】已知向量、的夹角为，若，求的值.【例4】若向量，求与的夹角.【变式】设R,向量,且,则（）ABCD10【例5】已知两个非零向量满足，则下列结论一定正确的是 （ ）A / B C D 【变式1】设a,b是两个非零向量.（）A若|a+b|=|a|-|b|,则ab B若ab,则|a+b|=|a|-|b| C若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数,使得a=b D若存在实数,使得a=b,则|a+b|=|a|-|b|【变式2】若平面向量满足:;则的最小值是【例6】设，（1） 证明；（2） 当时求角的值.【例7】设、都是非零向量,下列
6、四个条件中,使成立的充分条件是（）ABCD且【模块二】向量与平面几何【例1】在ABC中， ,设P、Q满足 ， ， ，则= （ ）A B C D 【变式1】已知ABC为等边三角形， 设P、Q满足 ， ， ，则= （ ）A B C D 【例2】在ABC中,AB=2,AC=3,= 1则.（）ABCD【变式1】若向量,则（）ABCD【例3】若等边的边长为，平面内一点M满足,则_. 【例4】中,边上的高为,若,则（）ABCD 【例5】在平面直角坐标系中,将向量按逆时针旋转后,得向量，则点的坐标是（）ABCD【例6】在ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则=_.【例7】在平行四边形ABCD中,
7、A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是_ ., 【例8】如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是_.【例9】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_.【例10】已知直角梯形中，/,是腰上的动点，则的最小值为_【例11】如图，在中，,则 .【例12】 (15)在四边形ABCD中，=（1，1），则四边形ABCD的面积是 【例13】在中，若，则面积为 【例14】（2012年河北二模）在中，AB边上的中线CD=6，点P为CD上（与C,D）不重合的一个动点，则的最小值是 A 2 B 0 C -9 D -18第9页
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