动点到两定点的距离最值.doc

浅析动点到两个定点得距离之与(差）得最值
一、直线上得动点到直线外两个定点得距离之与(差)得最值。
例1　(1)已知点A（1，1）,点B(3，—2)，P就是x轴上任意一点，则PA+ＰB得最小值为          ,此时点Ｐ得坐标为           ；
（2）已知点A（１，1），点B(３，2）,P就是ｘ轴上任意一点，则PB-PA得最大值为          ，此时点P得坐标为  　        。
解析:（1)如图1,当点Ｐ在x轴上运动时，ＰA＋PB?ＡB（当且仅当A，P，B三点共线时等号成立）  
\(PA+ＰB)miｎ =ＡB＝
        此时，点P得坐标为
(2如图2，当点P在ｘ轴上运动时，PB— PA =AB(当且仅当Ａ,P，B三点共线时等号成立)

       　 \(PB－PA）max =AB=
        此时，点Ｐ得坐标为
变题：(１）已知点A（1，1),点B（３,2)，P就是x轴上任意一点，则PA＋PＢ得最小值为          ，此时点P得坐标为          ；
解析:(1)如图3，作点B关于ｘ轴得对称点Ｂˊ（3，—2),则有PＢ=PBˊ

当点P在ｘ轴上运动时,PA+PB＝ＰA+PＢˊ=ABˊ（当且仅当A，Ｐ,Bˊ三点共线时等号成立）\(PA＋ＰＢ）ｍin =AB?= 此时，点P得坐标为
（2）已知点A（1,1），点B(3,-２），P就是ｘ轴上任意一点,则PB—ＰA得最大值为          ，此时点P得坐标为         .
解析：（2）如图4，作点Ｂ关于x轴得对称点Bˊ,则有PB=PBˊ
当点P在x轴上运动时，PＢ— PＡ= PＢˊ-PA ﹦ＡBˊ
(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)
       \（ＰB—PA）mａx =ＡBˊ=
        此时，点P得坐标为
归纳:①当两定点位于直线得异侧时可求得动点到两定点得距离之与得最小值；
      ②当两定点位于直线得同侧时可求得动点到两定点得距离之与得绝对值得最大值．
若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线得同(异）侧，再进行求解。如变题得方法．
例２　函数得值域为                    .
解析:将函数进行化简得：

即为动点Ｐ(x,0)到两定点A（1，1）、B（3,—２）得距离之与．由例1可知：
该值域为

二、圆锥曲线上得动点到两个定点得距离之与（差)得最值．

（一)直接求解或利用椭圆(或双曲线)得定义进行适当转化后求解。
例３　(1）已知A(４,0)与B(2,2），M就是椭圆上得动点，则ＭA－MＢ得范围就是          ;
解析：(１）如图５，在DMAB中有MＡ—ＭＢ〈AB，当M,A,B三点共线且MＢ〉MA即点Ｍ位于Ｍ２处时有MA—MＢ＝AＢ，所以ＭA－MＢ=AB;同理在DＭＡB中有ＭB-ＭA=AB，即MB—MA=-AB(当点M位于M1处时等号成立)

综上所述:-AB≦MA-MB≦ＡＢ　　
（2)已知A（4，0)与B（2,２),M就是椭圆上得动点,则MA+MＢ得最大值就是          .
解析:(2） 如图6,因为点A恰为椭圆得右焦点，所以          由椭圆得定义可得MA+MB=10—MF+MＢ(F为椭圆得左焦点），同(1)可得MB—MF﹦BF（当且仅当点M位于点M4处时,等号成立）所以(ＭA+MB)max =(10-MF+MB）ｍax=1０+BF=10+

点评:因为点Ａ，Ｂ都在椭圆得内部(即两定点都在曲线得同侧),故可直接求出动点Ｍ到两定点A，Ｂ得距离之差得最值；若要求动点M到两定点Ａ,B得距离之与得最值(其中Ａ恰为焦点），需要利用椭圆得定义转化为动点M到两定点F,B得距离之差得最值（点F为另一焦点）.
例４　（１）已知F就是双曲线得左焦点,A(4,1)，P就是双曲线右支上得动点,则ＰＡ＋PF得最小值为          ；
解析：（１）如图７,在DPAＢ中有PA+PF＞AＢ，当Ｐ,A,Ｆ三点共线即点P位于P１处时，有PA＋ＰＦ＝AF，
所以(PＡ＋PF)min＝AＦ=.

(2)已知F就是双曲线得左焦点,A(1，4),P就是双曲线右支上得动点，则PA+PF得最小值为        。
解析：（２）如图8,设Ｆ２就是双曲线得右焦点，由双曲线得定义可得PA+PF=PA+2a＋ＰF2=8＋ PA＋PＦ2=8＋AF2(当P，A，F2三点共线即点P位于Ｐ2处时等号成立),
所以（PA＋PF）min=8＋AF2=１3。
点评:本题需要特别关注点与双曲线得位置关系,两定点一定要在动点得轨迹(曲线）得异侧.

（二)利用圆锥曲线得统一定义将圆锥曲线上得动点到焦点得距离与到相应准线得距离进行互化后进行求解。
例5 （1）已知点A（2,２),F就是椭圆得右焦点，Ｐ就是椭圆上得动点，则PF＋PA得最小值就是          ,此时，点得坐标为            ；
解析:如图9，设点P到右准线得距离为PP?，由圆锥曲线得统一定义可知,
即(当且仅当A，Ｐ,Pˊ三点共线，即点P位于点P1处时取等号）
　 此时点Ｐ得坐标为P（，２）、
(2）已知点Ａ（5，2）,F就是双曲线得右焦点，Ｐ就是双曲线上得动点，则PF+ＰA得最小值就是          ,此时点得坐标为            .
解析:如图10,设点P到右准线得距离为PＰ?,由圆锥曲线得统一定义可知，
 即（当且仅当A,P，Pˊ三点共线，即点P位于点Ｐ1处时取等号)
此时点P得坐标为P（，2）
点评:此类最显著得特征就是动点与焦点距离前有系数,可以利用圆锥曲线得统一定义将动点到焦点得距离转化为到相应准线得距离。
例6 （1）抛物线得焦点为Ｆ，Ａ（４,－2）为一定点，在抛物线上找一点M，当MA＋ＭF为最小值时，点M得坐标为             ；
解析:如图11，为抛物线得准线,MMˊ为点Ｍ到准线得距离。利用抛物线得定义:ＭF=ＭＭˊ，可得MA+ＭＦ＝ MA+MＭˊ﹦AMˊ（当且仅当A，M,Mˊ三点共线时等号成立，即当点M在Mˊ处时等号成立）

此时点M得坐标为M(,—2)
(2）P为抛物线上任一点，A(3，4)为一定点,过Ｐ作ＰPˊ垂直y轴于点Pˊ,则AP+ ＰＰˊ得最小值为           。
解析:如图12，延长PPˊ交抛物线得准线于点Ｐ´´,

由抛物线得定义：PP´=PF,所以AP+　PP´=　AP+　PP´´－1= ＡP＋PF—1=AF—1（当且仅当A，P，F三点共线时等号成立,即当点P位于P1处时等号成立）

点评:本题需要注意两点：①定点所在位置就是抛物线得内部还就是外部;②利用抛物线得定义将动点(在抛物线上)到焦点与到准线得距离进行互化.