北京理工大学数学专业高等代数Ⅰ期末试题(MTH17010-H0171004).doc

课程编号：MTH17010 北京理工大学 2011 - 2012 学年第一学期
2011级数学类高等代数期末试题A卷
班级 学号 姓名 成绩
一
二
三
四
五
六
七
八
总分

一.(10分)解下列线性方程组。

二.(10分)判断向量 可否由向量组线性表出。若可以，求出它的一种表出方式。

三. (20分) 计算下列行列式

1.) , 其中当 时.

2.)
四. (15分)讨论取何值时方程组

有解并写出它的解集.

五.（15分）求下列非齐次方程组的特解，其导出组的基础解系，以及该非齐次方程组的解集。

六.（10分）证明：设，则下列个方程的元线性方程组

对任意都有解的充分必要条件是以为列向量的矩阵是可逆的。
七. (10分) 对于数域上的任意()级矩阵
证明:
.

八．(10分)设为阶方阵，且满足，
(1)证明：均可逆；
(2)当时，求矩阵。

课程编号：MTH17010 北京理工大学 2011 - 2012 学年第一学期
2011级数学类高等代数期末试题B卷
班级 学号 姓名 成绩
一
二
三
四
五
六
七
八
总分

一.(20分) 求解下面方程组的解,并写出它们的一般解.

1.)

2.)

二.(15分) 计算下列矩阵的秩并找出它的列向量组的一个极大无关组.

.

三、(20分)求下列行列式的值，要求写出计算步骤。
(1) 计算5阶行列式 的值。
(2) 计算阶行列式的值。
四、(15分)设线性方程组

(1)问当为何值时，该线性方程组无解？
(2)问当为何值时，该线性方程组有解？并求其通解。

五.(10分) 证明: 任意中的向量组线性相关当且仅当此组中存在一个向量可以由组中其它向量线性表出.

六. (10分) 设矩阵 为级可逆矩阵, 其中是的列向量组.
证明:
1.) 也是一个级可逆矩阵。
2.) 说明 与的具体关系。

七．(10分)已知为阶可逆阵，证明：也可逆，且。

课程编号：MTH17010 北京理工大学 2012 - 2013 学年第一学期
2012级数学类高等代数期末试题A卷
班级 学号 姓名 成绩
一
二
三
四
五
六
七
八
总分

一.(10分)试判断取何值时，下列线性方程组有解，并给出它的解

二.(10分)判断向量 可否由向量组线性表出。若可以，求出它的一种表出方式。

三. (20分) 计算下列行列式

1.) , 其中.

2.)

四. (10分)判断矩阵是否可以对角化。如果可以，找到矩阵使得为对角矩阵
.

五.（10分）计算下列矩阵的逆矩阵
。

六.（15分）设为数域上的秩为的矩阵，
证明：1．存在列向量使得
；
2．证明这种分解不唯一。

七. (10分) 证明幂等矩阵（）可对角化当且仅当。

八．(15分)设为级实对称矩阵，
证明：
1．存在对称矩阵和正定矩阵,使得，其中和的正惯性指数相等；
2．若为正定矩阵，则存在阶正定矩阵,使得。

课程编号：MTH17010 北京理工大学 2012 - 2013 学年第一学期
2012级数学类高等代数期末试题B卷
班级 学号 姓名 成绩
一
二
三
四
五
六
七
八
总分

一.(10分)试判断取何值时，下列齐次方程组有非零解，

二.(10分)求二次型的标准形。

三. (20分) 计算下列矩阵的秩，如果满秩则计算逆矩阵：

1．

2．

四. (10分)判断矩阵是否可以对角化。如果可以，找到矩阵使得为对角矩阵
.

五.（10分）证明：任意秩为的级矩阵都不是其它矩阵的伴随矩阵。
六.（10分）证明：4级上三角矩阵的逆矩阵还是上三角矩阵。（注：此命题对任意级矩阵都对）

七. (15分) 证明：
1．非零的幂零矩阵（存在正整数，使得）不可对角化
2．幂零矩阵只有零特征值。

八．(15分)设为级矩阵，证明：
1．与有相同的特征值，并且相同特征值的在特征多项式中的重数相同；
2．若可逆，是的特征值为的特征向量，则是的特征值为的特征向量。

课程编号：H0171004 北京理工大学2016-2017学年第一学期
2016级数学类高等代数I期末考试试题 B卷
班级 学号 姓名 成绩

题
号
一
二
三
四
五
六
七
八
总
分

得
分

签
名

一、（15分）对下列线性方程组

试讨论：当取何值时，它有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。（用导出组的基础解系表示通解）
二、（10分）设都是数域上的3阶矩阵，且，求行列式 的值。
三、（15分）已知矩阵
，
（1）求矩阵的秩和列向量组的一个极大线性无关组；
（2）用所求的极大线性无关组表示其余的列向量。
四、（15分）设是数域上的两个3阶矩阵，可逆，并且满足矩阵方程。
（1）证明：可逆；
（2）当时，求矩阵。
五、（10分）已知向量组。求生成子空间的维数及其一个基。
六、（15分）设是数域上的3阶矩阵，是一个3维向量。已知向量组是线性无关的，并且。
（1）我们记，求矩阵使得；
（2）试说明：矩阵可对角化；
（3）证明：是一个可逆矩阵。
七、（10分）做直角坐标变换，将下面的二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲面：
。
八、（10分）设都是阶复方阵，是可逆矩阵，是幂零矩阵，并且，证明：是可逆矩阵。

10