《变化率与导数》课件.ppt

变化率与导数,问题,1,气球膨胀率,在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,.,从数学的角度,如何描述这种现象呢,?,结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小,.,（一）平均变化率,思考：,当空气容量从,V,1,增加到,V,2,时,气球的平均膨胀率是多少,?,问题,2,高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度,h,(,单位,:,m,),与起跳后的时间,t,(,单位,:,s,),存在函数关系,在某段时间内，高度相对于时间的变化率用平均速度来描述。,即,:,在,0,t,0.5,这段时间里,在,1,t,2,这段时间里,问题,2.,平均速度,.,思考：求,t,1,到,t,2,时的平均速度,观察,函数,f(x),的图象,O,A,B,x,y,Y=f(x),x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),x,2,-x,1,f(x,2,)-f(x,1,),平均变化率的定义：,一般地，函数在区间 上的平均变化率为,令,x,=,x,2,x,1,y,=,f,(,x,2,),f,(,x,1,),则平均变化率可以表示为,几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。,例,1,、已知函数,f(x)=2x+1,计算在区间,1,，,2,上,f(x),的平均变化率,.,例,2,、已知函数,f(x)=x,2,计算,f(x),在下列区间,1,，,3,上的平均变化率：,例,3,已知,f(x)=2x,2,+1,(1),求,:,其从,x,1,到,x,2,的平均变化率；,(2),求,:,其从,x,0,到,x,0,+,x,的平均变化率,.,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态,.,探究讨论：,（二）、导数的概念,在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态,.,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度,.,又如何求,瞬时速度呢,?,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势,.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢,?,求：从,2,s,到,(2+,t,),s,这段时间内平均速度,当,t,=,0.01,时,当,t,=,0.01,时,当,t,=,0.001,时,当,t,=0.001,时,当,t,=,0.0001,时,当,t,=0.0001,时,t,=,0.00001,t,=0.00001,t,=,0.000001,t,=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势,.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢,?,当,t,趋近于,0,时,即无论,t,从小于,2,的一边,还是从大于,2,的一边趋近于,2,时,平均速度都趋近与一个确定的值,13.1.,从物理的角度看,时间间隔,|,t,|,无限变小时,平均速度 就无限趋近于,t,=2,时的瞬时速度,.,因此,运动员在,t,=2,时的瞬时速度是,13.1.,表示“当,t,=2,t,趋近于,0,时,平均速度 趋近于确定值,13.1”.,从,2s,到,(2+t)s,这段时间内平均速度,1.,运动员在某一时刻,t,0,的瞬时速度怎样表示,?,2.,函数,f,(,x,),在,x,=,x,0,处的瞬时变化率怎样表示,?,导数的概念,一般地，函数,y,=,f,(,x,),在点,x,=,x,0,处的瞬时变化率是,我们称它为,函数,y,=,f,(,x,),在点,x,=,x,0,处的导数,，,记为 或,，即,说明：,（,1,）函数,在点,处可导，是指,时，,有极限如果,不存在极限，就说函数在,处不可导，或说无导数,点,是自变量,x,在,处的改变量，,，而,是函数值的改变量，可以是零,（,2,）,由导数的定义可知，求函数,在,处的,导数的步骤,:,（,1,）求函数的增量,:,；,（,2,）求平均变化率,:,；,（,3,）取极限，得导数,:,例,1.(1),求函数,y=3x,2,在,x=1,处的导数,.,(2),求函数,f(x)=-x,2,+x,在,x=-1,附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,(3),质点运动规律为,s=t,2,+3,，求质点在,t=3,的瞬时速度,.,三典例分析,例,1,将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,.,如果第,x,h,时,原油的温度,(,单位,:),为,f,(,x,),=,x,2,7,x,+15,(0,x,8,),.,计算第,2,h,和第,6,h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义,.,