复习总结详细版.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 行列式,基本知识：如排列、反序,(,逆序,),、反序,(,逆序,),数、对换、奇,/,偶排列、余子式，代数余子式等概念,.,排列经一次互换改变奇偶性等基本结论,.,会,排列逆序数的计算方法,.,掌握,n,阶行列式的定义,.,(1)展开式共有,n,!项.,(2)每项是取自,不同行不同列,的,n,个元乘积，冠以正号或负号.,掌握,行列式按照某一行（列）展开，知道,Laplace,定理的结论,.,(3)行标按自然顺序排列时，每项的正负号由列标构成排列的奇偶性(反序数)决定.,n,!项中一半取正号，一半取负号.,(4)行列式表示一个数(值),.,(5)一阶行列式|,a,|=,a,不要与绝对值记号相混淆,.,另外，任意一项前面的符号是,4.,掌握,行列式的性质(6个).,行列互换（转置）值不变（性质,1,）,两行互换，反号（性质,2,）,一行的公因子可以提出（性质,3,）,某行元为两项之和，则等于两个行列式之和（性质,4,）,某行为零、两行相同或成比例，值为零（性质,5,）,某行倍数加到另一行，值不变（性质,6,）,知道,一些特殊的行列式及其性质，例如：对角形行列式、上,(,下,),三角形行列式、范德蒙行列式等，会计算这些行列式的值，知道范德蒙行列式值为零的充要条件,.,6.,熟练应用,行列式的定义、性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.【或证明】,，,例：,，,(定义),(性质),(展开),(2),某些特殊的行列式求值需要讨论阶数,n,.,(1)要首先,观察和分析,行列式的,特点,，然后试一试化简，行不通再试别的方法.,注意,:,(3)会一些常见行列式处理方法：,已学过的方法有,对角线法,：二阶采用.,三角型法,：用性质处理化简成容易计算的上(下)三角形行列式.,展开降阶法,：先使得某一行（列）具有较多的零，再展开为低阶行列式.,拆项法,：把某一行（列）的元拆成两（多）项，再分解成多个行列式的和.,归纳法,：例如,Vandermonde,行列式的证明过程.,转化为,Vandermonde,行列式.,加边法,递推法,2.,掌握,矩阵的线性运算、乘法、转置，及运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式.,注意:矩阵与行列式线性运算的不同点，以及,(,AB,),T,=,B,T,A,T,|,A,n,B,n,|=|,A,n,|,B,n,|=|,B,n,|,A,n,|,只有当,左矩阵的列数等于右矩阵的行数,时，两个矩阵才能相乘.,一般：,由,ABO,不能,得出,A、B,至少有一个零矩阵.,但是，若,A,为可逆矩阵，则可以得到,B=O,.,3.,掌握,逆矩阵及其性质、矩阵可逆的充要条件，,会,用伴随矩阵求二阶矩阵逆矩阵,如：,|,A,|0时,A,可逆，或对于方阵,A,，若存在方阵,B使,AB=E,(,AB=BA=E,)则A可逆。,(,A,T,),1,=(A,1,),T,(,AB,),1,=,B,1,A,1,|,A,1,|=|,A|,1,A,1,=,A,*/|,A,|，注意,A,*中元素的排列顺序,对任意方阵,A,，有,AA,*=,A,*,A,=|,A,|,E,4.,掌握,矩阵的初等变换、初等矩阵及性质，了解矩阵等价、矩阵的秩，,会,有关的判定定理，,掌握,用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.,如：有三类初等变换，分别对应三类初等矩阵.,对矩阵,A,=(,a,ij,),m,n,施行一次初等,行,(列),变换，,其结果就等于,对,A,左,(右),乘一个相应的,m,(,n,),阶初等矩阵,.,对任何矩阵,A,m,n,总可经有限次初等,行,变换,化为(行)阶梯形和行最简形.,n,级矩阵,A,可逆,它能表成一些初等矩阵的乘积.,可逆矩阵总可以经过一系列初等,行(列),变换,化成,E,.,矩阵的行秩等于列秩，等于,A,中一切非零子式最高阶数.,初等变换不改变矩阵的秩.,求逆矩阵的方法：,(3)初等变换的方法.,(4)分块矩阵的方法.,(1)伴随矩阵法.（阶数较低）,(2)由,AB,=,I,或,BA,=,I,.(待定系数法),diag,(,A,1,A,2,A,s,),1,.,=diag,(,A,1,1,A,2,1,A,s,1,).,矩阵秩为,r,有一个,r,级子式不为零同时所有,r,+1 级子式全为零.,r,(,AB,)min,r,(,A,),r,(,B,),P,m,Q,n,可逆，,A,m,n,则,r,(,PA,)=,r,(,A,)=,r,(,AQ,),若,A,中存在一个,r,阶子式不为零，则,若,A,中所有,r,阶子式都为零，则,5.,掌握,分块矩阵及其运算，注意分块矩阵运算需要满足的分块条件.建议会使用分块矩阵的初等变换.,注意：的应用.,分块对角形矩阵的运算性质.,分块矩阵的初等变换和分块初等矩阵.,对一个分块矩阵作一次分块矩阵的初等,行,（,列,）变换，相当于在矩阵的,左,（,右,）边乘上一个相应的分块初等矩阵，反之亦然,但,6.,理解,矩阵之间的三种关系(等价、相似、合同)及性质.,若矩阵,A,经过,有限次,初等变换化为,B,，则称矩阵,A,和,B,等价,.,(1)矩阵,A,与,B,等价,有初等矩阵,使,(2)两个,s,n,矩阵,A,B,等价,存在,可逆的,s,级,矩阵,P,与,可逆的,n,级,矩阵,Q,使,B,=,PAQ,.,(3)任意一个,m,n,矩阵,A,都与一形式为,的矩阵等价，它称为矩阵,A,的,标准形.,即:存在可逆阵,P=P,m,和可逆阵,Q=Q,n,使得,设,A，B,为两个,n,阶矩阵.若存在满秩矩阵,M,，使,B,=,M,-1,AM,，则称,矩阵,A,与,B,相似,.若此时还有,M,为正交矩阵，则,A,与,B,正交相似。,设,A,B,是数域,F,上的,n,阶矩阵，若存在,F,上的可逆,矩阵,C,，使得,B=C,T,AC,成立，则称,A,与,B,是合同矩阵.,秩为,r,的,n,阶对称矩阵,A,必合同对角形矩阵,，即存在满秩矩阵,C,，使得,其中,不为零.,7.,知道,实对称矩阵的性质：,(1)特征值为实数；,(2)属于不同特征值的特征向量正交；,(而对一般矩阵，属于不同特征值的特征向 量仅仅线性无关),(3)特征值的代数重数与几何重数相等；,（即与特征子空间维数相等）,(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，,且对角矩阵对角元素即为特征值,第三章 线性方程组,一、线性方程组,1理解线性方程组的初等变换，知道可,用消元法（行初等变换）和,Cramer,法则解方程组.,2,掌握,:,齐次线性方程组有非零解,系数矩阵,A,的秩 未知数个数,n.,非齐次线性方程组有解,r,(,A,)=,r,(,B,).,3,理解并掌握,齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念,齐次线性方程组若干个解的,任意线性组合仍是,Ax,0,的解.当,r,(,A,),n,时才有基础解系.,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n,r,n,r,，,r,=,r,(,A,)(参数任意取值),4,理解并掌握,非齐次线性方程组解的结构及通解.,非齐次线性方程组的两个解的差是对应导出组的解；,非齐次线性方程组的解与导出组的解的和(差)仍是它的解.,通解：,=,0,+,k,1,1,+,k,2,2,+,k,n,r,n,r,，,r,=,r,(,A,),0,是一个特解(随便找到一个即可),参数任意取值,5,会,讨论(含参)线性方程组解的情况.,r,(,A,),r,(,B,)无解，,r,(,A,),=,r,(,B,)=,n,唯一解,r,(,A,),=,r,(,B,)0,，则实二次型,X,T,AX,称为,正定二次型,.,坐标变换(非退化线性替换),保持二次型的正定性不变,.,两个实二次型等价,它们有相同的秩和正惯性指数.,5,掌握,二次型和对应矩阵的正定性（负定性）及其判别法.,如：会用定义判定正定矩阵/正定二次型，,(目前认为)正定矩阵必为实对称矩阵,正定矩阵的行列式大于零.,矩阵,A,正定的充要条件：,存在可逆矩阵,C,使得,A=C,T,C,A,合同与单位矩阵,E,，,顺序主子式全大于零，,特征根全大于零,对应二次型正惯性指数为,n,.,矩阵,A,负定，则,A,正定.,