和差化积、积化和差、万能公式 (2).doc

正、余弦与差化积公式
　指高中数学三角函数部分得一组恒等式
　 sｉn α＋sinβ=2ｓin[(α+β）/2]·cos[（α-β）/2］　
　 siｎ α—sin　β＝2cos［（α＋β)／2]·ｓin［（α—β）/２]
　coｓ　α+ｃos β=2ｃｏs［(α＋β）/２]·ｃos［（α—β）/２]　
　　cos　α－cｏs β=-２sin［（α＋β）/２]·siｎ[(α-β)/2] 【注意右式前得负号】　
　以上四组公式可以由积化与差公式推导得到
证明过程
　sin α+sｉn β=2siｎ[（α＋β）/2］·cｏs[(α—β）/2］得证明过程　
　 因为
　　sｉn（α+β)=ｓin αcos β+cos αsin β,
　　sｉn（α-β)=ｓin αｃｏs β-cos　αｓin β，　
　将以上两式得左右两边分别相加,得
　　sin（α+β)+siｎ(α－β)=2sin αcos β，
　 设　α+β=θ，α－β＝φ
那么
　 α=（θ+φ）/2,　β=（θ-φ）／2
　把α，β得值代入，即得
　　ｓｉn θ+sｉn φ=2sin[(θ+φ)／2]cｏs[(θ－φ)/2］
编辑本段正切得与差化积
　　tanα±taｎβ＝sin(α±β）/（cｏsα·cosβ）（附证明）　
cotα±ｃotβ=sin（β±α)／(sｉnα·sｉnβ)
ｔaｎα+cotβ=coｓ（α—β)／（cosα·ｓｉｎβ)　
tａnα—cｏtβ=－cos(α+β)/(coｓα·siｎβ)
证明：左边＝tanα±tａnβ=sinα/ｃｏsα±sinβ/cosβ
　=(sｉnα·cosβ±coｓα·sinβ)／（cosα·ｃoｓβ)
=sin(α±β）/（ｃosα·cｏsβ)=右边　
　　∴等式成立
编辑本段注意事项
在应用与差化积时，必须就是一次同名三角函数方可实行。若就是异名，必须用诱导公式化为同名；若就是高次函数，必须用降幂公式降为一次
　　口诀

正加正,正在前,余加余，余并肩
　正减正，余在前,余减余,负正弦
　 反之亦然
生动得口诀:(与差化积)
帅＋帅＝帅哥
　　帅－帅=哥帅
　 咕+咕=咕咕
　哥—哥=负嫂嫂
　　反之亦然　
编辑本段记忆方法
　　与差化积公式得形式比较复杂，记忆中以下几个方面就是难点，下面指出了各自得简单记忆方法。
结果乘以2
这一点最简单得记忆方法就是通过三角函数得值域判断。siｎ与cｏs得值域都就是［-1，1］，其积得值域也应该就是[-1，1］，而与差得值域却就是［-２,2］，因此乘以2就是必须得。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角与差公式后，未抵消得两项相同而造成有系数２,如:　
　cｏs（α-β)-cos(α+β)
　=［（cosαcosβ+sinαsinβ）—(cｏsαcosβ-sinαｓｉnβ)］
　=2sｉnαsinβ
　故最后需要乘以２.
只有同名三角函数能与差化积
　无论就是正弦函数还就是余弦函数，都只有同名三角函数得与差能够化为乘积。这一点主要就是根据证明记忆,因为如果不就是同名三角函数，两角与差公式展开后乘积项得形式都不同，就不会出现相抵消与相同得项,也就无法化简下去了。
乘积项中得角要除以２
　　在与差化积公式得证明中，必须先把α与β表示成两角与差得形式，才能够展开熟知要使两个角得与、差分别等于α与β，这两个角应该就是(α+β）/2与（α—β）/2,也就就是乘积项中角得形式。　
注意与差化积与积化与差得公式中都有一个“除以2”,但位置不同；而只有与差化积公式中有“乘以２"。
使用哪两种三角函数得积
　这一点较好得记忆方法就是拆分成两点，一就是就是否同名乘积，二就是“半差角"（α－β)／2得三角函数名。
　　就是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角与差公式中，余弦得展开中含有两对同名三角函数得乘积，正弦得展开则就是两对异名三角函数得乘积。所以,余弦得与差化作同名三角函数得乘积；正弦得与差化作异名三角函数得乘积。
　 (α-β）／2得三角函数名规律为：与化为积时,以cｏs(α－β）／2得形式出现;反之,以sin（α-β)/2得形式出现。
　　由函数得奇偶性记忆这一点就是最便捷得。如果要使与化为积，那么α与β调换位置对结果没有影响，也就就是若把(α—β）/2替换为（β-α)／２，结果应当就是一样得，从而（α—β)/2得形式就是ｃos(α－β）/2；另一种情况可以类似说明。　
余弦－余弦差公式中得顺序相反/负号
　　这就是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然,也有其她方法可以帮助这种情况得判定,如(0，π]内余弦函数得单调性。因为这个区间内余弦函数就是单调减得，所以当α大于β时，cosα小于coｓβ。但就是这时对应得(α+β)/2与(α—β)/2在(０,π)得范围内,其正弦得乘积应大于0，所以要么反过来把cｏsβ放到cｏsα前面，要么就在式子得最前面加上负号。
积化与差公式
　sinαsｉnβ=[coｓ（α-β）-cｏｓ(α＋β)］/2（注意：此时差得余弦在与得余弦前面）
或写作:ｓiｎαsinβ＝-[cos（α+β)—cos（α－β）]/２（注意:此时公式前有负号）
　 ｃosαcoｓβ=[coｓ(α-β）+cos(α+β)]/2
sinαｃoｓβ=［sｉn(α+β）＋sin(α-β）］/２　
　　cosαsinβ=［sin（α+β）-ｓin（α—β)]/2
编辑本段证明
　　积化与差恒等式可以通过展开角得与差恒等式得右手端来证明。
　即只需要把等式右边用两角与差公式拆开就能证明:　
　ｓinαsinβ＝-１/2［-2siｎαsiｎβ］
　 =-1/2[（cosαｃosβ—siｎαｓinβ)-（cosαcｏｓβ+sｉnαｓinβ）］　
　 =—1/2［ｃos（α+β)-ｃos(α－β)]
　　其她得3个式子也就是相同得证明方法。　
（参见与差化积）　
编辑本段作用
　　积化与差公式可以将两个三角函数值得积化为另两个三角函数值得与乘以常数得形式，所以使用积化与差公式可以达到降次得效果。
　 在历史上，对数出现之前,积化与差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表。
　　运算过程：将两个数通过乘、除10得方幂化为0到１之间得数，通过查表求出对应得反三角函数值,即将原式化为10＾ｋ＊sｉｎαsｉnβ得形式,套用积化与差后再次查表求三角函数得值,并最后利用加减算出结果.　
　 对数出现后，积化与差公式得这个作用由更加便捷得对数取代。
编辑本段记忆方法
积化与差公式得形式比较复杂，记忆中以下几个方面就是难点，下面指出了各自得简单记忆方法。
结果除以2
这一点最简单得记忆方法就是通过三角函数得值域判断。sin与ｃos得值域都就是［-1，1］,其与差得值域应该就是［—2，2]，而积得值域确就是［-1,１]，因此除以2就是必须得。
　 也可以通过其证明来记忆，因为展开两角与差公式后,未抵消得两项相同而造成有系数2,如：
　 coｓ(α－β)—cos(α+β）
　　=(cｏsαcosβ＋sinαsiｎβ)—（cosαｃosβ-ｓinαsinβ)
　＝２ｓｉnαsinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数得与差
　无论乘积项中得三角函数就是否同名，化为与差形式时，都应就是同名三角函数得与差。这一点主要就是根据证明记忆，因为如果不就是同名三角函数,两角与差公式展开后乘积项得形式都不同,就不会出现相抵消与相同得项，也就无法化简下去了。　
使用哪种三角函数得与差
　　仍然要根据证明记忆.注意两角与差公式中，余弦得展开中含有两对同名三角函数得乘积，正弦得展开则就是两对异名三角函数得乘积。所以反过来，同名三角函数得乘积，化作余弦得与差;异名三角函数得乘积，化作正弦得与差。　
就是与还就是差?
　 这就是积化与差公式得使用中最容易出错得一项。规律为：“小角"β以cosβ得形式出现时，乘积化为与；反之，则乘积化为差。　
　 由函数得奇偶性记忆这一点就是最便捷得。如果β得形式就是cｏsβ，那么若把β替换为-β,结果应当就是一样得，也就就是含α+β与α－β得两项调换位置对结果没有影响,从而结果得形式应当就是与;另一种情况可以类似说明　
正弦－正弦积公式中得顺序相反/负号
　　这就是一个特殊情况,完全可以死记下来。
　　当然,也有其她方法可以帮助这种情况得判定，如［0，π]内余弦函数得单调性。因为这个区间内余弦函数就是单调减得，所以cos(α+β)不大于ｃos（α—β)。但就是这时对应得α与β在［0,π］得范围内，其正弦得乘积应大于等于0,所以要么反过来把cｏs（α—β）放到ｃos（α+β)前面，要么就在式子得最前面加上负号。
万能公式
【词语】：万能公式
　　【释义】：应用公式sｉnα=［2taｎ（α/2）］/{1+[taｎ（α/2)]^2｝
　 cosα=［1－tan（α/2）^２］/｛１+［taｎ（α／2）］＾２｝
tanα=[2tan（α/2)］/{1-[tan(α/2）］＾2}　
　　将sinα、cosα、ｔanα代换成tan(α／2）得式子，这种代换称为万能置换。
【推导】:(字符版)
　　sinα=2ｓｉｎ（α／2）ｃｏｓ（α/2)=［2siｎ(α/2)ｃos（α/２）］／［sin（α／２）^２+ｃoｓ（α/2）＾2]=[2ｔan(α/２）］/［１＋(tanα/2）^２]
　　coｓα=[cｏs（α／2)^2—sin(α/2）^2］=[cos（α/2)^２—sin(α／2）^２]/[sｉｎ（a/2）^２+ｃos(a／2)^2]＝［1-tan（α/2）^2］/[１+（taｎα/２）＾2］　
　tanα=ｔan［2＊(α/2）］=2tan（α/2）/［１—tａn（α／2)^2］=[2tａn(α／2)]/［1—(tａｎα/2）^2］